M. Roczen

Vorlesung: Algebra und Funktionentheorie     (Wintersemester 2011 - 12)

Veranst.-Nr. 32406, 324061

4 SWS Vorlesung

Di 13.15, RUD 25 1.013
Fr 13.15, RUD 25 1.013

Bitte melden Sie sich vor Semesterbeginn beim Online-Einschreibsystem AGNES an - dies betrifft die Vorlesung und die Übung Ihrer Wahl.

Inhalt
Kategorien, endlich erzeugte Moduln über Hauptidealringen (Anwendung auf Endomorphismen von Vektorräumen, abelsche Gruppen); Struktursätze für endliche Gruppen, endliche Körpererweiterungen und Grundlagen der Galois-Theorie, Hauptsatz (mit Anwendung auf Lösbarkeit von Gleichungen durch Radikale), Konstruierbarkeit mit Zirkel und Lineal; Funktionentheorie: Komplexe Differenzierbarkeit, Cauchy-Riemannsche Differentialgleichungen, Cauchyscher Integralsatz, Residuen, Fundamentalsatz der Algebra

Übungen
2 SWS, wählen Sie eine der folgenden:

Di 15.00, RUD 25 1.013
Fr 15.00, RUD 25 1.013

Literatur
Artin, M.: Algebra
Freitag, E.; Busam, R.: Funktionentheorie 1
Fischer, G., Algebra
Kunz, E., Algebra

Material zur Vorlesung

Ein vollständiges Skript ist nicht verfügbar. Es gibt jedoch Teile eines Manuskripts mit dem Arbeitstitel "Algebra individuell". Darüber hinaus werden einzelne Abschnitte aus dem unten zitierten Lehrbuch "Lineare Algebra - individuell" behandelt, die in einer Vorlesung zur linearen Algebra in der Regel nicht vorkommen.

Sprechstunde

Prüfungsklausur: 18.2.2012, 10.00 - 12.00, RUD 26, 0.115

Nachtermin: 10.4.2012, 13.00 - 15.00, RUD 25, 1.013

Bitte nicht vergessen: Bei Klausuren ist ein amtliches Dokument mit Foto vorzulegen!

Übungsklausur:16.12.2011, 13.15 - 14.45, RUD 25, 1.013


"Übungsschein" (Prüfungszulassung):
Erforderlich ist der Erwerb der Punkte, die für die richtige Lösung der Übungsaufgaben vergeben werden. Falls Sie nicht alle Punkte erhalten, können Sie dies durch Punkte bei der Übungsklausur ausgleichen. Sollte das insgesamt nicht ausreichen, vereinbaren Sie bitte rechtzeitig einen Konsultationstermin.

Eine vorläufige Anmeldung zur Prüfungsklausur ist in der Regel auch ohne Zulassung möglich, Sie müssen dann aber bis etwa 1 Woche vor dem Termin die geforderte Leistung noch erbracht haben.


ÜBUNGSAUFGABEN

Aktuelle Aufgaben finden Sie auf dieser Web-Seite weiter unten.

Erreichte Punktzahlen: Etwa ab Mittwoch der Folgewoche können Sie hier die Ergebnisse finden.

Abgabe der Lösungsblätter: jeweils im Anschluß an die Dienstags-Vorlesung (bis 14.50 Uhr im Vorlesungsraum).

Bitte geben sie zu jeder Aufgabe ein eigenes Lösungsblatt ab, auf dem Ihr Name und Ihre Matrikel-Nummer sowie Serien- und Aufgaben-Nr. (z.B. 1.3 für Aufgabe 3 der Serie 1) vermerkt sind. Für jede richtig gelöste und termingerecht abgegebene Aufgabe erhalten Sie 10 Punkte. Mit einem * bezeichnete Zusatzaufgaben (manchmal schwierig) sind fakultativ und werden zur Gesamtbewertung hinzugezogen (Sie können dadurch auch fehlende Punkte ausgleichen).

Gemeinsame Abgabe: Die Abgabe in 2-er Gruppen ist zugelassen.

Die Abgabe per Email ist nur in begründeten Ausnahmefällen möglich und nur im PDF-Format. Bitte schicken Sie in diesem Fall das Email an Frau Enders.

Fragen zur Korrektur:
Bitte wenden Sie sich bitte an Frau Enders: enders@mathematik.hu-berlin.de
Sprechstunde: Montag, 11.00 - 12.00 im Raum 1.112

Serie 1 zum 25.10.11  
Abgabetermin für Aufg. 3 um 1 Woche verschoben. 		Serie 2 zum 1.11.11  
Abgabetermin für Aufg. 2 (ii), (iii) um 1 Woche verschoben. 		Serie 3 zum 8.11.11  
Lösung der Aufgabe 3.1 (ii) 		Serie 4 zum 15.11.11  
Serie 5 zum 22.11.11   Serie 6 zum 29.11.11   Serie 7 zum 6.12.11   Serie 8 zum 13.12.11  
Fehler, Aufg. 4, Zeile 1 lautet richtig: "... für die ein nichtkonstantes Polynom f ..."
Serie 9 zum 3.1.12   Serie 10 zum 10.1.12   Serie 11 zum 17.1.12   Serie 12 zum 24.1.12
unter 12.2 muss stehen: z=x+iy  
Serie 13 zum 31.1.12 Serie 14 zum 7.2.12  
Aufgabe 14.2 ist fakultativ. 		Serie 15 zum 13.2.12    


STOFF DER VORLESUNG

Die nachfolgenden Informationen zum Inhalt werden in der Regel kurz nach der betr. Veranstaltung aktualisiert; als Ersatz für den Besuch der Vorlesung sind sie nicht vorgesehen, eignen sich aber als Leitfaden für Wiederholung und Prüfungsvorbereitung.

18.10.11
Kategorien - eine Sprache der Mathematik: Begriff, Beispiele, Unterkategorien, duale Kategorie, initiale und terminale Objekte; der Polynomring als initiales Objekt
21.10.11
spezielle Morphismen (Monomorphismen, Epimorphismen, Isomorphismen) - erste Eigenschaften; "Eindeutigkeit" initialer und terminaler Objekte; die Kategorie der Moduln über einem kommutativen Ring
25.10.11
Untermoduln, Linearkombinationen, lineare Unabhängigkeit über dem Grundring, direkte Summen und direkte Produkte, lineare Fortsetzung; Faktormodul und kanonischer Homomorphismus, Homomorphiesatz
28.10.11
1. und 2. Isomorphiesatz, Kern und Kokern eines Modulhomomorphismus als initiale, bzw. terminale Objekte gewisser Kategorien, exakte Folge eines Homomorphismus, Ideale: Existenz von Maximalidealen
1.11.11
Faktorringe nach Maximalidealen sind Körper, Eindeutigkeit des Rangs eines freien Moduls, Torsionsmoduln; Präsentation eines Moduls, Präsentationsmatrix
4.11.11
Rang von Untermoduln freier Moduln über Hauptidealringen; chinesischer Restsatz, Hauptsatz für endlich erzeugte Moduln über Hauptidealringen (euklidischer Fall)
8.11.11
Beweis des Hauptsatzes (Abschluss); Rang, invariante Teiler (Elementarteiler) und primäre Elementarteiler eines endlich erzeugten Moduls über einem euklidischen Ring; Anwendung auf abelsche Gruppen
11.11.11
Anwendung des Hauptsatzes auf Existenz und Eindeutigkeit der jordanschen Normalform; kommutative Diagramme in einer Kategorie (am Beispiel)
15.11.11
Funktoren und natürliche Transformationen; Endlichkeitsbedingungen für R-Moduln
18.11.11
Untermoduln endlich erzeugter Moduln über noetherschen Ringen; einfache Moduln, Kompositionsreihen, Lemma von Zassenhaus
22.11.11
Verfeinerungssatz von Schreier, Satz von Jordan-Hölder; Gruppen: Zusammenstellung der vorausgesetzten Kenntnisse, Homomorphie, 1. Isomorphiesatz
25.11.11
konjugierte Untergruppen, 2. Isomorphiesatz, Subnormalreihen und Kompositionsreihen, Satz von Jordan-Hölder, auflösbare Gruppen; Charakterisierung der Auflösbarkeit endlicher Gruppen durch die Kompositionsindizes; ist Sn auflösbar?
29.11.11
Operationen von Gruppen auf Mengen, Orbitlemma; Untergruppen zu Teilern der Gruppenordnung - Beispiele für Existenz und Nichtexistenz; Sylowgruppen - Formulierung der Sylowschen Sätze und erste Beispiele zur Anwendung
2.12.11
Beweis der Sylowschen Sätze; Untergruppen beliebiger Primzahlpotenzordnung, Satz von Cauchy
6.12.11
Untergruppen mit ps Elementen liegen ein einer Sylowgruppe; direkte Produkte von Gruppen; Gruppen, die direkte Produkte ihrer Sylowgruppen sind
9.12.11
Körpererweiterungen, Gradformel, algebraische Elemente, Minimalpolynome, Adjunktion algebraischer Elemente, Irreduzibilitätstests, Gauß'sches Lemma, Eisenstein-Kriterium
13.12.11
Irreduzibilitätstest durch Reduktion mod (p); formale Ableitung und mehrfache Nullstellen im Zerfällungskörper, Separabilität, Charaktergruppe und lineare Unabhängigkeit von Charakteren; Fixkörper
16.12.11
Übungsklausur
3.1.12
Grad eines Körpers über seinem Fixkörper bezüglich einer Menge von Monomorphismen in einen weiteren Körper; Präzisierung im Fall einer Automorphismengruppe, Spur; Untergruppen der Automorphismengruppe einer Körpererweiterung und zugehörige Zwischenkörper; Galoisgruppe
6.1.12
Satz vom primitiven Element, normale Körpererweiterungen, Separabilität über Fixkörpern einer Automorphismengruppe, Galoiskorrespondenz
10.1.12
Hauptsatz der Galoistheorie; Ausführbarkeit von Konstruktionen mit Zirkel und Lineal
13.1.12
Nichtauflösbarkeit der Galoisgruppe von X5-6X+3. Funktionentheorie: Körper der komplexen Zahlen, einige Notationen und Eigenschaften; Fundamentalsatz der Algebra (Galoisgruppen von Erweiterungen reeller Zahlen)
17.1.12
offene und abgeschlossene Teilmengen der komplexen Zahlen; Häufungspunkte, Grenzwerte, Stetigkeit (einschl. Bezug zum reellen Fall); Wege, Pflasterungslemma
20.1.12
Komponenten des Komplements eines Weges; Potenzreihen (Konvergenzradius, Rechenoperationen, spezielle Potenzreihen - Exponential, Sinus, Kosinus); komplexe Differenziation (Begriff, Rechenregeln), Cauchy-Riemannsche Differenzialgleichungen
24.1.12
komplexe Differenzierbarkeit im Falle stetiger partieller Ableitungen mit erfüllten CR-Differenzialgleichungen; komplexe Funktionen mit Ableitung 0 oder konstantem Betrag, bzw. Realteil; Ableitung von Potenzreihen
27.1.12
glatte Wege (Bogenlänge), Konturintegration (Stammfunktion, Fundamentalsatz, der Fall einer Potenzreihe), Abschätzungslemma, Stammfunktion als Integral (für wegunabhängige Integrale), Argumente und Logarithmen (Hauptwerte, Eigenschaften auf einer aufgeschnittenen Ebene)
31.1.12
Windungszahl eines Weges bezüglich eines Punkts des Komplements: Charakterisierung als Kurvenintegral, Verhalten auf den Komponenten des Komplements; Ausblick auf die Cauchysche Integralformel
3.2.12
Cauchyscher Integralsatz
7.2.12
Integralsatz und erste Anwendungen, einfach zusammenhängende Gebiete und Charakterisierung durch das Verschwinden von Integralen über geschlossene Konturen, Taylorsche Reihen
10.2.12
Taylorreihen und Differenzierbarkeit, Satz von Morera, Satz von Liouville und ein alternativer Beweis des Fundamentalsatzes der Algebra, isolierte Nullstellen / Nullstellen endlicher Ordnung, Identitätssatz für Potenzreihen; lokale Maxima des Betrags einer differenzierbaren Funktion
14.2.12
Laurentreihen, isolierte Singularitäten differenzierbarer Funktionen (hebbare Singularitäten, Pole, wesentliche Singularitäten), Verhalten in der Umgebung einer isolierten Singularität
17.2.12
Satz von Casorati-Weierstraß, isolierte Singularitäten im unendlich fernen Punkt, Rationalität auf der Zahlenkugel meromorpher Funktionen; Residuensatz und ein Beispiel zur Bestimmung von Residuen; Ausblick: Riemannsche Flächen.