M. Roczen

Berufsbezogenes Fachseminar: Symbolisches Rechnen     (Sommersemester 2010)

Veranstaltungs-Nr. 32420


Mittwoch, 11.05 - 12.35, RUD 25, 1.012 (2 SWS)
(einzelne Veranstaltungen - nach Vorankündigung - im Computerpool RUD 25, 2.212)

Inhalt:
Die Suche nach Lösungen polynomialer Gleichungssysteme ist eine Herausforderung, der sich Mathematiker, Techniker, Naturwissenschaftler immer wieder stellen müssen. Die Anwendungen reichen bis zu einigen hier angedeuteten Beispielen - Untersuchung von Graphen, rechnergestütztes Beweisen für Sätze der theoretischen Mathematik, Beschreibung der geometrische Struktur von Lösungsmengen algebraischer Gleichungen (Primärzerlegung). "Symbolisches Rechnen" (Computeralgebra) gibt es viel länger als die technische Möglichkeit entsprechende Algorithmen auf einem programmierbaren Rechner auszuführen, es hat aber erst dadurch seine Bedeutung innerhalb der Mathematik und für die Anwendungen erlangt. Die Vorträge in diesem Fachseminar werden in gut verständlicher Form einige der Aspekte darstellen bzw. an selbst programmierten Beispielen erläutern.

Voraussetzungen:
Erwartet werden Kentnisse im Umfang der Vorlesung "Lineare Algebra I".

Literatur:
[1] Cox, D., Little, J., O'Shea, J.: Ideals, Varieties and Algorithms, 2nd. Edition
[2] Roczen, M., Wolter, H.: Lineare Algebra - individuell, Bd. 1   (in ähnlicher Form auch als Online Material verfügbar)

Nutzung von "Singular"
Sie können das Computeralgebrasystem frei herunterladen (obiger Link) und auf Ihrem Rechner installieren. Alternativ dazu können Sie im Rechnerpool des Instituts die neuste Version nutzen. Geben Sie in einer Shell den Befehl Singular ein und lassen Sie sich mit help; (Semikolon am Ende nicht vergessen) eine Einführung geben (wie Sie z.B. einen - für fas alle Rechnungen notwendigen - Grundring definieren, erfahren Sie mit help ring;). Im Rechner-Pool brauchen Sie einen Account, den Sie - falls nicht schon vorhanden - auch Online beantragen können.

VORTRAGSTHEMEN

Die Themen sind für jeweils 1 - 3 Vorträge bestimmt; sie werden nach Absprache entsprechend aufgeteilt bzw. präzisiert. Ein Vortrag dauert in der Regel 90 Minuten; die schriftliche Ausarbeitung ist abzugeben. Es wird erwartet, dass die Vortragenden ggf. kooperieren.
Einzelne Veranstaltungen finden im Computerpool statt - bitte beachten Sie auch die entsprechenden Ankündigungen auf dieser Web-Seite.
Die Literaturhinweise dienen dem Einstieg in die Thematik und sind nicht als ausschließliche Quellen zu verstehen. Eine Einführung zum verwendeten Computeralgebrasystem SINGULAR finden Sie in [2], Abschnitt 2.6. Die Vortragenden erhalten ggf. weitere Literaturhinweise und Angaben zum geforderten Inhalt, bzw. auf selbst zu programmierende Teile des Vortrags. Eine rechtzeitige Konsultation zum Inhalt (Besuch der Sprechstunde) ist in der Regel erforderlich.
In den Vorträgen werden ausführliche Erläuterungen und Beispiele erwartet. Sie sollten auch überlegen, in welchen Fällen Aufgaben zweckmäßig mit dem Computer gelöst werden können. Ihr Manuskript oder wenigstens eine ausführliche Gliederung sollten Sie so rechtzeitig vorlegen (gern per Email), dass noch Änderungen möglich sind.
  • Grundbegriffe: erste Eigenschaften kommutativer Ringe, Teilbarkeit, Ideale
    1. Grundbegriffe der Teilbarkeitslehre am Beispiel der ganzen / ganzen gaußschen Zahlen [Elena Derr]
    2. Idealtheorie in noetherschen kommutativen Ringen - Grundlagen [Anne Polz]
  • Der Polynomring in einer und mehreren Variablen (Konstruktion und Universalität, Rechnen mit Polynomen) und erste Algorithmen zur Untersuchung algebraischer Gleichungen
    1. Konstruktion des Polynomrings in einer und mehreren Variablen, Universalität
    2. lineare Gleichungen, S-Polynome, Existenz und Eindeutigkeit der reduzierten Form [Bianca Schneider]
    3. Primfaktorzerlegung im Polynomring [Manja Gabriel]
  • Primärzerlegung - eine Verallgemeinerung der Primfaktorzerlegung [Mathias Godau]
  • Monomordnungen und monomiale Ideale im Polynomring [Marie Sonnenburg]
  • Division mit Rest im Polynomring mehrerer Variabler und Ausführung mit dem Computer [Roczen]
  • Existenz von Gröbnerbasen, Church-Rosser Eigenschaft, Beweis des Hilbertschen Basissatzes, Beispiele [Katrin Klauk] 23.6.2010
  • Satz von Buchberger und der Buchberger-Algorithmus [Mathias Böhm, David Galones] 30.6.2010
  • Reduzierte Gröbnerbasen, Elimination von Unbestimmten und Hilbertscher Nullstellensatz [Mathias Böhm, David Galones] 30.6.2010
  • Algebraische Mannigfaltigkeiten [Thomas Hellwig] 5.7.2010
  • Automatisches Beweisen einfacher Sätze der Aussagenlogik unter Verwendung von Gröbnerbasen [Nataliya Semkiv] 14.7.2010
  • Existenz regulärer Färbungen von Graphen [Stefan Weirich] 14.7.2010
VORTRAGSMANUSKRIPTE