Lineare Algebra und Analytische Geometrie I

Montag 9-11, RUD 26, 0'310 und Mittwoch 9-11, RUD 26, 0'310

Vorlesender: Klaus Mohnke
                         Büro: Adlershof, Haus 1, Zimmer 306
                         Phone: (030) 2093 1814
                         Fax: (030) 2093 2727
                         Email:   mohnke@math.hu-berlin.de

Übungen: Mo 13-15, RUD 26, 1'303, Klaus Mohnke
                Di 13-15, RUD 26, 1'303, Nicolas Roy
                  Di 15-17, RUD 26, 1'303, Nicolas Roy
                Do 15-17, RUD 26, 1'303, Josua Gröger

Korrektur der Lösungen der Übungsaufgaben: Matthias Kreuschner

Sprechstunden:

Mohnke      Mi 14:00-16:00, RUD 25, 1.306

Roy
     nach Vereinbarung, RUD 25, 1.311, Tel.: 2358, roy@math.hu-berlin.de

Gröger
     nach Vereinbarung, RUD 25, 1.317, Tel.: 1881, jrg@gmx.net

Kreuschner      nach Vereinbarung, kreuschn@math.hu-berlin.de

Mohnke	Mi 14:00-16:00, RUD 25, 1.306
Roy	nach Vereinbarung, RUD 25, 1.311, Tel.: 2358, roy@math.hu-berlin.de
Gröger	nach Vereinbarung, RUD 25, 1.317, Tel.: 1881, jrg@gmx.net
Kreuschner	nach Vereinbarung, kreuschn@math.hu-berlin.de

Die Nachklausur findet am 14. April 2011, 17-19 Uhr im Hörsaal RUD26, 0'115 statt. Sie müssen sich dafür erneut unter AGNES anmelden.

Einige Hinweise zur Vorbereitung der Prüfung: Schreiben Sie die Lösungen der
Aufgaben komplett selbst auf. Gehen Sie nicht einfach zur nächsten Aufgabe
über, wenn Sie denken, Sie wissen, wie es geht. Zwingen Sie sich,
eine vollständige Lösung zu produzieren. Beantworten Sie die gestellte
Frage - wenn z.B. nach der Lösungsmenge gefragt ist, ist die erweiterte
Koeffizientenmatrix in Stufenform keine gültige Antwort!

Hilfreiche Literatur

G. Fischer: Lineare Algebra, vieweg studium
D. Wille: Repetitorium der Linearen Algebra

Übungsblätter

Blatt 1
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Blatt 8
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Blatt 11
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Blatt 13
Blatt 14
Blatt 15
Lösungen für Blatt 15

Ausschnitt aus Albrecht Dürers "Melancholie", 1514

Matrizen sind rechteckige Tabellen. Die Beziehungen zwischen den Einträgen, seien es Zahlen, Namen, Tarot-Karten haben Menschen schon lange in ihren Bann gezogen (siehe das "magische Quadrat" in Dürers Zeichnung). Sie sind also keine Domäne der Mathematiker. Mit etwas Phantasie kann man (fast) alles in sie hineinlesen:

Filmplakat zur Hollywood-Produktion "Matrix"

Dass sie zum Rechnen nützlich sind, wussten die Chinesen schon vor über 2000 Jahren. Mitte des 19. Jahrhunderts hat Arthur Cayley gezeigt, dass man mit ihnen wie mit Zahlen rechnen kann: Man kann sie addieren und multiplizieren. Sie sind die Haupthelden dieser Vorlesung, die sich u.a. um Polynome, Vektorräume, lineare Abbildungen (Homomorphismen) drehen werden. Das Verständnis der Begriffe und die Sicherheit im Umgang mit ihnen sind notwendig für jede denkbare Richtung der Mathematik, Informatik, oder jeder anderen Naturwissenschaft.

Statt allzuviel weitere Worte darüber zu verlieren, was in dieser Vorlesung alles behandelt werden soll, möchte ich an dieser Stelle einige Hinweise für Studienanfänger loswerden, die auch für jede andere mathematische Vorlesung gelten:

Beschäftigen Sie sich jede Woche mit den Übungsaufgaben! Rechnen Sie unbedingt mehrere Stunden dafür ein!

Wenn Sie in Gruppen arbeiten: Nehmen Sie sich unbedingt viel Zeit auch allein über die Aufgaben nachzudenken!

Besuchen Sie Übungen und Vorlesungen (es wird kein Skript geben) Beteiligen Sie sich aktiv an den Übungen!

Fertigen Sie Mitschriften von den Vorlesungen an!

Nur wenn Sie sich regelmäßig mit den Inhalten der Vorlesungen auseinandersetzen, Ihr neues Wissen anwenden und kommunizieren, werden Sie Erfolg haben (siehe K.Jänich: Lineare Algebra, Abschnitt 1.4. oder http://www.mathematik.uni-mainz.de/Members/lehn/le/uebungsblatt).

Leistungsnachweis: Um einen Übungssschein zu erlangen, müssen Sie

50% der Punkte aus den wöchentlichen Tests erhalten,
aktiv und regelmäßig an den Übungen teilnehmen und
50% der Punkte aus der Klausur im Dezember erreichen.

Übungsblätter werden jede Woche gestellt.

Die Lösungen werden in der nächsten Woche in der Vorlesung am Montag eingesammelt. Vermerken Sie bitte auf jedem Blatt, neben der Aufgabennnummer, Ihre(n) Namen, Matrikelnummer und Ihre Übungsgruppe.
Die Abgabe ist freiwillig. Wir empfehlen Ihnen, möglichst in Gruppen zu arbeiten und je Gruppe eine Lösung einzureichen. Tipp: Denken Sie zunächst allein über die Aufgaben nach (mindestens eine Stunde); rekapitulieren Sie die Lösung der Gruppe noch einmal allein für sich, wenn möglich ohne Notizen.
Ihre Lösungen werden korrigiert, kommmentiert und in der Vorlesung zurückgegeben (Ihr Feedback)
Die Aufgaben werden durch Sie in den Übungen vorgerechnet. Sie müssen im Semester mindestens zweimal Ihre Lösung einer Übungsaufgabe vorstellen. (Unser Feedback)
Ab der 4.Woche finden in den Übungen kleine Tests statt, in denen Sie eine Aufgabe bearbeiten, die an die Übungszettel angelehnt ist. Das gibt Ihnen eine Kontrolle über das bisher Erlernte und bereitet Sie schrittweise auf die Klausuren vor.

Sie benötigen den Übungsschein, um zur Klausur zugelassen zu werden (siehe Studienordnung). Erfüllen Sie am Ende nur zwei der drei Kriterien, können Sie eventuell einen Übungsschein nach Konsultation erlangen. Erfüllen Sie zwei Kriterien nicht, so erhalten Sie keinen Übungsschein.

Literatur:

H.Schlichl, R.Steinbauer: Einführung in das mathematische Arbeiten, Springer -Lehrbuch
A.Beutelspacher: "Das ist o.B.d.A. trivial!", vieweg studium
D.Hachenberger: Mathematik für Informatiker, Pearson Studium
D.Hoffmann: Einführung in die technische Infomatik, Hanser Verlag

G. Fischer: Lineare Algebra, vieweg studium,
K.Jänich: Lineare Algebra, Springer-Lehrbuch

Für mathematisch interessiertere Teilnehmer z.B.

Th. Bröcker: Lineare Algebra und analytische Geometrie, Birkhäuser
M.Artin: Algebra, Birkhäuser

Themen der Vorlesung: (insofern die angegeben Daten in der Zukunft liegen, unterliegen sie einer gewissen Unsicherheit)

Zentrale Begriffe und Themen sind fettgedruckt.

Grundlagen (20.10.-22.11.)

                   - Mathematische Hieroglyphen und mathematisches Kauderwelsch / 20.10.
                   - Mathematische Aussagen, Aussagenlogik und Wahrheitstabellen / 25.10.
                   - Natürliche Zahlen: Rechenoperationen und Rechengesetze aus den Peano-Axiomen/ 27.10.
- vollständige Induktion / 27.10.
                   - Mengen, Mengenoperationen / 1.11.
                   - kartesiches Produkt und Potenzmenge / 3.11.
                   - Relationen, Reflexivität, Symmtetrie, Antisyymetrie, Transitivität / 3.11.
                     - Äquivalenzrelationen und Ordnungsrelationen / 3.11.
                     - Äquivalenzklassen, Quotienten / 8.11.
                   - Rechnen mit Restklassen / 8.11.
                   - Abbildungen, Graph einer Abbildung / 10.11.
                     - Bild und Urbild, injektive, surjektive und bijektive Abbildungen / 10.11.
- Verknüpfungen, inverse Abbildung / 17.11.
                     - Binomialkoeffizienten / 22.11.

Algebraische Strukturen und Zahlbereiche (24.11. - 19.1.)

                    - Boolesche Algebren, Huntingtonsche Axiome, Beispiele / 24.11.
                     - Abgeleitete Rechenregeln (z.B. Assoziativität) / 29.11.
                   - Implikation, Äquivalenz, XOR, NAND, NOR / 29.11.
                     - vollständige Operatorsysteme / 29.11.
                   - Boolesche Funktionen, Normalformen / 29.11.
                   - Gruppen, Axiome, Beispiele, Homomorphismen / 6.12.
                   - Untergruppen / 8.12.
                     - Permutationen (Zyklen, Transpositionen, Signatur) / 13.12.
                   - Ringe, Axiome, Beispiele, Rechenregeln / 15.12.
                   - Einheiten / 15.12.
                   - Nullteiler, Integritätsbereich, ISBN-Code / 3.1.
                   - ganze Zahlen, euklidischer Algorithmus / 5.1.
                   - (Z/nZ)^*, Euler-Funktion, RSA-Verschlüsselung / 10.1.
                   - Körper, Axiome, Beispiele, Rechenregeln / 12.1.
                   - komplexe Zahlen / 12.1.
                     - Polynome, Polynomdivision / 17.1.
                     - Nullstellen / 17.1.
                     - Fundamentalsatz der Algebra / 19.1.

Matrizen (24.1. - 7.2.)

- Lineare Gleichungssysteme, Lösungsmengen / 24.1.
                     - erweiterte Koeffizientenmatrix / 24.1.
                     - Gauß-Jordan-Algorithmus / 26.1.
                   - Lösungsräume / 26.1.
                     - homogene und inhomogene lineare Gleichungssytseme / 26.1.
                     - Multiplikation von Matrizen / 26.1.
                     - Lineare Gleichungssysteme und Gauß-Jordan-Algorithmus durch Matrixmultiplikation / 31.1.
                     - Inverses einer Matrix, Gl(n;R) / 31.1.
- Determinanten / 2.2.
- Leibniz-Formel / 2.2.
                     - Eigenschaften und Berechnung von Determinanten / 2.2.
                     - Laplacescher Entwicklungssatz / 7.2.
                     - Cramersche Regeln / 7.2.

Vektorräume (9.2. - 16.2.)

- Definition, Beispiele / 9.2.
- Untervektoräume, lineare Abbildungen / 9.2.
                     - Lineare Unabhängigkeit / 9.2.
                     - Basen / 14.2.
                     - Ergänzungssatz von Steinitz / 14.2.
                     - Dimension / 14.2.
                     - Koordinaten, Koordinatentransformation / 16.2.
                     - Matrixdarstellung linearer Abbildungen / 16.2.

Klaus Mohnke
Fr, 7. Jan. 2011, 22:00