HUMBOLDT-UNIVERSITÄT ZU BERLIN

BEREICH STOCHASTIK PROF. IMKELLER

Blatt 7 SoSe 01

Übungen zur Stochastik II

Aufgabe 25. Sei (ξ_{n})_{n∈IN_{0}} eine Folge von unabhängigen Zufallsvariablen mit IP(ξ_{n} = 1) = IP(ξ_{n} = −1) = \frac{1}{2}. Ferner sei X_{n} = ∏_{i=0}^{n} ξ_{i}, n ∈ IN_{0} und F_{n} = σ(ξ_{0}, …, ξ_{n}), n ∈ IN_{0}. Zeigen Sie: Es gibt keine Zufallsvariable X mit X_{n} = IE(X | F_{n}) für alle n ∈ IN, obwohl die Folge (X_{n})_{n∈IN_{0}} natürlich ein Martingal ist. (4)

Aufgabe 26. Sei (ξ_{i}^{n})_{i∈IN,n∈IN_{0}} eine unabhängige Familie von identisch verteilten Zufallsvariablen mit Werten in IN_{0} und 0 < μ = IE(ξ_{i}^{n}) < ∞. Der Prozeß (Z_{n})_{n≥0} sei rekursiv definiert durch

Z_{0} := 1, Z_{n+1} := ∑_{i=1}^{Z_{n}} ξ_{i}^{n}.

Zeigen Sie: Der Prozeß

(\frac{Z_{n}}{μ^{n}} )_{n∈IN_{0}}

ist ein Martingal bezüglich der Filtration F_{n} = σ(ξ_{i}^{m} : i ∈ IN, 1 ≤ m < n), n ∈ IN_{0}. (5)

Aufgabe 27. Sei (Ω, F, IP) = ([0, 1], B([0, 1]), λ) (λ=Lebesguemaß). Zeigen Sie: Es existiert keine Metrik d auf der Menge aller reellwertigen Zufallsvariablen auf (Ω, F, IP) (bei Identifikation von IP-fast sicher gleichen Zufallsvariablen) so daß gilt:

f_{n} → f IP-fast sicher ⟺ d(f_{n}, f) → 0.

(Hinweis: Benutzen Sie die Zusammenhänge zwischen fast sicherer Konvergenz und Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit.) (4)

Aufgabe 28. Sei (X_{n})_{n∈IN_{0}} ein Submartingal. Ist dann die Folge (X_{n} − IE(X_{n}))_{n∈IN_{0}} stets ein Martingal? (Beweis oder Gegenbeispiel!) (4)

Abgabe: Mittwoch, 13.06.01 vor der Übung