Voraussetzungen:
Lineare Algebra und Analytische Geometrie I

Inhalt:
In leicht verständlicher Form wird an die Lösung polynomialer Gleichungen mit Mitteln der Computeralgebra herangeführt: Faktorzerlegung im Polynomring und Gröbnerbasen gehören zu den zentralen Themen des Proseminars.

VORTRAGSTHEMEN
Die Namen der Vortragenden sind jeweils angegeben. Zu einzelnen Themen können mehrere Vorträge vergeben werden, bitte melden Sie sich bei Interesse z.B. per e-mail.

• Der Polynomring in mehreren Variablen (Konstruktion und Universaleigenschaft, Grundbegriffe der Teilbarkeitslehre in K[X])
  - H. Schmitz
• Gauß'scher Algorithmus  (S-Polynome, reduzierte Form eines linearen Gleichungssystems, Rang einer Matrix und Zahl der reduzierten Gleichungen)
  - F. Bolz
• Teilbarkeitslehre im Polynomring K[X] (Euklidischer Algorithmus, irreduzible Polynome, Teilbarkeitslehre, einfache algebraische Körpererweiterungen)
  - M. Schweigert
• Monomiale Ideale und Dickson's Lemma, Monomordnungen (Rechnen mit Idealen, Beweis des Dickson'schen Lemmas, Eigenschaften von Termordnungen; Beispiele)
  - N. Niehus
• Division mit Rest für Polynome mehrerer Variabler (Herleitung der Divisionsformel, Leitideale, Beispiele und Gegenbeispiele zur Eindeutigkeit der Division)
  - Chr. Hönn
• Gröbnerbasen (Existenz, Beweis des Hilbertschen Basissatzes, Beispiele)
  - Chr. Speicher
• Buchberger's Algorithmus (Beweis, Beispiele)
  - I. Iancu

1. Cox, D., Little, J., O'Shea, J.: Ideals, Varieties and Algorithms, 2nd. Edition, Springer 1997
2. Eisenbud, D.: Commutative Algebra with a View Toward Algebraic Geometry, Springer GTM 150 (1994)
3. Atiyah, M. F., Macdonald, I.G., Introduction to Commutative Algebra, Addison Wesley (1969)
4. Lineare Algebra - individuell
5. Roczen, M., Gröbner Bases and Resultants,  Manuscript of a talk in the School on Commutative Algebra and Combinatorics, University of Constantza, September 15-21, 1999 (Kopie auf Homepage)

HINWEIS:
IM COMPUTERPOOL DES INSTITUTS IST DIE NEUE VERSION SINGULAR 2.0.3 INSTALLIERT.
Programmaufruf (unter Unix/Linux): Singular
Befehle sind stets mit ";" zu beenden.
Beenden des Programms (z.B.) mit "$".
Ausführen eines Skripts: Singular [Skriptname]

EINIGE ANMERKUNGEN:

25.4.02: Hier steht das heute verwendete Singular Skript . Warum es so gut funktioniert und welche Bedeutung u.a. die Reihenfolge der Unbestimmten hat, wird erst später klar.
4.7.02: Dies ist das e-mail von Herrn Speicher zu seinem Vortrag .
18.7.02: Zum Abschluß wird gezeigt, wie in verschiedenen Fällen (alternativ zur Verwendung von Gröbnerbasen) Gleichungen auch mit Resultanten gelöst werden können. An einem Beispiel überzeugen wir uns mit dem Computer davon, daß für zwei gegebene konkrete Polynome die Rechnung mit Resultanten sehr schnell (in wenigen Sekunden Rechenzeit) auf das Ergebnis führt, während der Buchberger-Algorithmus zu langsam ist, in der Seminarzeit eine Lösung auszugeben.