M. Roczen

Vorlesung: Lineare Algebra und analytische Geometrie I *     (Wintersemester 2010 - 11)

Veranst.-Nr. 32401

4 SWS Vorlesung, Mo 9.15-10.45 Uhr, RUD 26, 0'110; Mi 9.15-10.45 Uhr, RUD 26, 0'110

Bitte melden Sie sich vor Semesterbeginn beim Online-Einschreibsystem Agnes an. Dies betrifft die Vorlesung (4 h) und eine Übung Ihrer Wahl (2 h). Für eine verspätete Anmeldung liegen während der ersten Veranstaltungen Listen aus. Für den erfolgreichen Abschluss sind beide Vorlesungstermine und ein Übungstermin wahrzunehmen. Eine Prüfungszulassung ("Übungsschein") gibt es nur, wenn Sie die erforderliche Punktzahl für Übungsaufgaben und Klausuren erhalten haben. Die Abschlussprüfung erfolgt in Form einer Semesterklausur am 19.2.11.

Inhalt
Grundlagen aus Mengenlehre und Logik; Gruppen, Ringe und Körper, lineare Gleichungen und Matrizenrechnung, Polynome in einer Unbestimmten, erste Schritte des Studiums von Vektorräumen und linearen Abbildungen.

Übungen
2 SWS, wählen Sie eine der folgenden:

Mo 11 - 13 Uhr, RUD25, 1.011 (M. Roczen)
Mo 15 - 17 Uhr, RUD25, 1.011 (Chr. Schön)
Di 9 - 11 Uhr, RUD25, 1.011 (A. Ortega)
Mi 11 - 13 Uhr, RUD25, 1.011 (M. Roczen)
Mi 11-13 Uhr, RUD25, 3.006 (F. Maalouf)
Do 9-11 Uhr, RUD25, 1.012 (A. Ortega)

Fakultative Übung
Di 11 - 13 Uhr, RUD 25 1.109 (Chr. Strampe)
Diese Übung ist ein zusätzliches Angebot, kein Ersatz für den Besuch einer der oben angegebenen. Der Inhalt bezieht sich auf die aktuellen Veranstaltungen zur linearen Algebra und Analysis.

Literatur
Roczen, M.; Wolter, H.: Lineare Algebra - individuell, Online-Fassung Bd. 1 (Lulu, Morrisville 2005);
Dieses Lehrbuch ist Teil einer Medienkombination; eine umfangreichere Darstellung des Stoffs könen Sie online als     personalisierbares Lehrmaterial zusammenstellen lassen.

Fragen, Anregungen, Kritik
Ihre Meinung ist uns wichtig. Kommen Sie zur Sprechstunde oder schicken Sie ein Email.


ÜBUNGSAUFGABEN

Aktuelle Aufgaben finden Sie auf dieser Web-Seite. Die Abgabe Ihrer Lösungsblätter erfolgt jeweils im Anschluß an die Montags-Vorlesung (bis 10.50 Uhr im Vorlesungsraum RUD 26, 0.110). Bitte geben sie zu jeder Aufgabe ein eigenes Lösungsblatt ab, auf dem Ihre Matrikel-Nummer (!) sowie Serien- und Aufgaben-Nr. (z.B. 1.3 für Aufgabe 3 der Serie 1) vermerkt sind. Formulieren Sie Ihre Antworten sorgfältig; es werden generell Begründungen, Beweise bzw. ausführliche Rechnungen erwartet.
Für jede richtig gelöste und termingerecht abgegebene Aufgabe erhalten Sie 10 Punkte. Mit einem * bezeichnete Zusatzaufgaben (meist schwierig) sind fakultativ und werden zur Gesamtbewertung hinzugezogen (Sie können dadurch auch fehlende Punkte ausgleichen).

Gemeinsame Abgabe: Ab sofort wird die gemeinsame Abgabe in 2-er Gruppen zugelassen. Wichtig (auch für die Rückgabe): Bitte geben Sie auf den Aufgabenblättern zuerst die kleinere der beiden Immatrikulationsnummern an!

Bitte beachten Sie: Für einen Übungsschein (erforderlich zur Prüfungszulassung) ist die Hälfte der erreichbaren Punkte der Hausaufgaben und der während des Semesters geschriebenen Klausur erforderlich.

Nur aus wichtigen Gründen (Krankheit) können Aufgaben per Email abgegeben werden. Sie müssen dann als PDF-Datei bis Montag 11.00 bei allen Korrektoren (Mailadressen s. unten) eingegangen sein.

Verspätete Abgabe: Die Aufgaben werden noch korrigiert, es gibt allerdings keine Punkte.

Erreichte Punktzahlen: Etwa ab Mittwoch der Folgewoche können Sie hier die Ergebnisse finden.

Nach dem Abgabetermin erscheinen hier unter den Aufgaben-Links gelegentlich Musterlösungen (am Ende der betreffenden Datei). Diese können Sie herunterladen bzw. ausdrucken. Bei Fragen zur Korrektur einer Aufgabe wenden Sie sich bitte direkt an die Korrektoren:

(1) bannasch@math.hu-berlin.de ( www.math.hu-berlin.de/~bannasch )
(2) degenkol@math.hu-berlin.de     Sprechstunde: Montag 14.00 - 16.00, RUD 25, 1.112
(3) enders@math.hu-berlin.de     Sprechstunde: Montag 14.00 - 16.00, RUD 25, 1.112
(4) schwarzi@math.hu-berlin.de     Sprechstunde: Dienstag 13.00 - 14.00, RUD 25, 1.425

Die Zuordnung zu den Aufgaben-Nummern finden Sie zeitnah in dieser Tabelle.
Serie 1 zum 1.11.10  
Korrekturen: 1. (3), 2. (2), 3. (4), 4. (2), 5. (1)
Serie 2 zum 8.11.10   Korrekturen: 1. (2), 2. (3), 3. (4), 4. (1), 5. (1) Serie 3 zum 15.11.10   Korrekturen: 1. (2), 2. (3), 3. (4), 4. (4), 5. (1) Serie 4 zum 22.11.10   Korrekturen: 1. (3), 2. (4), 3. (3), 4. (1), 5. (2)
Serie 5 zum 29.11.10   Korrekturen: 1. (2), 2. (2), 3. (3), 4. (4), 5. (1) Serie 6 zum 6.12.10 
Korrekturen: 1. (1), 2. (1), 3. (2), 4. (4), 5. (3)
8.12.10 Klausur; Aufgaben und Lösungen: 1A, 1B, 2A, 2B, 3A, 3B, 4A, 4B ; Rechenfehler Lösung Aufgabe 4 (Expl. 12A, 29B, 58A), Bewertung wird angepasst.
Korrekturen: 1. (4), 2. (4), 3. (3), 4. (2), 5. (1)
Serie 7 zum 3.1.11  
Korrekturen: 1. (3), 2. (4), 3. (2), 4. (3), 5. (1)
Serie 8 zum 10.1.11  
Aufg. 5. (2), richtig: "Dann liegt in der Äquivalenzklasse von f ein Endomorphismus g"
Korrekturen: 1. (2), 2. (4), 3. (1), 4. (3), 5. (2)
Serie 9 zum 17.1.11  
Korrekturen: 1. (3), 2. (1), 3. (1), 4. (2), 5. (4)
Serie 10 zum 24.1.11  
Korrekturen: 1. (4), 2. (1), 3. (3), 4. (4), 5. (2)
Serie 11 zum 31.1.11  
Korrekturen: 1. (3), 2. (3), 3. (1), 4. (4), 5. (2)
Serie 12 zum 7.2.11
Korrekturen: 1. (2), 2. (2), 3. (3), 4. (4), 5. (5)
Serie 13 zum 14.2.11
(nicht zur Abgabe!)
Die Schwerpunkte für die Prüfungsklausur finden Sie zum Download bei den Ergebnislisten der Übungsaufgaben.
Semesterklausur am Sa 19.2.11 in der Zeit 10.00 - 13.00 Uhr, RUD 26, Raum 0'115
Ein Lichtbildausweis ist vorzulegen!
Letzter Termin für die Anmeldung: 5.2.11 (Online bei Agnes, Ausnahmefälle im Prüfungsbüro zu den Öffnungszeiten)

Ob Sie einen Übungsschein erhalten (notwendig zur Anmeldung), entnehmen Sie bitte der Punktliste; die Minimalzahl beträgt 420 Punkte (entsprechend 12 Serien und Klausur). Sie können sich für die Prüfung anmelden, bevor Sie diese Zahl erreicht haben (Serie 12 wird erst nach Anmeldeschluss abgegeben). Ob Sie eine Prüfungszulassung (Übungsschein) erhalten haben, wird einige Tage vor der Klausur überprüft.

Bitte beachten Sie: Falls die erforderliche Punktzahl für einen Schein nicht erreicht wird, müssen Sie sich rechtzeitig um eine Konsultation bemühen, in der bei nur geringfügiger Unterschreitung der Punktzahl evtl. eine abweichende Festlegung getroffen werden kann.

Bitte beachten Sie weiter: Sobald Sie angemeldet sind, müssen Sie zuverlässig in Erfahrung bringen, ob Sie den Schein erhalten. Auch Abwesenheit in der irrtümlichen Annahme, Sie hätten keine Zulassung erhalten, führt zu einer nicht bestandenen Prüfung.
2. Prüfungstermin / Nachklausur: 22.3.11, 10.00 - 13.00 RUD 26, Raum 0'110
Bitte beachten Sie die Anmeldefristen!
Nutzen Sie die Konsultationsmöglichkeiten im Fall einer Nachklausur!
Klausureinsicht: Sie haben die Möglichkeit, Ihre korrigierten Klausuren einzusehen. Dazu bringen Sie bitte wieder einen Lichtbildausweis mit.

Termine: 22.3.11 (RUD 25, 1.115, 13.00 - 14.45), 15.4.11 (RUD 25, 1.115, 13.15 - 14.45)

Die Lösungen der Klausuraufgaben vom 19.2.11 finden Sie bei der Punktliste.

STOFF DER VORLESUNG

Die nachfolgenden Informationen zum Inhalt werden in der Regel kurz nach der betr. Veranstaltung aktualisiert; als Ersatz für den Besuch der Vorlesung sind sie nicht vorgesehen, eignen sich aber als Leitfaden für Wiederholung und Prüfungsvorbereitung.

20.10.2010:
Was ist lineare Algebra? (Einführung); Begriff der Menge, erste Mengenoperationen: Durchschnitt, Vereinigung, ...
25.10.2010:
natürliche Zahlen, Aussagenlogik (Wahrheitswerte, Aussagenverbindungen), Existenz- und Allquantor
27.10.2010:
Ausblick auf die ZF-Axiomatik; Ordnungsrelationen, Äquivalenzrelationen, Klasseneinteilungen, Faktormenge nach einer Äquivalenzrelation, Abbildungen
1.11.2010:
bijektive Beziehung zwischen Klasseneinteilungen und Äquivalenzrelationen einer Menge, (vollständige) Invarianten; gleichmächtige Mengen; Satz von Cantor-Schröder-Bernstein
1.11.2010:
cantorscher Potenzmengensatz, kartesisches Produkt einer Mengenfamilie, Auswahlaxiom; zornsches Lemma, Anwendung: Vergleich der Mächtigkeiten zweier Mengen
8.11.2010:
AxA ist gleichmächtig zu A für unendliche Mengen A, Kardinalzahl einer Menge, einige Rechenregeln für Kardinalzahlen; Algebraische Strukturen: Operation, Monoid
10.11.2010:
Gruppen: Definition, erste Eigenschaften, Beispiele, Untergruppen, Untergruppenkriterium, zyklische Untergruppen, Homomorphismen und Isomorphismen
15.11.2010:
von einer Teilmenge erzeugte Untergruppe, Untergruppen von (Z,+), Permutationen: kanonische Zerlegung in ein Produkt disjunkter Zyklen, Zerlegung in Produkte von Transpositionen, Inversionen und Signum einer Permutation
17.11.2010:
das Signum als Gruppenhomomorphismus, Normalteiler, Faktorgruppen
22.11.2010:
Homomorphiesatz für Gruppen, die alternierende Gruppe An, Klassifikation der zyklischen Gruppen; Ringe, Integritätsbereiche, Körper, der Polynomring über einem kommutativen Ring
25.11.2010:
Algebren, Universaleigenschaft der Polynomalgebra; die endlichen Primkörper Fp (p Primzahl), Charakteristik eines Körpers; Matrizen: erste Operationen
29.11.2010:
weitere Matrizeneigenschaften; Polynome in mehreren Unbestimmten, Einsetzungshomomorphismus, Nullstellenmenge eines polynomialen Gleichungssystem, lineare Gleichungssysteme, Äquivalenz linearer Gleichungssysteme; Systeme in Stufengestalt
1.12.2010:
elementare Umformungen linearer Gleichungssysteme, Systeme in Stufenform, Gaußscher Algorithmus, Matrizenschreibweise und zeilenäquivalente Umformungen einer Matrix; reduzierte Form
6.12.2010:
Eindeutigkeit der reduzierten Form eines Systems, Normalformen von Matrizen bezüglich der Zeilenäquivalenz, Rang einer Matrix
8.12.2010:
Klausur
13.12.2010:
Charakterisierung invertierbarer Matrizen, die allgemeine lineare Gruppe GL(n;K) (Erzeugung durch Elementarmatrizen), Hauptsatz der Matrizenrechnung 13.12.2010:
Vektorräume: Definition und elementare Eigenschaften, direktes Produkt, lineare Abbildungen (Isomorphismen, Endomorphismen, Automorphismen), "Invarianz der Dimension" 3.1.2011:
Isomorphismen von Standardräumen und invertierbare Matrizen, Unterräume, Unterraumkriterium; Unterraumeigenschaft von Bild, bzw. Kern einer linearen Abbildung; Linearkombinationen, lineare Hülle (einfache Eigenschaften), Summen von Unterräumen, ein Beispiel: fehlerkorrigierende Codes
5.1.2011:
direkte Summen, Existenz von Komplementärräumen, Projektionen, lineare Fortsetzung
10.1.2011:
äußere direkte Summe; Faktorraum und kanonischer Homomorphismus, Homomorphiesatz, 1. und 2. Isomorphiesatz, exakte Folge eines Homomorphismus
12.1.2011:
ein Struktursatz für lineare Abbildungen, lineare Unabhängigkeit und lineare Abhängigkeit, Koeffizientenvergleich, Basen
17.1.2011:
direkte Zerlegung zu einer Basis, Basen direkter Summen, Basen und lineare Fortsetzung, Koordinatensysteme, Isomorphismen zu Standardräumen, Charakterisierung von Basen, Existenz von Basen
19.1.2011:
Basen für direkte Summen, Hauptsatz: Klassifikation der Vektorräume, Dimension, Beispiele: Dimensionen einiger oft verwendeter Vektorräume, einige exotische Eigenschaften unendlichdimensionaler Vektorräume
24.1.2011:
Basen endlichdimensionaler Vektorräume, Dimensionsformeln, Basisauswahl, Basisergänzung, Austauschsatz, Matrix eines Homomorphismus bezüglich eines Basenpaares
26.1.2011:
Koordinatentransformation und Übergangsmatrizen, Funktorialität der zugeordneten Matrix, durch ein Basenpaar gegebene Isomorphie zwischen Hom(V,W) und M(dim (W),dim(V)), Variation der Basen, Normalform linearer Abbildungen aus Hom(V,W); Dualer Vektorraum: Begriff
31.1.2011:
kanonische Paarung, Annullator, Satz: Ann(Ann(U)) = U für jeden Unterraum U, Bestimmung eines Gleichungssystems für einen Unterraum (gegeben durch Erzeugende); duale Basis (Rechenverfahren)
2.2.2011:
duale Abbildung (Kofunktorialität, Matrixdarstellung), der kanonische Homomorphismus eines Vektorraums in seinen bidualen und Identifikation von V mit dem Bidual im Falle endlicher Dimension
7.2.2011:
Grundbegriffe der Teilbarkeitslehre (assoziierte Elemente, Einheiten, ggT, irreduzible Elemente); Teilbarkeit im Polynomring einer Unbestimmten über einem Körper: Division mit Rest, größter gemeinsamer Teiler, Nullstellen und Linearfaktoren, Identitätssatz für Polynome
9.2.2011:
Irreduzibilität für Polynome von kleinem Grad, Faktorzerlegung über den komplexen und den reellen Zahlen, Lemma von Euklid, Existenz einer eindeutigen Zerlegung in irreduzible Faktoren; Satz von Kronecker und Existenz von Zerfällungskörpern
14.2.2011:
formale Ableitung eines Polynoms und rechnerische Überprüfung der Existenz mehrfacher Nullstellen in einem Zerfällungskörper; Determinantenfunktionen: Motivation und Untersuchung im Spezialfall
16.2.2011:
Wiederholung, Klausurvorbereitung