Prof. Dr. Peter Imkeller WS 2001 Dr. Peter Bank

Übungen zur Vorlesung

Stochastische Analysis

Serie 11

1) (i) Auf einem offenen, beschränkten Gebiet D ⊂ ℝ^{d} betrachte wir das sogenannte Poisson-Problem

\frac{1}{2}Δu = −g auf D, u = f auf ∂D

mit stetigen, beschränkten Funktionen g : D → ℝ, f : ∂D → ℝ. Zeige: Ist u ∈ C^{0}(D̄) ∩ C^{2}(D) eine Lösung dieses Problems, so gilt

u(x) = 𝔼_{x}[f(W_{T_{D}}) + ∫_{0}^{T_{D}} g(W_{s}) ds] (x ∈ D),

wobei W eine d-dimensionale Brownsche Bewegung mit ℙ_{x}[W_{0} = x] = 1 ist und

T_{D} := inf{t ≥ 0 | W_{t} ∉ D}

ihre Austrittszeit aus dem Gebiet D bezeichnet. Hinweis: Wie muß man den absolutstetigen Prozeß A wählen, damit u(W^{T_{D}})+ A ein ℙ_{x}-Martingal für jedes x ∈ ℝ^{d} wird?

(ii) Nutze (i), um für D = B_{r}, die d-dimensionale Kugel um 0 mit Radius r, die mittlere Austrittszeit bei Start in x ∈ B_{r} zu

𝔼_{x}[T_{B_{r}}] = \frac{r^{2} − ∥x∥^{2}}{d}

zu berechnen.

[9+3 Punkte]

2) Auf einem offenen, beschränkten Gebiet D ⊂ ℝ^{d} betrachte wir die partielle Differentialgleichung

\frac{1}{2}Δu + V u = 0 auf D, u = f auf ∂D ,

wobei V eine stetige, beschränkte Funktion auf D bezeichne.

Für Lösungen u ∈ C^{0}(D̄) ∩ C^{2}(D) leite man eine stochastische Darstellung wie in Aufgabe 1(i) her.

Hinweis: Wie muß man den absolutstetigen Prozeß A wählen, damit u(W^{T_{D}})A ein ℙ_{x}-Martingal für jedes x ∈ ℝ^{d} wird?

[12 Punkte] 3) In dieser Doppelaufgabe geben wir einen probabilistischen Beweis zum

Satz von Tychonov Auf D := (0, T] × ℝ sei u ∈ C^{1,2} Lösung zur Wärmeleitungsgleichung

\frac{∂u}{∂t} = \frac{1}{2} \frac{∂^{2}u}{∂x^{2}}

und genüge ferner der Randbedingung

lim_{t↓0, y→x} u(t, y) = 0 für alle x ∈ ℝ

sowie der Beschränktheitsbedingung

sup_{0<t≤T} |u(t, x)| ≤ Ke^{αx^{2}} (x ∈ ℝ)

für geeignete Konstanten K, α > 0. Dann ist u ≡ 0 auf D.

Für den Beweis betrachten wir eine Brownsche Bewegung X mit Start in x unter ℙ_{x} (x ∈ ℝ) und verfahren wie folgt:

(i) Für (x, t) ∈ D gilt

u(x, t) = 𝔼_{x} [u (X_{s}, T − t − s) ; R_{n} > s] + 𝔼_{x} [u (X_{R_{n}}, T − t − R_{n}) ; R_{n} ≤ s] ,

wobei s ∈ [0, T − t) und n > |x| beliebig ist und

R_{n} := inf{u ≥ 0 | |X_{u}| > n}

gesetzt sei. (ii) Der erste Summand in (i) strebt für s ↑ T − t gegen 0, der zweite gegen

𝔼_{x} [u (X_{R_{n}}, T − t − R_{n}) ; R_{n} < T − t] .

(iii) Also reicht es zum Beweis unserer Behauptung zu zeigen, daß der Integrand in (ii) für n ↑ +∞ für alle x ∈ ℝ in L^{1}(ℙ_{x}) gegen 0 konvergiert!? Und dies folgt schon, falls ℙ^{x}[R_{n} < T − t]e^{an^{2}} → 0 für n ↑ +∞, womit sich der Beweis auf eine geeignete Abschätzung von ℙ^{x}[R_{n} < T − t] für große n reduziert!? Nutze dazu nun einerseits, daß ohne Beschränkung T > 0 beliebig klein gewählt werden kann, und andererseits die (als bekannt vorauszusetzende) Gleichung bzw. Abschätzung

P^{0}[T_{y} < T − t] = \sqrt{\frac{2}{π}} ∫_{y/\sqrt{T −t}}^{+∞} e^{−x^{2}/2} dx ≤ \frac{e^{−y^{2}/2(T −t)}}{y/\sqrt{T − t}}

für die Passierzeiten

T_{y} := inf{t ≥ 0 | X_{t} ≥ y} (y > 0)

der Brownschen Bewegung.

[6+6+12 Punkte]