Prof. Dr. Peter Imkeller WS 2001 Dr. Peter Bank

Übungen zur Vorlesung

Stochastische Analysis

Serie 8

1) Sei

X_{t} = ∫_{0}^{t} a_{s} ds + ∫_{0}^{t} σ_{s} dW_{s} (t ≥ 0)

ein Itô-Prozeß. Für welche Prozesse b ist dann Y_{t} = ∫_{0}^{t} b_{s} dX_{s} (t ≥ 0) erklärt? Berechne für diese b den Kovariationsprozeß ⟨X, Y ⟩.

[4+8 Punkte]

2) Für μ, δ ∈ ℝ und eine Brownsche Bewegung W zeige man, daß der Prozeß

X_{t} = ∫_{0}^{t} exp (δ (W_{t} − W_{s} + μ(t − s)) − \frac{1}{2}δ^{2}(t − s)) ds (t ≥ 0)

der stochastischen Integralgleichung

X_{t} = ∫_{0}^{t}(1 + δμX_{s}) ds + δ ∫_{0}^{t} X_{s} dW_{s} (t ≥ 0)

genügt.

[12 Punkte]

3) Nutze die Itô-Formel und die Brownsche Bewegung für einen Beweis zum

Satz von Liouville Beschränkte harmonische Funktionen auf ℝ^{d} sind konstant. [12 Punkte]

4) Sei B_{r} die Kugel vom Radius r > 0 um 0 ∈ ℝ^{d}.

(i) Zeige: Ist W eine Brownsche Bewegung im ℝ^{d} mit Start in 0, so auch OW für jede orthonormale Matrix O ∈ ℝ^{d×d}.

(ii) Sei τ_{B_{r}} = inf{t ≥ 0 | W_{t} ∉ B_{r}} die erste Austrittszeit der Brownschen Bewegung W aus der Kugel B_{r}. Zeige:

ℙ [W (τ_{B_{r}}) ∈ dx] = \frac{λ_{∂B_{r}}(dx)}{Π_{r}} ,

wobei λ_{∂B_{r}} das Lebesguesche Oberflächenmaß zur Kugel B_{r} und Π_{r} die Größe ihrer Oberfläche bezeichne.

(iii) Beweise mit Hilfe der Itô-Formel den Mittelwertsatz für harmonische Funktionen Ist u harmonisch auf der offenen Menge D, so besitzt u die Mittelwerteigenschaft:

u(a) = ∫_{∂B_{r}} u(a + x) λ_{∂B_{r}}(dx)

für alle a ∈ D, so daß a + B̄_{r} ⊂ D.

[2+3+7 Punkte]