Prof. Dr. Peter Imkeller WS 2001 Dr. Peter Bank

Übungen zur Vorlesung

Stochastische Analysis

Serie 13

1) Sei B eine Brownsche Bewegung auf dem Wahrscheinlichkeitsraum (Ω, F, ℙ) zur Filtrierung F_{t} (t ≥ 0) . Zeige, daß für jede fast sicher endliche Stoppzeit T der Prozeß

B̃_{t} := B_{T +t} − B_{T} (t ≥ 0)

eine Brownsche Bewegung bzgl. der Filtrierung G_{t} := F_{T +t} (t ≥ 0) ist. Insbesondere ist also (B̃_{t}, t ≥ 0) unabhängig von G_{0} = F_{T}.

2) Zeige mit Hilfe von Aufgabe 1, daß sich die Verteilung des Maximums einer Brownschen Bewegung B auf endlichen Intervallen [0, t] zu

ℙ[max_{0≤s≤t} B_{s} ≥ a] = 2ℙ[B_{t} ≥ a] (a > 0)

ergibt, und berechne daraus die Dichte

ℙ[T_{a} ∈ dt] = \frac{a}{\sqrt{2πt}} exp (−\frac{a^{2}}{2t} ) 1_{(0,+∞)}(t)

der Passierzeit T_{a} := inf{s ≥ 0 | B_{s} ≥ a}, a > 0.

Hinweis: Beschreibe das Ereignis {max_{0≤s≤t} B_{s} ≥ a, B_{t} < a} mit Hilfe der Passierzeit T_{a} und des Prozesses (B_{T_{a}+s} − B_{T_{a}})_{s≥0} …

3) Beweise den

Satz von Reuter Der Zeitpunkt, in dem eine Brownsche Bewegung mit Drift und Start in 0 aus einer Kugel um 0 austritt, ist unabhängig vom Ort, wo dies geschieht.

Hinweis: Aus Aufgabe 4(ii), Serie 8, folgt schon, daß die Behauptung für die Brownsche Bewegung ohne Drift richtig ist!?

4) Sei ℙ^{∗} ein beliebiges Wahrscheinlichkeitsmaß und ℙ das Wienermaß auf dem Pfadraum (C[0, +∞), B(C[0, +∞)). Es bezeichne W den Koordinatenprozeß.

Zeige: Es ist ℙ^{∗} äquivalent zu ℙ genau dann, wenn es einen (F_{t}^{W})_{t≥0}-progressiv meßbaren Prozeß ξ mit ∫_{0}^{+∞} ξ_{t}^{2} dt < +∞ fast sicher gibt, so daß

ℙ^{∗}[A] = 𝔼 [1_{A} exp (∫_{0}^{+∞} ξ_{t} dW_{t} − \frac{1}{2}ξ_{t}^{2} dt)] für alle A ∈ B(C[0, +∞)) .

Hinweis: s. Serie 9, Aufgabe 4!