Prof. Dr. Peter Imkeller WS 2001 Dr. Peter Bank

Übungen zur Vorlesung

Stochastische Analysis

Serie 9

1) Sei W = (W_{t}^{(1)}, …, W_{t}^{(d)})_{t≥0} eine d-dimensionale Brownsche Bewegung und der Prozeß X = (X_{t}^{(1)}, …, X_{t}^{(d)})_{t≥0} Lösung der stochastischen Integralgleichung

X_{t}^{(i)} = x + ∫_{0}^{t} b_{i}(X_{s}) ds + ∑_{j=1}^{d} ∫_{0}^{t} σ_{ij}(X_{s}) dW_{s}^{(j)} (t ≥ 0, i = 1, …, d)

mit x ∈ ℝ^{d} und für stetige, beschränkte Funktionen b_{i}, σ_{ij} : ℝ^{d} → ℝ (i, j = 1, …, d).

Beweise die Existenz der folgenden Grenzwerte und berechne sie:

lim_{t↓0} \frac{1}{t}𝔼[X_{t}^{(i)} − x_{i}], lim_{t↓0} \frac{1}{t}𝔼[(X_{t}^{(i)} − x_{i})(X_{t}^{(j)} − x_{j})] (i, j = 1, …, d) .

[12 Punkte]

2) Die geometrische Brownsche Bewegung

X_{0} = x, dX_{t} = μX_{t} dt + σX_{t} dB_{t} (t ≥ 0)

beschreibt die Preisfluktuationen einer Aktie im Black-Scholes Modell. Zur Schätzung des Volatilitätsparameters σ ∈ [0, +∞) aus diskreten Beobachtungen X_{kh} (k = 0, 1, …) werden oft die Aktienrenditen

R_{k}(h) = \frac{X_{kh}}{X_{(k−1)h}} − 1

über die sukzessiven Zeitperioden [(k −1)h, kh] (k = 1, 2, …) für ein (kleines) h > 0 herangezogen.

(i) Zeige, daß die R_{k}(h) (k = 1, 2, …) unabhängig und identisch verteilt sind und berechne ihren Erwartungswert sowie ihre Varianz.

(ii) Zeige, daß der Volatilitätsparameter σ der Gleichung

σ^{2} = \frac{1}{h} log (1 + \frac{var[R_{k}(h)]}{(1 + 𝔼[R_{k}(h)])^{2}} )

genügt.

(iii) Wie läßt sich damit σ schätzen, wenn man R_{1}(h), …, R_{n}(h) kennt? [4+4+4 Punkte]

3) Betrachte die stochastische Differentialgleichung

X_{0} = 0, dX_{t} = −2\frac{X_{t}}{1 − t} dt + \sqrt{2t(1 − t)} dB_{t} (0 ≤ t < 1) .

(i) Konstruiere die eindeutige (?!) Lösung dieser Gleichung explizit.

(ii) Zeige, daß es sich dabei um einen zentrierten Gauß-Prozeß mit Kovarianzfunk-

tion

cov (X_{t}, X_{s}) = (1 − t ∨ s)^{2}(t ∧ s)^{2} (s, t ∈ [0, 1))

handelt.

[6+6 Punkte]

4) Für einen reellwertigen Itô-Prozeß X bezeichne E(X) die Lösung Z der linearen stochastischen Differentialgleichung

Z_{0} = 1, dZ_{t} = Z_{t} dX_{t} (t ≥ 0).

Beweise:

(i) Für X von der Form

X_{t} = x + ∫_{0}^{t} a_{s} ds + ∫_{0}^{t} b_{s} dW_{s} (t ≥ 0)

(mit geeigneten Prozessen a, b) ist

E(X)_{t} = exp (∫_{0}^{t} b_{s} dW_{s} + ∫_{0}^{t} (a_{s} − \frac{1}{2}b_{s}^{2}) ds) (t ≥ 0) .

(ii) Es gilt die Formel von Yor:

E(X)E(Y) = E(X + Y + ⟨X, Y ⟩) .

(iii) Ist M ein Itô-Prozeß und zugleich ein lokales Martingal, so gilt bis auf eine

Nullmenge, daß

{E(M)_{+∞} = 0} = {⟨M⟩_{+∞} = +∞} .

Hinweis: Es ist E(M) = E(\frac{1}{2}M)^{2} exp(−\frac{1}{4}⟨M⟩)?! [3+4+5 Punkte]