Numerische Verfahren für Erhaltungsgleichungen

Inhalt

1. Herleitung von Erhaltungsgleichungen und Beispiele
2. Skalare Gleichung: Eigenschaften der Lösung und numerischer Verfahren
   1. Linearer Fall
      Verschiedene Plots einer Lösung
      Beispielprogramme
      • [adv_backward.m] Rückwärtsdifferenz im Ort (Schrittweiten variieren, um CFL-Bedingung zu prüfen)
      • [adv_central.m] Zentrale Differenz im Ort
      • [adv_riemann_lw.m] Lax-Wendroff
   2. Nichtlinearer Fall
      Plot Verdichtungsstoss
      Plot Verdünnungswelle
      
3. Systeme von Erhaltungsgleichungen
   1. Lineare Systeme in einer Raumdimension
   2. Mehrdimensionale Systeme
   3. Nichtlinearer Fall
   
   Beispiel: Flachwassergleichungen / Isentropischer Fluss
   Lösung mit 2 Shocks
   Lösung mit 2 Verdünnungsfächern
   Lösung des Dammbruch-Problems mit Shock und Verdünnungsfächer
4. Erhaltende numerische Verfahren
5. Konvergenz der Verfahren
   1. Lineare Systeme
   2. Skalare nichtlineare Gleichung
6. Konvergenzkriterien und Zulässigkeit von Lösungen
   1. Qualitative Einordnung, Stabilität
   2. Viskositätslösung, Entropiebedingung
7. Riemann Problem
   1. Rankine-Hugoniot Sprungbedingung
   2. Selbstähnliche Lösungen
   3. Zulässigkeitsbedingungen
   4. Hugoniot-Lokus
      
   5. Einfache Wellen, Verdünnungswellen
      
8. Godunov-Verfahren
1. Anwendungsbeispiele
2. Approximative Riemann-Löser
3. Anwendungsbeispiele
   Beispielprogramme
   [burgers_simpl.m] Godunov-Verfahren mit vereinfachtem Riemann-Löser, der nur Shocks erzeugt
   
   [burgers_efix.m] Godunov-Verfahren mit vereinfachtem Riemann-Löser und Entropie-Fix
   
   
9. High-Resolution-Methods
   1. Lax-Wendroff Verfahren und Modifikationen
   2. Flux-Limiter-Verfahren
   3. Nichtlineare Gleichungen und Systeme
10. Höhere Raumdimensionen
    1. Taylor-Entwicklung
    2. Dimension-Splitting
    3. Mehrdimensionale Verfahren
    4. Anwendungsbeispiel: Skalare Gleichung für Transport in Rotationsfeld
       

Literatur

1. Le Veque: Numerical Methods for Conservation Laws
2. Le Veque: Finite volume methods for hyperbolic problems
3. Godlewski, Raviard: Numerical Approximation of Hyperbolic Systems of Conservation Laws
4. Kröner: Numerical Schemes for Conservation Laws