HUMBOLDT-UNIVERSITÄT ZU BERLIN

BEREICH STOCHASTIK PROF. IMKELLER

Blatt 9 SoSe 01

Übungen zur Stochastik II

Aufgabe 33. Sei (X_{n})_{n≥0} ein Martingal und T eine Stopzeit mit IE(T) < ∞. Gilt dann stets IE(X_{T}) = IE(X_{0}) (vgl. Aufg. 29)? (4)

Aufgabe 34. Ein Spieler wendet bei einem fairen Glücksspiel (z.B. Münzwurf) die Verdoppelungsstrategie an, d.h. er verdoppelt seinen Einsatz bei Verlust und bricht das Spiel ab, sobald er das erste Mal gewonnen hat. (Wir nehmen an, daß er über unbegrenzten Kredit verfügt). Sei T die Wartezeit auf seinen Gewinn. Zeigen Sie, daß IP(T < ∞) = 1 und IE(T) = ∞. (4)

Aufgabe 35. Sei f : [0, 1[→ IR integrierbar (bezüglich des Lebesguemaßes). Wir setzen f periodisch fort auf das Intervall [0, 2[ und setzen

f_{n}(x) = 2^{−n} ∑_{i=1}^{2^{n}} f(x + i2^{−n}), n ∈ IN, x ∈ [0, 1[.

Zeigen Sie, daß f_{n} → f λ-fast sicher auf [0, 1[. (4)

Aufgabe 36. Sei (X_{n})_{n≥0} ein Martingal, so daß |X_{n+1} − X_{n}| ≤ C für alle n ∈ IN_{0} und eine gewisse Konstante C > 0. Zeigen Sie: Es existiert eine Menge Ω̃ ∈ F mit IP(Ω̃) = 1, so daß für alle ω ∈ Ω̃ gilt: Entweder lim_{n→∞} X_{n}(ω) existiert in IR oder es ist lim sup_{n→∞} X_{n}(ω) = +∞ und lim inf_{n→∞} X_{n}(ω) = −∞. (Hinweis: Betrachten Sie für a ≥ 0 das gestopte Martingal (X_{n∧τ_{a}})_{n≥0}, wobei τ_{a} = inf{n ∈ IN_{0} : X_{n} ≥ a}.) (4)

Abgabe: Mittwoch, 27.06.01 vor der Übung