HUMBOLDT-UNIVERSITÄT ZU BERLIN

BEREICH STOCHASTIK PROF. IMKELLER

Blatt 6 SoSe 01

Übungen zur Stochastik II

Aufgabe 21. Sei (X_{n})_{n≥0} eine Folge von reellwertigen Zufallsvariablen und τ eine Stopzeit bezüglich der Filtration F_{n} := σ(X_{0}, …, X_{n}), n ≥ 0. Zeigen Sie, daß für alle ω, ω′ ∈ Ω und alle n ∈ IN gilt:

X_{k}(ω) = X_{k}(ω′) für k = 0, …, n ⟹ τ(ω) ∧ n = τ(ω′) ∧ n.

(4)

Aufgabe 22. Sei (Ω, F, IP) ein Wahrscheinlichkeitsraum, (F_{n})_{n∈IN_{0}} ein Filtration von F und X = (X_{n})_{n∈IN} ein (F_{n})_{n∈IN_{0}}-adaptierter reellwertiger Prozeß mit IE(|X_{n}|) < ∞ für n ∈ IN. Für jede beschränkte Stopzeit T sei IE(X_{T}) = IE(X_{0}). Zeigen Sie, daß X ein Martingal ist. (4)

Aufgabe 23. Sei (X_{n})_{n≥0} ein Martingal auf (Ω, F, IP) bezüglich der Filtration (F_{n})_{n≥0}. Sei Q ein weiteres Wahrscheinlichkeitsmaß auf (Ω, F), so daß IP eine Dichte Z bezüglich Q besitzt. Für n ∈ IN_{0} sei Z_{n} = IE_{Q}(Z | F_{n}). (Der Index “Q” bei IE_{Q} soll andeuten, daß die bedingte Erwartung bezüglich des Wahrscheinlichkeitsmaßes Q gebildet wird.) Zeigen Sie: Der Prozeß (X_{n}Z_{n})_{n≥0} ist eine Martingal bezüglich Q. (4)

Aufgabe 24. Sei (X_{n})_{n∈ZZ^{−}} eine Rückwärtsmartingal bezüglich der Filtration (F_{n})_{n∈ZZ^{−}}, d.h. es ist (F_{n})_{n∈ZZ^{−}} eine Familie von Unter-σ-Algebren von F mit F ⊃ F_{0} ⊃ F_{1−} …, und jedes X_{n} ist integrierbar und F_{n}-meßbar mit X_{n−1} = IE(X_{n}|F_{n−1}). Zeigen Sie: X_{−∞} := lim_{n→−∞} X_{n} existiert IP-fast sicher (ohne Zusatzvoraussetzungen!). (4)

Abgabe: Mittwoch, 06.0601 vor der Übung