Prof. Dr. Peter Imkeller WS 2001 Dr. Peter Bank

Übungen zur Vorlesung

Stochastische Analysis

Serie 2

1) Einen “klassischen” Integrator könnte man als eine stetige Funktion F : [0, 1] → ℝ definieren, die folgende Eigenschaft besitzt: Für jedes h ∈ C[0, 1] und jede Folge von Partitionen τ^{n} = {0 = t_{0}^{n} < … < t_{k_{n}}^{n} = 1} (n = 1, 2, …) mit ∥τ^{n}∥ = max_{1≤i≤k_{n}} |t_{i}^{n} − t_{i−1}^{n}| → 0 (n ↑ +∞) konvergiert die Folge der Riemann-Summen

∑_{i=1}^{k_{n}} h(t_{i−1}^{n}) (F (t_{i}^{n}) − F (t_{i−1}^{n}))

in ℝ.

(i) Zeige, daß in diesem Sinne “klassische” Integratoren von beschränkter Variation sind. Hinweis: Verwende den Satz von Banach–Steinhaus Jede punktweise beschränkte Familie beschränkter linearer Operatoren (T_{α})_{α∈A} zwischen zwei Banachräumen X und Y ist sogar normbeschränkt:

sup_{α∈A} ∥T_{α}x∥ < +∞ für alle x ∈ X ⇒ sup_{α∈A} ∥T_{α}∥ < +∞ .

(ii) Was bedeutet diese Beobachtung für die Pfade der Brownschen Bewegung?

2) Es bezeichne X die geometrische Brownsche Bewegung

X_{t} = x_{0} exp (σW_{t} + αt) (t ≥ 0)

mit Start in x_{0} > 0.

(i) Berechne sämtliche Momente 𝔼[X_{t}^{p}] (t ≥ 0, p ∈ ℝ). (ii) Für welche Parameterwerte σ, α ist X ein Martingal? (iii) Seien H_{n}(t, x) (n = 0, 1, …) die durch

exp (σx − \frac{1}{2}σ^{2}t) = ∑_{n=0}^{+∞} \frac{σ^{n}}{n!} H_{n}(t, x) (t, x ∈ ℝ)

definierten Hermite-Polynome. Zeige, daß für jedes n = 0, 1, … der Prozeß H_{n}(t, W_{t}) (t ≥ 0) ein Martingal ist. (Hinweis: Koeffizientenvergleich)

3) Für eine Brownsche Bewegung X = (X_{t})_{t≥0} ist

F̂ := ⋂_{t≥0} σ(X_{s}, s ≥ t)

die σ–Algebra der in der fernen Zukunft beobachtbaren Ereignisse (‘tail field’). Beweise das folgende 0-1-Gesetz:

Für jedes A ∈ F̂ gilt ℙ[A] ∈ {0, 1} .

Hinweis: Verwende die Rechtsstetigkeit vervollständigter Brownscher Filtrationen.

4) Nutze den Konvergenzsatz für Rückwärtsmartingale, um das starke Gesetz der großen Zahlen zu beweisen:

X_{i} ∈ L^{1}(ℙ) (i = 1, 2, …) i.i.d. ⇒ \frac{1}{n}S_{n} := \frac{1}{n} ∑_{i=1}^{n} X_{i} → 𝔼X_{0} fast sicher für n ↑ +∞ .

Hinweis: Berechne 𝔼 [X_{0} | S_{n}, S_{n+1}, …], dann Kolmogorovs 0-1-Gesetz …