HUMBOLDT-UNIVERSITÄT ZU BERLIN

BEREICH STOCHASTIK PROF. IMKELLER

Blatt 13 WiSe 00/01

Übungen zur Einführung in die Stochastik

Aufgabe 54. Seien X, X_{1}, X_{2}, … Zufallsvariable mit X_{n} →^{IP} X und |X_{n}| < Z, wobei Z eine Zufallsvariable ist mit IE(Z) < ∞. Zeigen Sie, daß auch IE(X_{n}) → IE(Z). (Hinweis: Sind die X_{n} nichtnegativ, so kann man Aufg. 53 benutzen).

Aufgabe 55. Sei (X_{n})_{n∈IN} eine Folge von unabhängigen exponentialverteilten Zufallsvariablen (IP(X_{n} > x) = e^{−x} für x ≥ 0) und Y_{n} = max(X_{1}, …, X_{n}) − log n, n ∈ IN. Zeigen Sie, daß die Folge (Y_{n})_{n∈IN} in Verteilung konvergiert und bestimmen Sie die Grenzverteilung. (4)

Aufgabe 56. Finden Sie eine Folge (X_{n}) von Zufallsvariablen auf einem geeigneten Wahrscheinlichkeitsraum, die in Wahrscheinlichkeit, aber nicht fast sicher konvergiert. (Hinweis: Es geht mit Ω = [0, 1], IP = λ und Indikatorfunktionen von Intervallen.) (4)

Aufgabe 57. Sei (X_{n})_{n∈IN} eine Folge von unabhängigen Cauchyverteilten Zufallsvariablen (Dichte: f(x) = \frac{1}{π} \frac{1}{1+x^{2}} , x ∈ IR) und Y_{n} = \frac{1}{n} max(X_{1}, …, X_{n}), n ∈ IN. Zeigen Sie, daß die Folge (Y_{n})_{n∈IN} in Verteilung konvergiert und bestimmen Sie die Grenzverteilung. (Hinweis: arctan x + arctan \frac{1}{x} = \frac{π}{2}.) (4)

Abgabe: Dienstag, 7.2.01 vor der Übung