HUMBOLDT-UNIVERSITÄT ZU BERLIN

BEREICH STOCHASTIK PROF. IMKELLER

Blatt 9 WiSe 00/01

Übungen zur Einführung in die Stochastik

Aufgabe 38. Sei (X_{i})_{0≤i≤N} eine homogene Markovkette mit Übergangsmatrix P. Zeigen Sie, daß auch die umgekehrte Folge (X_{N}, …, X_{0}) eine Markovkette ist. Ist die umgekehrte Kette automatisch auch homogen? (4)

Aufgabe 39. Sei (X_{n})_{n≥0} eine Markovkette mit der Übergangsmatrix

P = ( \begin{matrix}1/3 & 0 & 0 & 1/3 & 1/3 & 0 & 0 \\ 0 & 1/2 & 0 & 1/2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1/2 & 0 & 0 & 1/2 & 0 & 0 & 0 \\ 1/2 & 0 & 0 & 1/2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1/3 & 1/3 & 0 & 1/3 & 0 & 0 \end{matrix} ) .

Skizzieren Sie das Übergangsdiagramm dieser Kette und bestimmen Sie die Äquivalenzklassen. (4)

Aufgabe 40./41.

a) Sei P ∈ IR^{m×m} eine stochastische Matrix (d.h. es ist stets ∑_{j=1}^{m} P_{i,j} = 1 und P_{i,j} ≥ 0) mit strikt positiven Einträgen. Ferner sei M = {μ ∈ [0, 1]^{m} | ∑_{i=1}^{m} μ_{i} = 1} (wobei die Elemente von M als Zeilenvektoren aufgefaßt werden). Die Funktion h : M → IR sei definiert durch h(μ) = max_{1≤i≤m} \frac{μ_{i}}{(μP)_{i}}. Ferner sei γ = inf\{h(μ) | μ ∈ M\}. Zeigen Sie:

(i) Es existiert ein μ ∈ M mit γμP = μ. (Hinweis: h nimmt in M sein Minimum an).

(ii) P besitzt eine invariante Verteilung, d.h. es existiert ein μ ∈ M mit μP = μ.

b) Zeigen Sie mittels a), daß jede stochastische Matrix P ∈ IR^{m×m} eine invariante Verteilung besitzt. (Hinweis: Approximieren Sie P durch stochastische Matrizen Q^{n} mit strikt poitiven Einträgen und verwenden Sie ein Teilfolgenargument.) (4)

Abgabe: Dienstag, 9.1.01 vor der Übung

Guten Rutsch in neue Jahr!