HUMBOLDT-UNIVERSITÄT ZU BERLIN

BEREICH STOCHASTIK PROF. IMKELLER

Blatt 12 SoSe 01

Übungen zur Stochastik II

Die Bearbeitung dieses Übungsblattes ist freiwillig (8 Sonderpunkte pro Aufgabe)

Aufgabe 45. Sei X eine endliche Menge und H : X → IR nicht konstant. Sei ferner G eine symmetrische stochastische Matrix auf X. Für β > 0 sei

μ_{β}(x) = \frac{1}{Z_{β}} e^{−βH(x)} mit Z_{β} = ∑_{x∈X} e^{−βH(x)}

und

P_{β}(x, y) = \{ \begin{matrix}G(x, y) e^{−β(H(y)−H(x))^{+}} & für x ≠ y, \\ 1 − ∑_{z∈X\\{y\}} π(x, y) & für x = y. \end{matrix}

Zeigen Sie:

a) μ_{β} ist eine invariante Verteilung für P_{β}.

b) Für β → ∞ konvergiert μ_{β} gegen die Gleichverteilung μ_{∞} auf den Minima von H.

c) Sei nun G strikt positiv. Finden Sie eine Folge (β_{n}) mit folgender Eigenschaft: Für jede Startverteilung ν auf X gilt:

νP_{β_{1}} … P_{β_{n}} → μ_{∞}.

(Hinweis: Benutzen Sie Aufg. 37./38.)

Aufgabe 46. Schreiben Sie ein Programm (möglichst nicht in Basic), das mithilfe von Aufg. 45 approximativ das “Problem des Handlungsreisenden” löst: Es soll die Koordinaten von n Punkten x_{1}, …, x_{n} ∈ IR^{2} einlesen und eine Permutation (y_{1}, …, y_{n}) von (x_{1}, …, x_{n}) ausgeben, so daß die Weglänge ∑_{i=1}^{n} |y_{i+1} − y_{i}| (y_{n+1} := y_{1}) möglichst klein wird. Hinweis: Der Zustandsraum X ist natürlich die Menge aller Permutationen von {1, …, n} und H ist durch die Weglänge gegeben. Der Punkt c) aus Aufg. 45 ist hier nicht wörtlich zu nehmen: Die Folge (β_{n}) muß man durch eine schneller wachsende Folge ersetzen, wenn man sterblich ist. Auch die Matrix G wird man nicht strikt positiv wählen; stattdessen könnte z.B. G zwei zufällig ausgewählte Punkte permutieren (so daß die Berechnung der Wegdifferenz H(y) − H(x) nur wenige Koordinaten benötigt, wenn G(x, y) > 0). Lösungen dieser Aufgabe sollten vorzugsweise per Email geschickt werden

lederer@mathematik.hu-berlin.de).

Abgabe: Mittwoch, 18.07.01 vor der Übung