HUMBOLDT-UNIVERSITÄT ZU BERLIN

BEREICH STOCHASTIK PROF. IMKELLER

Blatt 4 SoSe 01

Übungen zur Stochastik II

Aufgabe 13. Sei (Ω, F, μ) ein Wahrscheinlichkeitsraum. Für eine meßbare Funktion f : Ω → IR sei

∥f∥_{∞} = inf{c > 0 : |f| ≤ c μ-fast sicher}

(wobei inf ∅ := 0). Ferner sei

L^{∞}(Ω, F, μ) = {f : X → IR : f meßbar und ∥f∥_{∞} < ∞};

L^{∞}(Ω, F, μ) sei die Menge der Äquivalenzklassen in L^{∞}(Ω, F, μ) bezüglich fast sicherer Gleichheit. Zeigen Sie:

a) (L^{∞}(Ω, F, μ), ∥ · ∥) ist ein Banachraum.

b) Für alle f ∈ L^{∞}(Ω, F, μ) ist ∥f∥_{∞} = lim_{p→∞} ∥f∥_{p}. (4)

Aufgabe 14. Sei (Ω, F, IP) ein Wahrscheinlichkeitsraum und X ∈ L^{1}(Ω, F, IP). Ferner sei T eine endliche Gruppe von meßbaren bijektiven Abbildungen von Ω nach Ω und I = {A ∈ F : T^{−1}(A) = A für alle T ∈ T }. Zeigen Sie, daß

IE(X | I) = \frac{1}{|T |} ∑_{T ∈T} X ∘ T.

(4)

Aufgabe 15. Sei X eine reellwertige Zufallsvariable auf (Ω, F, IP) und f : IR → IR konvex, so daß X, f(X) ∈ L^{1}. Zeigen Sie:

a) f läst sich als Supremum von abzählbar vielen affinen Funktionen darstellen.

b) Für jede σ-Algebra A ⊂ F ist

f(IE(X | A)) ≤ IE(f(X) | A).

(4)

Aufgabe 16. Ein Fahrgast betritt den Bahnsteig der U9 am Bahnhof Zoo. Sei τ_{1} die Wartezeit auf den Zug Richtung Rathaus Steglitz und τ_{2} die Wartezeit auf den Zug Richtung Vinetastraße. Da der Fahrgast die genauen Abfahrtszeiten nicht kennt, sondern nur weiß, daß die Züge im Zehnminutentakt fahren, sind τ_{1} und τ_{2} unabhängige im Intervall [0, T] gleichverteilte Zufallsvariable (T = 10 min). Sei T_{1} = min(τ_{1}, τ_{2}) die Wartezeit auf den ersten eintreffenden Zug und T_{2} = max(τ_{1}, τ_{2}) die Wartezeit auf den zweiten Zug. Berechnen Sie die bedingte Erwartung IE(T_{2} | T_{1}). (4)

Abgabe: Mittwoch, 23.05.01 vor der Übung