HUMBOLDT-UNIVERSITÄT ZU BERLIN

BEREICH STOCHASTIK PROF. IMKELLER

Blatt 5 SoSe 01

Übungen zur Stochastik II

Aufgabe 17. Sei (X_{n})_{n∈IN} eine Folge von unabhängigen identisch verteilten Zufallsvariablen mit X_{1} ∈ L^{1} und S_{n} = ∑_{i=1}^{n} X_{i} für n ∈ IN. Berechnen Sie

IE(X_{1} | σ(S_{k} : k ≥ n)).

(Hinweis: Nutzen Sie Symmetrieeigenschaften des Problems aus.) (4)

Aufgabe 18. Seien X, Y reellwertige Zufallsvariable auf (Ω, F, IP) und f : IR^{2} → IR meßbar und beschränkt. Die Funktion g : IR → IR sei definiert durch

g(y) = IE(f(X, y)).

Gilt dann stets

IE(f(X, Y) | Y) = g(Y) ?

(Beweis oder Gegenbeispiel!) (4)

Aufgabe 19. Sei (X_{n})_{n∈IN} eine Folge von unabhängigen identisch verteilten reellwertigen Zufallsvariablen mit strikt positiver Dichte f (bezüglich des Lebesguemaßes). Sei g : IR → IR^{+} eine weitere Dichtefunktion und

Z_{0} = 1, Z_{n} = \frac{∏_{i=1}^{n} g(X_{i})}{∏_{i=1}^{n} f(X_{i})} für n ≥ 1.

Zeigen Sie, daß IE(Z_{n+1} | σ(Z_{1}, …, Z_{n})) = Z_{n} für n ≥ 0. (4)

Aufgabe 20. Sei (X_{n})_{n∈IN} eine Folge von unabhängigen standardnormalverteilten Zufallsvariablen sowie S_{n} = ∑_{i=1}^{n} X_{i} und F_{n} = σ(X_{1}, …, X_{n}) für n ∈ IN_{0}.

a) Finden Sie eine Folge (a_{n})_{n∈IN_{0}} so daß die Folge S_{n}^{2} − a_{n}, n ∈ IN_{0}, ein Martingal bezüglich (F_{n})_{n≥0} ist.

b) Finden Sie eine Folge (b_{n})_{n∈IN_{0}} so daß die Folge e^{S_{n}−b_{n}}, n ∈ IN_{0}, ein Martingal bezüglich (F_{n})_{n≥0} ist. (4)

Abgabe: Mittwoch, 30.05.01 vor der Übung