Prof. Dr. Peter Imkeller WS 2001 Dr. Peter Bank

Übungen zur Vorlesung

Stochastische Analysis

Serie 5

1) Beweise, daß der zu einer vervollständigten, rechtsstetigen Filtration gehörige Raum M_{c}^{2} der quadrat-integrierbaren, Martingale mit fast sicher stetigen Pfaden vollständig ist bezüglich der Norm ∥M∥ := 𝔼[M_{T}^{2}]^{1/2}.

[12 Punkte]

2) Ein stochastischer Prozeß M = (M_{t})_{t≥0} auf (Ω, F, (F_{t})_{t≥0}, ℙ) heißt lokales Martingal, falls es eine fast sicher gegen +∞ wachsende Folge von Stoppzeiten T^{1} ≤ T^{2} ≤ … gibt, so daß jeder der gestoppten Prozesse M^{T_{n}} = (M_{T_{n}∧t})_{t≥0} (n = 1, 2, …) ein Martingal ist.

Für lokale Martingale M und N zeige man:

(i) Der in einer Stoppzeit T gestoppte Prozeß M^{T} = (M_{T ∧t}) (t ≥ 0) ist ein lokales Martingal.

(ii) Auch M + N ist ein lokales Martingal.

(iii) M ist ein ‘echtes’ Martingal genau dann, wenn M ‘von der Klasse (DL)’ ist, d.h., wenn für jedes a > 0 die Familie von Zufallsvariablen (M(T), T ≤ a eine Stoppzeit) gleichgradig integrierbar ist.

[3+3+6 Punkte]

3) Sei τ^{n} = {0 = t_{0}^{n} < … < t_{k_{n}}^{n} = T } (n = 1, 2, …) eine Folge von Zerlegungen des Intervalls [0, T] mit ∥τ^{n}∥ → 0. Man zeige:

(i) Ist A : [0, T] → ℝ stetig und von beschränkter Variation, so gilt

∑_{t_{i}^{n}∈τ^{n}, t_{i}^{n}<T} A_{θ_{i}^{n}}(A_{t_{i+1}^{n}} − A_{t_{i}^{n}}) → \frac{1}{2}A_{T}^{2} ,

für jede beliebige Wahl der Zwischenstellen θ_{i}^{n} ∈ [t_{i}^{n}, t_{i+1}^{n}] (n = 1, 2, …, i = 0, …, k_{n} − 1).

(ii) Für eine Brownsche Bewegung B und λ ∈ [0, 1] konvergiert sowohl

S_{λ}^{n} := ∑_{t_{i}^{n}∈τ^{n}, t_{i}^{n}<T}(λB_{t_{i}} + (1 − λ)B_{t_{i+1}})(B_{t_{i+1}} − B_{t_{i}})

als auch

S̄_{λ}^{n} := ∑_{t_{i}^{n}∈τ^{n}, t_{i}^{n}<T} B_{λt_{i}+(1−λ)t_{i+1}}(B_{t_{i+1}} − B_{t_{i}})

in L^{2} gegen

\frac{1}{2}B_{T}^{2} + (\frac{1}{2} − λ) T .

(iii) Für welche(s) λ ist \frac{1}{2}B_{t}^{2} + (\frac{1}{2} − λ)t (t ≥ 0) ein Martingal? [3+8+1 Punkte]

4) Sei H ein adaptierter, rechtsstetiger und beschränkter Prozeß mit Werten in ℝ und B eine Brownsche Bewegung. Beweise die Konvergenz

\frac{1}{B_{t}} ∫_{0}^{t} H_{s} dB_{s} → H_{0} stochastisch für t ↓ 0 .

Hinweis: Wende die Cauchy-Schwarz-Ungleichung auf |\frac{1}{B_{t}} ∫_{0}^{t}(H_{s} − H_{0}) dB_{s}|^{1/4} an, nutze dann die Jensen’sche Ungleichung (𝔼[|X|])^{4} ≤ 𝔼[|X|^{4}], um schließlich die Ito-Isometrie einsetzen zu können.

[12 Punkte]