Prof. Dr. Peter Imkeller WS 2001 Dr. Peter Bank

Übungen zur Vorlesung

Stochastische Analysis

Serie 6

1) Sei B eine Brownsche Bewegung und X ≥ 0 eine von B unabhängige Zufallsvariable. Zeige, daß der Prozeß M_{t} := B_{tX} (t ≥ 0) bzgl. der von ihm erzeugten vollständigen und rechtsstetigen Filtrierung (F_{t}^{M}, t ≥ 0) immer ein lokales Martingal ist. Gilt zudem noch 𝔼X^{1/2} < +∞, so ist M sogar ein echtes Martingal.

[12 Punkte]

2) Es bezeichne M_{loc} die Menge der (nicht notwendig stetigen) lokalen Martingale auf dem filtrierten Wahrscheinlichkeitsraum (Ω, F, (F_{t})_{t≥0}, ℙ).

Zeige: M_{loc} ist stabil bzgl. weiterer Lokalisierung, d.h., es gilt M_{loc} = (M_{loc})_{loc}, wobei (M_{loc})_{loc} die Menge aller stochastischen Prozesse M : Ω×ℝ_{+} → ℝ bezeichne, für die eine gegen +∞ wachsende Folge von Stoppzeiten T_{1} ≤ T_{2} ≤ … existiert, so daß jeder der gestoppten Prozesse M^{T_{n}} (n = 1, 2, …) in M_{loc} liegt.

[12 Punkte]

3) Das exakte Wachstumsverhalten einer Brownschen Bewegung B in 0 bzw. +∞ beschreibt der sogenannte

Satz vom iterierten Logarithmus Fast sicher gilt

lim sup_{t↓0} \frac{B_{t}}{\sqrt{2t log log(1/t)}} = 1 und lim sup_{t↑+∞} \frac{B_{t}}{\sqrt{2t log log t}} = 1 .

Wir wollen im folgenden Teile dieses Satzes beweisen.

(i) Zeige, daß sich jede dieser beiden Wachstumsbeschreibungen aus der anderen herleiten läßt.

(ii) Für α, β, t > 0 beweise man die Abschätzung

ℙ [sup_{s≤t}\{B_{s} − \frac{1}{2}αs\} > β] ≤ e^{−αβ} .

Hinweis: Betrachte das Martingal exp(αB_{s} − \frac{1}{2}αs) (s ≥ 0) .

(iii) Setze h(t) := \sqrt{2t log log(1/t)} und für θ, δ ∈ (0, 1) betrachte die Folgen

t_{n} := θ^{n}, α_{n} := (1 + δ)h(t_{n})/t_{n} und β_{n} := h(t_{n})/2 (n = 1, 2, …) .

Zeige, daß fast sicher für jedes hinreichend große n die Ungleichung

sup_{s≤t_{n}}\{B_{s} − \frac{1}{2}α_{n}s\} ≤ β_{n}

richtig ist. Hinweis: Nutze (i) für ein Borel-Cantelli-Argument.

(iv) Folgere hieraus, daß fast sicher für hinreichend große n die Abschätzung

B_{t} ≤ \frac{1}{2}θ^{−1/2}(2 + δ)h(t) für alle t ∈ [t_{n+1}, t_{n}]

gilt. Hinweis: Für t ∈ [t_{n+1}, t_{n}] gilt h(t_{n}) ≤ θ^{−1/2}h(t)?!

(v) Beweise

lim sup_{t↓0} \frac{B_{t}}{h(t)} ≤ 1 fast sicher.

[3+3+2+2+2 Punkte]

4) Sei B eine Brownsche Bewegung und β, T ∈ (0, +∞).

(i) Zeige mit Hilfe einer Zeittransformation die Gleichheit in Verteilung

max_{0≤t≤T} \{e^{−βt} ∫_{0}^{t} e^{βu} dB_{u}\} =_{d} max_{0≤s≤ \frac{e^{2βT} −1}{2β}} \frac{B_{s}}{\sqrt{1 + 2βs}} .

(ii) Nutze den Satz vom iterierten Logarithmus, um zu zeigen, daß

lim_{β↑+∞} max_{0≤s≤ \frac{e^{2βT} −1}{2β}} \frac{B_{s}}{\sqrt{1 + 2βs}} = 0 fast sicher.

(iii) Folgere, daß

ℙ- lim_{β↑+∞} max_{0≤t≤T} {e^{−βt} ∫_{0}^{t} e^{βu} dB_{u}} = 0.

[6+4+2 Punkte]