M. Roczen

Vorlesung: Kommutative Algebra mit Methoden der Computeralgebra     (Sommersemester 2007)


Vorlesung (4 SWS):
Mo 09-11 Uhr, RUD 26, 0'311 und Di 13-15 Uhr RUD 25, 1.013

Übung (2 SWS):
Mo 11-13 Uhr, RUD 25, 3.007

Inhalt:
Standardbasen führen algorithmisch auf Resultate zur Lösung polynomialer Gleichungssysteme und auf Struktursätze der kommutativen Algebra/algebraischen Geometrie. Für Moduln über einer Klasse von Ringen formaler Potenzreihen werden hier eingeführte Begriffe wie Primärzerlegung, Homologie (Ext- und Tor-Funktoren), Koszul-Komplexe, die Cohen-Macaulay-Eigenschaft anwendungsbereit so dargestellt, dass eine Reihe von Invarianten mit einem Computeralgebrasystem bestimmt werden können.
Einzelne Aufgaben erfordern die Verwendung eines Computeralgebrasystems, hier vorzugsweise Singular. Eine kurze Einführung findet sich unter Lineare Algebra individuell, Kap. 2.6.

Voraussetzungen:
Erwartet werden Kentnisse im Umfang der Vorlesungen "Lineare Algebra I, II" sowie "Algebra I"; die Veranstaltung kann auch unabhängig von den Vorlesungen "Algebra II" und "Kommutative Algebra" besucht werden.

Literatur:
[1] Greuel, G.M.; Pfister, G.: A singular introduction to commutative algebra
[2] Eisenbud, D. Commutative algebra with a view toward algebraic geometry

Nachfolgend finden Sie aktuelle Informationen zum Stoff der Vorlesung und zu den Übungsaufgaben.

ÜBUNGSAUFGABEN

Die Abgabe erfolgt jeweils zur Vorlesung am Montag. Bitte vermerken Sie Ihren Namen, die Aufgabenserie und Nr. auf dem jeweiligen Lösungsblatt.
Es werden generell Begründungen, Beweise bzw. ausführliche Rechnungen erwartet.
Kleine Studiengruppen (maximal 3 Teilnehmer) dürfen ihre Lösungsblätter gemeinsam abgeben, bitte vermerken Sie alle Namen.


Serie 1 zum 23.4.07   Serie 2 zum 30.4.07   Serie 3 zum 7.5.07   Serie 4 zum 14.5.07  
Serie 5 zum 21.5.07   Serie 6 zum 4.6.07   Serie 7 zum 11.6.07   Serie 8 zum 18.6.07  
Serie 9 zum 25.6.07   Serie 10 zum 2.7.07   Serie 11 zum 9.6.07   Serie 12 zum 16.7.07  

STOFF DER VORLESUNG

Die nachfolgenden Informationen zum Inhalt werden in der Regel kurz nach der betr. Veranstaltung aktualisiert; als Ersatz für den Besuch der Vorlesung sind sie nicht vorgesehen.
16.4.2007:   Vorbesprechung, Einführung (es bleibt noch Raum für eine kurze Abstimmung, welche Vorkenntnisse bereitgestellt oder ausführlich zitiert werden)
17.4.2007: Hinweis. Einige Grundlagen und Bezeichnungen finden Sie im Skript über Moduln.
Globale, Lokale und gemischte Monomordnungen (Begriff, Beispiele); technische Vorbereitungen (Quotientenringe)
23.4.2007: Quotientenmoduln: Universaleigenschaft, Exaktheit der Quotientenfunktoren, lokale Eigenschaften von Moduln und Homomorphismen; Existenz von Maximalidealen
24.4.2007: Endlichkeitsbedingungen: noethersche Ringe und Moduln, Moduln von endlichem Typ und endlicher Darstellung, Hilbertscher Basissatz, Dicksons Lemma
30.4.2007: Charakterisierungen globaler Monomordnungen, Lokalisierung bezüglich einer (lokalen oder gemischten) Monomordnung, Leitmonome und Leitideale, Existenz von Standardbasen
7.5.2007: axiomatische Beschreibung von Normalformen und schwachen Normalformen; Folgerungen aus der Existenz einer Normalform (für Standardbasen verschwindet die Normalform, Standardbasen erzeugen die zugehörigen Ideale)
8.5.2007: Mora-Greuel-Pfister-Algorithmus zur Bestimmung einer schwachen Normalform
14.5.2007: Algorithmus zur Bestimmung einer Standardbasis, endliche Bestimmtheit von Standardbasen; Primärzerlegung (erste Begriffe)
15.5.2007: Existenz einer Primärzerlegung, assoziierte Primideale
21.5.2007: Eindeutigkeit assoziierter Primideale, Nullteiler in noetherschen Ringen
22.5.2007: isolierte Primärkomponenten, Eindeutigkeit
29.5.2007: Eliminationstheorie: Gröbnerbasen von Eliminationsidealen, Nullstellensatz
30.5.2007: Hilberts Nullstellensatz - einige Folgerungen
4.6.2007: Zariski-Topologie, Nullstellenmenge eines Eliminationsideals als Zariski-Abschluss der Projektion der Nullstellenmenge
5.6.2007: Vorbereitungen zum Beweis des (affinen) Hauptsatzes der Eliminationstheorie: Eigenschaften von Resultanten, Faktorialität des Polynomrings
11.6.2007: Beweis des Hauptsatzes
12.6.2007: Elimination für polynomiale Gleichungssysteme mit endlich vielen Lösungen; algorithmische Bestimmung der Radikalideale
18.6.2007: explizite Primärzerlegung 0-dimensionaler Ideale (Algorithmus von Gianni, Trager, Zacharias)
19.6.2007: Modulordnungen und Standardbasen für Moduln
25.6.2007: Charakterisierung der Standardbasen, Buchberger-Algorithmus, Syzygien
26.6.2007: Beweis des allgemeinen Buchberger-Kriteriums, Standardbasen von Syzygienmoduln bezüglich der Schreyer-Ordnung
2.7.2007: Kategorien, Funktoren, Exaktheit, projektive Moduln
3.7.2007: injektive Moduln (Charakterisierung nach Baer), dividierbare abelsche Gruppen, jeder R-Modul ist Untermodul eines injektiven R-Moduls, injektive Auflösungen
9.7.2007: abgeleitete Funktoren des Hom-Funktors (erste Eigenschaften), injektive und projektive Dimension
10.7.2007: globale homologische Dimension eines Ringes; Kettenkomplexe, Eindeutigkeit der Satellitenfunktoren
16.7.2007: Existenz der Satelliten (Homotopie, exakte Folgen von Komplexen)
17.7.2007: Anwendung: Konstruktion der Tor-Funktoren als linksabgeleitete des Tensorprodukts; Cohen-Macaulay-Ringe, Beschreibung der Tiefe durch Ext(k,-).