HUMBOLDT-UNIVERSITÄT ZU BERLIN

BEREICH STOCHASTIK PROF. IMKELLER

Blatt 2 WiSe 00/01

Übungen zur Einführung in die Stochastik

Aufgabe 6. Sei (Ω, F, IP) ein Wahrscheinlichkeitsraum und X : Ω → IR. Zeigen Sie die Äquivalenz der Aussagen:

a) X ist eine Zufallsvariable.

b) Für jede offene Menge U ⊂ IR ist X^{−1}(U) ∈ F. (4)

Aufgabe 7. Bei einem Fernsehquiz kann der Kandidat einen Porsche gewinnen, wenn er errät, hinter welcher der drei verschlossenen Türen A, B, C sich der Wagen befindet. Nachdem der Kandidat eine Tür T benannt hat, wird eine Tür T′ ∈ {A, B, C} \ {T } geöffnet, hinter der sich der Porsche nicht befindet (falls es zwei solche Türen gibt weil der Kandidat richtig geraten hat, wird jede mit Wahrscheinlichkeit 1/2 geöffnet); danach darf der Kandidat seine Entscheidung nochmal ändern. Wird durch diese Möglichkeit die Gewinnwahrscheinlichkeit des Kandidaten von 1/3 auf 1/2 erhöht? Nehmen Sie an, daß der Kandidat nach dem Öffnen der Tür T′ seine Entscheidung mit Wahrscheinlichkeit p ∈ [0, 1] ändert. Argumentieren Sie mit bedingten Wahrscheinlichkeiten. (4)

Aufgabe 8. Seien A, B, C unabhängige Ereignisse (in einem W-Raum (Ω, F, IP)). Gilt dann stets IP(A ∩ B | C) = IP(A | C) · IP(B | C)? (Beweis oder Gegenbeispiel!) (4)

Aufgabe 9. Seien A_{0}, A_{1}, …, A_{n} unabhängige Ereignisse. Sind dann A_{0} und ⋃_{i=1}^{n} A_{i} unabhängig? (Beweis oder Gegenbeispiel!) (4)

Aufgabe 10^{⋆}. Sei (A_{n})_{n∈IN} eine unabhängige Folge von Ereignissen (d.h. für jedes n ∈ IN sind die Ereignisse A_{1}, …, A_{n} unabhängig) in einem Wahrscheinlichkeitsraum (Ω, F, IP).

a) Die Menge A_{∞} ⊂ Ω bezeichne das Ereignis “Es treten unendlich viele der Ereignisse A_{i} ein”. Beschreiben Sie A durch mengentheoretische Operationen und zeigen Sie, daß A_{∞} ∈ F.

b) Zeigen Sie, daß für jedes n ∈ IN gilt: Die Ereignisse A_{∞}, A_{1}, …, A_{n} sind unabhängig.

c) Zeigen Sie, daß IP(A_{∞}) ∈ {0, 1}. (4)

Abgabe: Mittwoch, 7.11.00 vor der Übung