HUMBOLDT-UNIVERSITÄT ZU BERLIN

BEREICH STOCHASTIK PROF. IMKELLER

Blatt 2 SoSe 01

Übungen zur Stochastik II

Aufgabe 5. Zeigen Sie: Die Menge C([0, 1], IR) ist nicht meßbar in [0, 1]^{IR} (versehen mit der von B([0, 1]) erzeugten Produkt-σ-Algebra.) (4)

Aufgabe 6. Sei E ein polnischer Raum.

(i) Sei μ|_{B(E)} ein Wahrscheinlichkeitsmaß das nur die Werte 0 und 1 annimmt. Zeigen Sie: Es existiert x ∈ E mit μ({x}) = 1.

(ii) Sei X eine Zufallsvariable mit Werten in E und f : E → E meßbar. Zeigen Sie: Falls die Zufallsvariablen X und f ∘ X unabhängig sind, so ist die Zufallsvariable f ∘ X IP-fast sicher konstant. (4)

Aufgabe 7. Sei A ∈ B(IR) mit λ(A) > 0 (λ = Lebesguemaß). Zeigen Sie, daß 0 ein innerer Punkt der Menge A − A := {x − y : x, y ∈ A} ist. (Hinweis: Benutzen Sie den Satz von Ulam, um zunächst A von innen durch eine kompakte Menge und diese von außen durch eine geeignete offene Menge zu approximieren.) (4)

Aufgabe 8. Sei (Ω, F, μ) ein Wahrscheinlichkeitsraum und

M : {f : Ω → IR : f meßbar}.

Für f, g ∈ M sei

d(f, g) := ∫ 1 ∧ |f − g| dμ.

Zeigen Sie, daß der Raum (M, d) ein vollständiger metrischer Raum ist, wenn man μ-fast sicher gleiche Funktionen identifiziert. (4) Zusatzfrage: Besteht ein Zusammenhang zwischen der Konvergenz bezüglich der Metrik d und einer der bekannten Konvergenzarten für Zufallsvariable (fast sichere Konvergenz, Konvergenz in Wahrscheinlichkeit, Konvergenz in Verteilung)? (4 Sonderpunkte)

Abgabe: Mittwoch, 9.5.01 vor der Übung