Prof. Dr. Peter Imkeller WS 2001 Dr. Peter Bank

Übungen zur Vorlesung

Stochastische Analysis

Serie 1

1) Zeige:

(i) Ist X = (X^{1}, …, X^{d}) eine d-dimensionale Brownsche Bewegung, so ist für jeden Vektor x ∈ ℝ^{d} mit euklidischer Norm ∥x∥ = 1 der Prozeß

B(t) := x^{∗}X(t) = ∑_{i=1}^{d} x_{i}X_{i}(t) (t ≥ 0)

eine eindimensionale Brownsche Bewegung.

(ii) Die Umkehrung dieser Aussage ist falsch. Hinweis: Betrachte X(t) := (B_{2t/3} −W_{t/3}, W_{2t/3} +B_{t/3}) (t ≥ 0) für zwei unabhängige Brownsche Bewegungen B, W.

2) Zu einer Brownschen Bewegung B und λ ∈ (0, +∞) definieren wir den Prozeß

X_{t} := e^{−λt}B_{exp(2λt)} (t ∈ ℝ) .

(i) Zeige, daß X ein zentrierter, stationärer Gaußprozeß ist, und berechne seine Kovarianzfunktion. Bemerkung: X ist ein sog. Ornstein-Uhlenbeck-Prozeß.

(ii) Im Falle λ := 1/2 beweise man, daß auch

β_{t} := \begin{cases}X_{t} + \frac{1}{2} ∫_{0}^{t} X_{u} du, & t ≥ 0, \\ X_{t} − \frac{1}{2} ∫_{0}^{t} X_{u} du, & t < 0, \end{cases}

ein Gaußscher Prozeß ist, und berechne seine Kovarianzfunktion.

3) Beweise, daß fast alle Pfade einer Brownschen Bewegung nirgends Lipschitz-stetig sind.

Bemerkung: Hieraus folgt insbesondere, daß Brownsche Pfade nirgendwo differenzierbar sind.

Anleitung:

(i) Für K > 0, n ≥ 2 zeige, daß das Ereignis

A_{n} := {∃s ∈ [0, 1] mit |B_{t} − B_{s}| ≤ K|t − s| für alle t mit |t − s| ≤ 3/n}

im Ereignis

⋃_{k=2}^{n} \{|B_{j/n} − B_{(j−1)/n}| ≤ \frac{6K}{n} für j = k − 1, k, k + 1\}

enthalten ist.

(ii) Zeige, daß ℙ[A_{n}] ≤ const. n^{−1/2} für eine nur von K abhängige Konstante.

(iii) Für n ↑ +∞ und dann K ↑ +∞ folgt damit die Behauptung?!

4) Beweise, daß die Pfade der Brownschen Bewegung B fast sicher nach oben und unten unbeschränkt sind:

ℙ [sup_{t≥0} B_{t} = +∞, inf_{t≥0} B_{t} = −∞] = 1 .

Bemerkung: Hieraus folgt insbesondere, daß die eindimensionale (!) Brownsche Bewegung rekurrent ist, also unendlich oft zu einem beliebig vorgegebenen Punkt in ℝ zurückkehrt.

Hinweis: Nutze die Skalierungseigenschaft der Brownschen Bewegung, um zu zeigen, daß X := sup_{t≥0} B_{t} =_{d} c sup_{t≥0} B_{t} für alle c > 0. Es folgt ℙ[X = 0 oder X = +∞] = 1. Damit sind f.s. die nach oben beschränkten Pfade der Brownschen Bewegung identisch mit denen, die unterhalb der Nulllinie verlaufen?! Insbesondere genügt es also, ℙ[X = 0] = 0 zu zeigen. Verwende dazu die Abschätzung

ℙ[X = 0] ≤ ℙ[B_{1} ≤ 0 und B_{t} − B_{1} (t ≥ 1) nach oben beschränkt ]

und die Eigenschaften der Brownschen Bewegung.