Prof. Dr. Peter Imkeller WS 2001 Dr. Peter Bank

Übungen zur Vorlesung

Stochastische Analysis

Serie 4

1) Für eine Brownsche Bewegung B berechne die Varianz von

∫_{0}^{t} |B_{s}|^{p} dB_{s} und ∫_{0}^{t}(B_{s} + s)^{2} dB_{s} (t, p ≥ 0) .

2) Für eine Brownsche Bewegung B und f ∈ L^{2}(ℝ_{+}) definiere

Z_{t} := ∫_{0}^{t} f(s) dB_{s} und E(Z)_{t} := exp (∫_{0}^{t} f(s) dB_{s} − \frac{1}{2} ∫_{0}^{t} f(s)^{2} ds) (t ≥ 0) .

Man zeige, daß E(Z) ein Martingal ist (bzgl. der Standardfiltrierung (F_{t})_{t≥0} zu B).

Hinweis: Die Behauptung ist äquivalent dazu, daß Z_{t} − Z_{s} für s ≤ t von (F_{s}) unabhängig und N(0, ∫_{s}^{t} f(u)^{2} du)-verteilt ist?! Beweise letzteres zunächst für einfache f ∈ L^{2}(ℝ_{+}).

3) Sei (Ω, F, (F_{t})_{t≥0}, ℙ) ein filtrierter Wahrscheinlichkeitsraum. Ein Prozeß X : Ω × ℝ_{+} → ℝ heißt progressiv meßbar, falls für jedes t ≥ 0 die Einschränkung X|_{Ω×[0,t]} F_{t} ⊗ B([0, t])-meßbar ist.

Zeige: Ist X progressiv meßbar und T eine Stoppzeit, so ist

(i) die Zufallsvariable X_{T} (ω) := X(ω, T (ω))1_{{T <+∞}}(ω) F_{T} -meßbar und

(ii) der gestoppte Prozeß X^{T} := (X_{T ∧t})_{t≥0} wieder progressiv meßbar.

4) Sei (B_{t}, t ≥ 0) eine Brownsche Bewegung bzgl. der Filtrierung (F_{t}, t ≥ 0).

(i) Beweise die Waldschen Identitäten

𝔼B_{T} = 0 und 𝔼B_{T}^{2} = 𝔼T

für alle Stoppzeiten T mit endlicher Erwartung 𝔼T < +∞.

Bemerkung: Man kann zeigen, daß für die Gültigkeit dieser Waldschen Identitäten sogar schon die schwächere Bedingung 𝔼\sqrt{T} < +∞ genügt.

(ii) Man gebe eine fast sicher endliche Stoppzeit T^{∗} an, für die diese Identitäten nicht gelten.