HUMBOLDT-UNIVERSITÄT ZU BERLIN

BEREICH STOCHASTIK PROF. IMKELLER

Blatt 5 WiSe 00/01

Übungen zur Einführung in die Stochastik

Aufgabe 21. Eine radioaktive Probe wird 10 Minuten lang beobachtet. Die Anzahl der während dieses Zeitraums emittierten α-Teilchen sei poissonverteilt zum Parameter λ > 0. Jedes emittierte Teilchen wird mit Wahrscheinlichkeit p ∈]0, 1[ vom Geigerzähler registriert. Bestimmen Sie die Verteilung der Anzahl der registrierten α-Teilchen. (4)

Aufgabe 22. Seien X, Y unabhängige zum Parameter 1 poissonverteilte Zufallsvariable. Bestimmen Sie die bedingte Verteilung und Erwartung von X, gegeben X + Y = x. (4)

Aufgabe 23. Sie würfeln so lange bis zum ersten Mal eine 6 erscheint. Es bezeichne N die Zahl der benötigten Würfe. Bestimmen Sie die erzeugende Funktion sowie Erwartungswert und Varianz von N. (4)

Aufgabe 24. Seien X, Y diskrete reellwertige Zufallsvariable mit IE(|X|) < ∞. Zeigen Sie, daß für jede beschränkte Funktion f : IR → IR gilt:

IE(IE(X | Y)f(Y)) = IE(Xf(Y)).

Aufgabe 25.^{⋆} Sei (X_{n})_{n∈IN} eine Folge von unabhängigen identisch verteilten Zufallsvariablen mit Werten in IN_{0}. Sei N eine weitere von der Folge (X_{n})_{n∈IN} unabhängige Zufallsvariable mit Werten in IN_{0} und S = ∑_{i=1}^{N} X_{i}. Es sei IE(X_{1}^{2}) < ∞ und IE(N^{2}) < ∞. Zeigen Sie, daß

Var(S) = IE(N)Var(X_{1}) + IE(X_{1})^{2}Var(N).

(Hinweis: Verwenden Sie die erzeugenden Funktionen von X_{1}, N und S.) (4)

Abgabe: Mittwoch, 29.11.00 vor der Übung