Prof. Dr. Peter Imkeller WS 2001 Dr. Peter Bank

Übungen zur Vorlesung

Stochastische Analysis

Serie 7

1) (Doppelaufgabe) Sei B = (B^{1}, …, B^{d}) eine d-dimensionale Brownsche Bewegung.

(i) Für eine Zerlegungsfolge τ^{n} = {0 = t_{0}^{n} < t_{1}^{n} < … < t_{k_{n}}^{n} = T } (n = 1, 2, …) von [0, T] mit ∥τ^{n}∥ → 0 (n ↑ +∞) beweise man die Konvergenzen

∑_{t_{k−1}^{n}≤t} (B_{t_{k}^{n}}^{i} − B_{t_{k−1}^{n}}^{i}) (B_{t_{k}^{n}}^{j} − B_{t_{k−1}^{n}}^{j}) → δ_{ij}t in L^{2} (t ≥ 0, i, j = 1, …, d),

wobei δ_{ij} = 1 für i = j und δ_{ij} = 0 sonst. Hinweis: Polarisierung.

(ii) Nutze (i), um analog zur Vorgehensweise der Vorlesung im eindimensionalen Fall nun die mehrdimensionale Itô-Formel zu beweisen: Für f ∈ C^{2}(ℝ^{d}) gilt

f(B_{t}) − f(B_{0}) = ∫_{0}^{t} ∇f(B_{s}) · dB_{s} + \frac{1}{2} ∫_{0}^{t} Δf(B_{s}) ds (t ≥ 0)

fast sicher.

[8+16 Punkte]

2) Seien wieder H_{n}(t, x) (n = 0, 1, …) die Hermite-Polynome aus Serie 2, Aufgabe 2. Zeige, daß jedes H_{n} Lösung der Wärmeleitungsgleichung

\frac{∂}{∂t}H_{n}(t, x) + \frac{∂^{2}}{∂^{2}x}H_{n}(t, x) = 0

ist, und folgere daraus die Martingaleigenschaft für H_{n}(t, W_{t}) (t ≥ 0) mit Hilfe der Itô-Formel.

[12 Punkte]

3) Sei f : ℂ → ℂ eine analytische Funktion und (X, Y) eine zweidimensionale Brownsche Bewegung. Wir identifizieren (X, Y) mit Z := X + iY, der Brownschen Bewegung in der komplexen Ebene.

(i) Zeige f(Z) ist ein (komplexwertiges) lokales Martingal.

Hinweis: Cauchy-Riemannsche Differentialgleichungen. (ii) Unter Benutzung der Kreisscheibenrekurrenz der zweidimensionalen Brown-

schen Bewegung (Vorl.) beweise man den Fundamentalsatz der Algebra Jedes nichtkonstante Polynom p : ℂ → ℂ hat eine Nullstelle.

[4+8 Punkte]