Prof. Dr. Peter Imkeller WS 2001 Dr. Peter Bank

Übungen zur Vorlesung

Stochastische Analysis

Serie 10

1) Der Black-Scholes Preis einer Call-Option mit Ausübungspreis c und Fälligkeit T > 0 ist im Zeitpunkt t ∈ [0, T) bei Aktienpreis x > 0 durch

V (x, t) = xΦ(d_{+}(x, t)) − ce^{−r(T −t)}Φ(d_{−}(x, t))

gegeben (vgl. Vorlesung). Hierbei bezeichnet r ∈ ℝ die risikolose Zinsrate und σ > 0 die Volatilität der Aktie; die Funktionen d_{+} und d_{−} sind durch

d_{±}(x, t) = \frac{log \frac{x}{c} + (r ± \frac{1}{2}σ^{2})(T − t)}{σ\sqrt{T − t}}

definiert.

Man berechne die sogenannten ‘Greeks’:

(i) “Delta” := \frac{∂}{∂x}V (x, t),

(ii) “Gamma” := \frac{∂^{2}}{∂x^{2}} V (x, t), (iii) “Theta” := \frac{∂}{∂t}V (x, t).

Wie lassen sich diese Größen ökonomisch interpretieren?

[3+3+3+3 Punkte]

2) Es seien S und P drei strikt positive Itô-Prozesse, die wir als Modell zur Beschreibung der Kursentwicklung zweier Wertpapiere interpretieren wollen. Ferner mögen die produktmeßbaren, adaptierten, beschränkten Prozesse ξ und η eine Anlagestrategie (in Stücken) für S und P beschreiben.

Beweise die Äquivalenz der folgenden Bedingungen:

(i) Die Strategie (ξ, η) ist selbstfinanzierend, d.h., der Wertprozeß V_{t} = ξ_{t}S_{t} + η_{t}P_{t} ist ein Itô-Prozeß mit Dynamik

dV_{t} = ξ_{t} dS_{t} + η_{t} dP_{t} .

(ii) Der in Einheiten von P angegebene Wertprozeß V_{t}/P_{t} = ξ_{t}(S_{t}/P_{t}) + η_{t} ist ein Itô-Prozeß mit Dynamik

d (\frac{V}{P} )_{t} = ξ_{t} d (\frac{S}{P} )_{t} (t ≥ 0) .

[12 Punkte] 3) Doppelaufgabe Wir modellieren die Wertenwicklung mehrer Wertpapiere als d-

dimensionalen Itô-Prozeß S = (S^{(1)}, …, S^{(d)}) mit

S_{0} = s_{0}, dS_{t} = diag(S_{t})(m dt + σ dW_{t}) (t ≥ 0) ,

wobei s_{0} ∈ (0, +∞)^{d} die Startpreise angibt und m ∈ ℝ^{d} bzw. σ ∈ ℝ^{d×d} Drift bzw. Volatilität der Wertpapiere beschreibe. Der risikolose Zinssatz liege bei r ∈ ℝ. Ferner bezeichne π_{t}^{(i)} (t ≥ 0) einen produktmeßbaren, adaptierten Prozeß mit

∫_{0}^{t}(π_{s}^{(i)})^{2} ds < +∞ für alle t ≥ 0 fast sicher,

der prozentual angibt, welchen Anteil seines Gesamtvermögens ein Investor zu jedem Zeitpunkt in das Papier S^{(i)}, i = 1, …, d, investiert hat.

(i) Beschreibe die Dynamik der Wertentwicklung X^{x,π} einer durch π beschriebenen selbstfinanzierenden Portfoliostrategie bei Anfangskapital x > 0 als lineare stochastische Differentialgleichung in den Differentialen dW_{t}^{(i)}, dt. Bemerkung: Offenbar ist 1 − ∑_{i} π^{(i)} der in das risikolose Wertpapier zu investierende Vermögensanteil, wenn die Gesamtstrategie selbstfinanzierend sein soll.

(ii) Kann X^{x,π} den Wert 0 annehmen oder gar unterschreiten?

(iii) Betrachte den Spezialfall, in dem d = 2 Wertpapierpreisprozesse von derselben Brownschen Bewegung W^{(1)} getrieben werden:

σ = (\begin{matrix}σ_{11} & 0 \\ σ_{21} & 0 \end{matrix}) , σ_{11}, σ_{21} ≠ 0 .

Wie muß man π^{(2)} zu vorgegebenen π^{(1)} wählen, damit die zugehörige selbstfinanzierenden Strategie einen Wertprozeß X^{x,π} mit Dynamik

dX_{t}^{x,π} = X_{t}μ_{t} dt

für einen geeigneten skalaren Prozeß μ_{t} folgt?

(iv) Aus ökonomischen Gründen (Arbitragefreiheit des Finanzmarktes) muß in einem ‘sinnvollen’ Modell der Prozeß μ aus (iii) mit der risikolosen Zinsrate r zusammenfallen: μ ≡ r. Was impliziert das für die Quotienten (m^{(i)} − r)/σ_{i1} (i = 1, 2)?

[6+6+6+6 Punkte]