HUMBOLDT-UNIVERSITÄT ZU BERLIN

BEREICH STOCHASTIK PROF. IMKELLER

Blatt 4 WiSe 00/01

Übungen zur Einführung in die Stochastik

Aufgabe 16. Finden Sie ein Beispiel für Zufallsvariable X, Y, die unkorreliert, aber nicht unabhängig sind. (4)

Aufgabe 17. Sei X eine Zufallsvariable mit Werten in IN_{0}. Zeigen Sie, daß

IE(X) = ∫_{0}^{∞} P (X > t)dt.

(4)

Aufgabe 18. Seien X_{1}, …, X_{n} diskret verteilte reellwertige Zufallsvariable. Die Matrix C = (c_{i,j})_{1≤i,j≤n} sei definiert durch c_{i,j} = Cov(X_{i}, X_{j}), 1 ≤ i, j ≤ n. Zeigen Sie, daß C positiv semidefinit ist (d.h. daß ⟨x, Cx⟩ ≥ 0 für alle x ∈ IR^{n}). (4)

Aufgabe 19. Für diskret verteilte Zufallsvariable X, Y mit Var(X) > 0 und Var(Y) > 0 ist der Korrellationskoeffizient ρ(X, Y) definiert durch

ρ(X, Y) = \frac{Cov(X, Y)}{(Var(X)Var(Y))^{1/2}} .

Zeigen Sie: Ist |ρ(X, Y)| = 1, so existiert eine lineare Funktion f : IR → IR, so daß IP(Y = f(X)) = 1. (4)

Aufgabe 20^{⋆}. Seien X_{1}, …, X_{n} unabhängige identisch verteilte Zufallsvariable mit unbekanntem Erwartungswert μ und unbekannter Varianz σ^{2}. Um μ und σ^{2} aus den “Beobachtungen” X_{1}(ω), …, X_{n}(ω) zu schätzen werden oft die Schätzer

μ̂ = \frac{1}{n} ∑_{i=1}^{n} X_{i},
σ̂^{2} = \frac{1}{n − 1} ∑_{i=1}^{n}(X_{i} − μ̂)^{2}

verwendet. (Beachten Sie, daß μ̂ und σ̂^{2} Zufallsvariable sind!) Wieso kommt in der Formel für σ̂^{2} der Faktor \frac{1}{n−1} vor? (4)

Abgabe: Mittwoch, 21.11.00 vor der Übung