HUMBOLDT-UNIVERSITÄT ZU BERLIN

BEREICH STOCHASTIK PROF. IMKELLER

Blatt 6 WiSe 00/01

Übungen zur Einführung in die Stochastik

Aufgabe 26. Seien X, Y Zufallsvariable mit Werten in der höchstens abzählbaren Menge S ⊂ IR. Sei f : S × S → IR beschränkt. Die Funktion g : S → IR sei definiert durch

g(y) = IE(f(X, y)).

Gilt dann stets

IE(f(X, Y) | Y) = g(Y) ?

(Beweis oder Gegenbeispiel!) (4)

Aufgabe 27. Sie (X_{n})_{n∈IN} eine Folge von unabhängigen Zufallsvariablen mit IP(X_{n} = 1) = p, IP(X_{n} = −1) = q, wobei p + q = 1 und p < \frac{1}{2}. Für n ∈ IN_{0} sei S_{n} = ∑_{i=1}^{n} X_{i}. Sei M = sup{S_{n} : n ≥ 0}. Zeigen Sie, daß für alle r ∈ IN_{0} gilt:

IP(M ≥ r) = (\frac{p}{q})^{r} .

(Hinweis: Betrachten Sie IP(M ≥ r | M ≥ r − 1).) (4)

Aufgabe 28. (Fortsetzung der Ruinproblems) Sei (X_{n})_{n∈IN} eine Folge von unabhängigen Zufallsvariablen mit IP(X_{n} = 1) = IP(X_{n} = −1) = \frac{1}{2}. Seien k, N ∈ IN mit 0 < k < N. Für n ∈ IN_{0} sei S_{n} = k + X_{1} + … + X_{n}. Sei T = inf{n ∈ IN_{0} | S_{n} = 0 oder S_{n} = N}. Bestimmen Sie IE(T). (Hinweis: Zerlegung nach dem ersten Schritt) (4)

Aufgabe 29. Sei (X_{n})_{n∈IN} eine Folge von unabhängigen Zufallsvariablen mit IP(X_{n} = 1) = IP(X_{n} = −1) = \frac{1}{2}. Für n ∈ IN_{0} sei S_{n} = ∑_{i=1}^{n} X_{i} und M_{n} = max(S_{0}, …, S_{n}). Zeigen Sie, daß für alle r, n ∈ IN gilt:

IP(M_{n} ≥ r) = 2IP(S_{n} ≥ r + 1) + IP(S_{n} = r).

(Hinweis: Zerlegen Sie das Ereignis {M_{n} ≥ r} mithilfe von S_{n} und überlegen Sie sich ein hilfreiches Bild.) (4)

Abgabe: Mittwoch, 6.12.00 vor der Übung