HUMBOLDT-UNIVERSITÄT ZU BERLIN

BEREICH STOCHASTIK PROF. IMKELLER

Blatt 8 SoSe 01

Übungen zur Stochastik II

Aufgabe 29. Sei (X_{n})_{n∈IN} eine Folge von unabhängigen identisch verteilten Zufallsvariablen mit IE(|X_{1}|) < ∞ und T eine Stopzeit bezüglich der Filtration F_{n} = σ(X_{1}, …, X_{n}), n ≥ 0. Zeigen Sie, daß

IE(∑_{i=1}^{T} X_{i}) = IE(T)IE(X_{1}).

(4)

Aufgabe 30. Sei (X_{n})_{n∈IN_{0}} ein Submartingal und f : IR → IR konvex mit IE(|f(X_{n})|) < ∞ für alle n ∈ IN_{0}. Ist dann die Folge (f(X_{n}))_{n∈IN_{0}} stets ein Submartingal? (Beweis oder Gegenbeispiel!)

Aufgabe 31. Sei (Ω, F, μ) ein Wahrscheinlichkeitsraum und M ⊂ L^{1}(Ω, F, μ). Zeigen Sie die Äquivalenz der folgenden Aussagen:

(i) M ist gleichgradig integrierbar.

(ii) Es gilt:

a) sup_{f∈M} ∫ |f| dμ < ∞.

b) Zu ϵ > 0 existiert δ > 0, so daß für alle A ∈ F gilt:

μ(A) ≤ δ ⟹ sup_{f∈M} ∫_{A} |f| dμ ≤ ϵ.

(4)

Aufgabe 32. Sei (Ω, F, IP) = (]0, 1], B(]0, 1]), λ). Sei μ ein weiteres Wahrscheinlichkeitsmaß auf (Ω, F). Für n ∈ IN_{0} sei f_{n} : Ω → IR^{+} definiert durch f_{n}(x) = 2^{n}μ(](i − 1)/2^{n}, i/2^{n}]) für x ∈](i − 1)/2^{n}, i/2^{n}]), 1 ≤ i ≤ 2^{n}. Es ist dann wohlbekannt, daß die Folge (f_{n}) ein Martingal bildet (bezüglich der Filtration F_{n} = σ({](i − 1)/2^{n}, i/2^{n}] | n ∈ IN_{0}, 1 ≤ i ≤ 2^{n}}). Ist dieses Martingal stets gleichgradig integrierbar? (Beweis oder Gegenbeispiel!) (4)

Abgabe: Mittwoch, 20.06.01 vor der Übung