25. April 2009
Vorträge Aktivitäten Für Lehrer Programmheft Poster

Uhrzeit: 13:50 - 14:35 Uhr, Raum: 0'307, ab Klasse 11

Mathematische Experimente rund um eine geometrische Folge

Yury Luchko (Beuth Hochschule für Technik)

Experimente in der Chemie, in der Physik oder in anderen Natur- und Ingenieur-Wissenschaften sind meistens aufwendig, kosten viel Geld und führen oft zu keinem Ergebnis. Dagegen kann man in der Mathematik Experimente nur mit einem Blatt Papier und einem Bleistift anstellen und dabei erstaunliche mathematische Erkenntnisse (neu) entdecken.

Betrachten wir z.B. eine einfache geometrische Folge und berechnen jedes Glied der Folge modulo Sind beispielsweise und , dann sieht die berechnete Folge so aus: Da die Anzahl von unterschiedlichen Resten modulo endlich ist, ist die oben beschriebene Folge immer periodisch. Im Beispiel ist die Periode gleich 12.

Im Vortrag wird es um die Periode der Folge gehen. Schon Fermat bewies, dass diese Folge sich nach -Termen wiederholt, wenn eine Primzahl ist (kleiner Satz von Fermat). Die Periode der Folge unterscheidet sich aber von in einigen Fällen, wie aus der nachfolgenden Tabelle, die durch eine Reihe von langen aber elementaren Berechnungen entstanden ist, folgt ():


3

5

7

9

11

13

15

17

19

...

99

...

199

...

299

...

399

...

499

2

4

6

6

10

12

4

8

18

...

30

...

99

...

132

...

18

...

166


Wenn nicht unbedingt eine Primzahl ist, folgt aus einem Satz von Euler (), dass die Periode ein Teiler der Eulerschen Funktion ist. Mit bezeichnet man die Anzahl der natürlichen Zahlen, die kleiner als und teilerfremd zu sind.

Beim Beweis dieser Tatsache und beim Versuch das Verhalten der Periode für große abzuschätzen, tauchen mehrere mathematische Leckereien, wie die Fermat-Eulersche multiplikative Gruppe modulo , die Riemannsche -Funktion oder die Fouriersche Reihen auf, auf die im Vortrag auf eine möglichst elementare Weise eingegangen wird.