Prof. Dr. Peter Imkeller WS 2001 Dr. Peter Bank

Übungen zur Vorlesung

Stochastische Analysis

Serie 3

1) (Doppelaufgabe) Beweise das Gesetz der großen Zahlen

∃ lim_{t↑+∞} \frac{B_{t}}{t} = 0 fast sicher

für eine Brownsche Bewegung B auf zwei Arten:

(i) Zeige, daß für jede Konstante μ > 0 der Prozeß B_{t} − μt (t ≥ 0) fast sicher gegen −∞ strebt, wenn t ↑ +∞. Hieraus folgt lim sup_{t↑+∞} B_{t}/t ≤ 0 fast sicher (?!), und dies liefert die Behauptung aus Symmetriegründen. Hinweis: Betrachte M_{t} = exp (2μ(B_{t} − μt)) (t ≥ 0) und verwende den Martingalkonvergenzsatz und Aufgabe 4) von Serie 1, um einen Widerspruchsbeweis zu führen.

(ii) Nutze Tschebyscheffs Ungleichung und dann Doobs Maximalungleichung, um für ε > 0 und n = 1, 2, … die Abschätzung

ℙ [ sup_{2^{n}≤t≤2^{n+1}} |\frac{W_{t}}{t} | ≥ ε] ≤ \frac{const.}{ε^{2}2^{n}}

zu beweisen. Leite hieraus die Behauptung durch ein Borel-Cantelli-Argument ab.

2) Sei M = (M_{t})_{t≥0} ein nichtnegatives, stetiges Martingal, das für t ↑ +∞ gegen Null konvergiert. Setze M^{∗} := sup_{t≥0} M_{t} und zeige:

(i) Für x > 0 gilt

ℙ [M^{∗} ≥ x | F_{0}] = 1 ∧ (M_{0}/x) .

Hinweis: Betrachte T^{x} := inf{t ≥ 0 | M_{t} ≥ x}.

(ii) Allgemeiner gilt für F_{0}-meßbares X ≥ 0:

ℙ [M^{∗} ≥ X | F_{0}] = 1 ∧ (M_{0}/X) ,

d.h. M_{0} ist die größte F_{0}-meßbare Zufallsvariable, die kleiner als M^{∗} ist.

3) Nutze Aufgabe 2), um die Verteilungsfunktion der folgenden Zufallsvariablen zu bestimmen:

(i) Das Maximum einer in a > 0 startenden Brownschen Bewegung bis zu ihrem ersten Besuch in 0.

(ii) Das gesamte Maximum einer in 0 startenden Brownschen Bewegung mit negativer Drift −μ < 0. Hinweis: Betrachte M_{t} = exp (2μ(B_{t} − μt)) (t ≥ 0). Bemerkung: Für a ∈ ℝ, b > 0 und eine Standard-Brownsche Bewegung B heißt der Prozeß bB_{t} + at (t ≥ 0) Brownsche Bewegung mit Drift a und Volatilität b.