HUMBOLDT-UNIVERSITÄT ZU BERLIN

BEREICH STOCHASTIK PROF. IMKELLER

Blatt 3 SoSe 01

Übungen zur Stochastik II

Aufgabe 9. Sei X ∈ L^{1}(Ω, A, IP). Sei (Ω′, A′) ein meßbarer Raum und Y : Ω → Ω′ meßbar. Zeigen Sie: Es existiert eine meßbare Funktion g : Ω′ → IR, so daß

IE(X | Y) = g(Y).

(Hinweis: Zeigen Sie allgemein, daß sich jede σ(Y)-meßbare reellwertige Zufallsvariable Z als Funktion von Y darstellen läßt. Betrachten Sie zunächst den Fall, daß Z eine Indikatorfunktion ist.) (4)

Aufgabe 10. Seien X, Z unabhängigige zum Parammeter 1 poissonverteilte Zufallsvariable und Y = X + Z. Nach Aufg. 9 existiert eine Funktion g : IR → IR mit IE(X | Y) = g(Y). Bestimmen Sie g. (4)

Aufgabe 11/12. Seien μ, ν Wahrscheinlichkeitsmaße auf (Ω, A).

(i) Zeigen Sie: Es existiert eine meßbare Funktion g : Ω → [0, 1], so daß für jedes f ∈ L^{2}(Ω, A, μ) ∩ L^{2}(Ω, A, ν) gilt:

∫ f dν = ∫ fg dμ + ∫ fg dν.

(Hinweis: Überlegen Sie sich zunächst, daß durch ϕ(f) := ∫ f dν ein stetiges lineares Funktional ϕ auf L^{2}(Ω, A, μ + ν) definiert wird.)

(ii) Zeigen Sie mithilfe von (i): Falls ν ≪ μ (d.h. falls μ(A) = 0 ⇒ ν(A) = 0 für A ∈ A), so existiert eine meßbare Funktion h : Ω → IR^{+} mit

ν(A) = ∫_{A} h dμ

für alle A ∈ A. (8)

Abgabe: Mittwoch, 16.5.01 vor der Übung