Prof. Dr. Peter Imkeller WS 2001 Dr. Peter Bank

Übungen zur Vorlesung

Stochastische Analysis

Serie 12

1) Berechne die Itô-Darstellung zu folgenden Funktionalen einer Brownschen Bewegung W = (W_{t})_{0≤t≤T}:

(i) W_{T}^{2},

(ii) ∫_{0}^{T} W_{t}^{2} dt,

(iii) ∫_{0}^{T} e^{σW_{t}+μt} dt mit σ, μ ∈ ℝ.

[2+5+5 Punkte]

2) Zeige: Ist W eine Brownsche Bewegung bzgl. der Filtration (F_{t})_{t≥0} und bezeichnet (F_{t}^{W})_{t≥0} die von W erzeugte Filtration, so gilt für jedes F_{∞}^{W} meßbare H ≥ 0 die Gleichung

𝔼 [H | F_{t}] = 𝔼 [H | F_{t}^{W} ] (t ≥ 0) .

[12 Punkte]

3) Beweise die folgende mehrdimensionale Variante von

Itôs Darstellungssatz Jedes quadratintegrierbare Funktional H einer d-dimensi-onalen Brownschen Bewegung W besitzt eine eindeutige Darstellung der Form

H = 𝔼[H] + ∑_{i=1}^{d} ∫_{0}^{+∞} ξ_{s}^{i} dW_{s}^{i}

für ein progressiv meßbares ξ mit 𝔼 ∫_{0}^{+∞} ∥ξ∥^{2}dt < +∞.

Hinweis: Nutze die in der Vorlesung bewiesene 1-dimensionale Variante, um die Behauptung zunächst für H der Form H = ∏_{i} F_{i}(W^{i}) mit beschränkten, meßbaren Funktionen F_{i} : ℝ → ℝ zu beweisen, und verwende dann ein Dichteargument.

[12 Punkte]

4) Beweise: Jedes an eine Brownsche Filtration adaptierte lokale Martingal hat eine

stetige Version.

[12 Punkte]