M. Roczen

Proseminar: Lösung polynomialer Gleichungssysteme     (Wintersemester 2007-2008)


2 SWS PS pro Woche, Do 13.15 Uhr, RUD 25, 1.011
(einzelne Veranstaltungen - nach Vorankündigung - im Computerpool RUD 25, 2.212)

Hinweis: Am 14.2.08 findet das Proseminar wieder im Computerpool 2.212 statt.

Inhalt:
In gut verständlicher Form wird an die Löung polynomialer Gleichungen mit Mitteln der Computeralgebra herangeführt: Faktorzerlegung im Polynomring und Gröbnerbasen sowie der Buchberger-Algorithmus gehören zu den zentralen Themen des Proseminars.

Voraussetzungen:
Erwartet werden Kentnisse im Umfang der Vorlesungen Lineare Algebra I, II ; die Veranstaltung kann prinzipiell auch parallel zur Vorlesung "Lineare Algebra II" besucht werden.

Literatur:
[1] Cox, D., Little, J., O'Shea, J.: Ideals, Varieties and Algorithms, 2nd. Edition
[2] Roczen, M., Wolter, H.: Lineare Algebra - individuell, Bd. 1   (in ähnlicher Form auch als Online Material verfügbar)

VORTRAGSTHEMEN

Die Themen sind für jeweils 1 - 2 Vortragende bestimmt; sie werden nach Absprache entsprechend aufgeteilt bzw. präzisiert. Einzelne Veranstaltungen finden im Computerpool statt - bitte beachten Sie auch die entsprechenden Ankündigungen auf dieser Web-Seite. Die Literaturhinweise dienen dem Einstieg in die Thematik und sind nicht als ausschließliche Quellen zu verstehen. Eine Einführung zum verwendeten Computeralgebrasystem SINGULAR finden Sie in [2], Abschnitt 2/6.
Zu den Vorträgen werden ausführliche Erläuterungen und Beispiele erwartet. Sie sollten auch überlegen, in welchen Fällen Aufgaben zweckmäßig mit dem Computer gelöst werden können. Ihr Manuskript oder wenigstens eine ausführliche Gliederung sollten Sie mir so rechtzeitig vorlegen (gern per Email), dass noch Änderungen möglich sind.
  • Grundbegriffe der Teilbarkeitslehre [M. Rinck]
  • Der Polynomring in mehreren Variablen: Konstruktion und Universaleigenschaft [R. Altmann]
  • Gauß'scher Algorithmus : S-Polynome, reduzierte Form eines linearen Gleichungssystems, Rang einer Matrix und Zahl der reduzierten Gleichungen [J. Malinowski]
  • Teilbarkeitslehre im Polynomring K[X]: Euklidischer Algorithmus, irreduzible Polynome und Faktorzerlegung, einfache algebraische Körpererweiterungen [A. Andresen]
  • Primärzerlegung - eine Verallgemeinerung der Primfaktorzerlegung (Beispiele, Ausblick) [Roczen]
  • Monomiale Ideale und Dickson's Lemma, Monomordnungen: Rechnen mit Idealen, Beweis des Dickson'schen Lemmas, Eigenschaften von Termordnungen; Division mit Rest für Polynome mehrerer Variabler: Herleitung der Divisionsformel, Leitideale, Beispiele und Gegenbeispiele zur Eindeutigkeit [M. Sagebaum]
  • Gröbnerbasen: Existenz, Beweis des Hilbertschen Basissatzes, Beispiele; der Satz von Buchberger und Buchberger's Algorithmus (Beweis, Beispiele) [S. Heiden]
  • Gröbnerbasen und Resultanten; Eliminationstheorie [M. Roczen]