HUMBOLDT-UNIVERSITÄT ZU BERLIN

BEREICH STOCHASTIK PROF. IMKELLER

Blatt 7 WiSe 00/01

Übungen zur Einführung in die Stochastik

Aufgabe 30. Eine Population besteht zum Zeitpunkt 0 aus einem Individuum; jedes Individuum lebt nur eine Generation und vermehrt sich unabhängig von den anderen Individuen gemäß folgender Tabelle:

Anzahl Nachkommen 0 1 2
Wahrscheinlichkeit  0.1 0.5 0.2

Mit welcher Wahrscheinlichkeit stirbt die Population aus? (4)

Aufgabe 31. Sei (Z_{n})_{n∈IN_{0}} ein Verzweigungsprozeß, μ = IE(Z_{1}) und 0 < μ < ∞. Für n ∈ IN_{0} sei M_{n} = \frac{Z_{n}}{μ^{n}}. Zeigen Sie, daß für alle n ∈ IN_{0} gilt:

IE(Z_{n+1} | Z_{0}, …, Z_{n}) = Z_{n}.

(Hinweis: Ist X eine von Z_{0}, …, Z_{n} unabhängige Zufallsvariable und f : IR → IR, so ist IE(Xf(Z_{n}) | Z_{0}, …, Z_{n}) = f(Z_{n})IE(X).) (4)

Aufgabe 32. Sei (X_{n})_{n∈IN_{0}} eine Markovkette mit (abzählbarem) Zustandsraum S. Sei F : S → S beliebig und Y_{n} = F (X_{n}), n ∈ IN_{0}. Ist dann die Folge (Y_{n})_{n∈IN_{0}} automatisch wieder eine Markovkette? (Beweis oder Gegenbeispiel!) (4)

Aufgabe 33. Sei (S_{n})_{n∈IN_{0}} eine einfache symmetrische Irrfahrt auf ZZ, d.h. S_{n} = ∑_{i=1}^{n} X_{i}, wobei X_{1}, X_{2}, … unabhängig sind und IP(X_{i} = 1) = IP(X_{i} = −1) = \frac{1}{2}. Zeigen Sie, daß für alle n ∈ IN gilt:

IP(S_{1} ≠ 0, S_{2} ≠ 0, …, S_{2n} ≠ 0) = IP(S_{2n} = 0).

(Hinweis: Zeigen Sie, daß für 0 ≤ s < 1

∑_{n=0}^{∞} s^{2n}IP(S_{1} ≠ 0, S_{2} ≠ 0, …, S_{2n} ≠ 0) = P_{0}(s).

Nutzen Sie dabei die Rekurrenz von (S_{n})_{n≥0} aus.) (4)

Achtung: neuer Abgabermin!

Abgabe: Dienstag, 12.12.00 vor der Übung