%% LyX 1.3 created this file.  For more info, see http://www.lyx.org/.
%% Do not edit unless you really know what you are doing.
\documentclass[german]{amsart}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[latin1]{inputenc}
\usepackage{a4wide}
\setlength\parskip{\medskipamount}
\setlength\parindent{0pt}
\usepackage{prettyref}
\makeindex
\usepackage{graphicx}
\usepackage{amssymb}

\makeatletter

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% LyX specific LaTeX commands.
\newcommand{\noun}[1]{\textsc{#1}}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Textclass specific LaTeX commands.
 \theoremstyle{plain}    
%  \newtheorem{thm}{Theorem}[section]
 \newtheorem{thm}{Satz}[section]
 \numberwithin{equation}{section} %% Comment out for sequentially-numbered
 \numberwithin{figure}{section} %% Comment out for sequentially-numbered
 \theoremstyle{remark}
 \newtheorem*{rem*}{Bemerkung}
 \theoremstyle{definition}
 \newtheorem{defn}[thm]{Definition}
 \theoremstyle{definition}
  \newtheorem*{example*}{Beispiel}
 \theoremstyle{definition}
  \newtheorem{example}[thm]{Beispiel}
 \theoremstyle{plain}    
 \newtheorem{lem}[thm]{Lemma} %%Delete [thm] to re-start numbering
 \theoremstyle{plain}    
 \newtheorem*{prop*}{Behauptung} 
 \theoremstyle{remark}    
 \newtheorem*{conclusion*}{Folgerung} 

\usepackage{babel}
\makeatother
\begin{document}

\title{Gewöhnliche Differentialgleichungen}

\maketitle
\begin{center}Mitschrift zur Vorlesung von Dr. Recke im Sommersemester
2003\end{center}
\vfill{}

\tableofcontents{}
\newpage


\section{Einleitung}

Eine gewöhnliche (bzw. partielle) Differentialgleichung\index{Differentialgleichung}
(DGL) ist eine Gleichung zur Bestimmung einer Funktion einer (bzw.
mehrerer) Variablen, in die die Funktion und einige ihrer Ableitungen
(partiellen Ableitungen) eingehen.\begin{eqnarray*}
\textrm{gewöhnliche DGL:} &  & \boxed{0=F\left(t,x\left(t\right),x'\left(t\right),x''\left(t\right),\ldots\right)}\\
\textrm{partielle DGL:} &  & \boxed{0=F\left(x,y,u\left(x,y\right),\frac{\partial u}{\partial x}\left(x,y\right),\frac{\partial u}{\partial y}\left(x,y\right),\frac{\partial^{2}u}{\partial^{2}x}\left(x,y\right),\ldots\right)}\end{eqnarray*}



\subsection{Sprachregelungen}

\begin{enumerate}
\item \underbar{Differentialgleichung $n$-ter Ordnung\index{Ordnung} in
Normalform\index{Normalform}}


\smallskip{}
\noindent Geg.: $U\subseteq\mathbb{R}^{n+1}$ offen, $f:U\rightarrow\mathbb{R}$

\smallskip{}
\noindent Ges.: $I\subseteq\mathbb{R}$ Intervall, $x:I\rightarrow\mathbb{R}$
mit\[
\boxed{x^{\left(n\right)}\left(t\right)=f\left(t,x\left(t\right),x'\left(t\right),\ldots,x^{\left(n-1\right)}\left(t\right)\right)\quad\forall t\in I}\]


\item \underbar{Differentialgleichungssystem\index{Differentialgleichungssystem}
$n$-ter Ordnung in Normalform}


\smallskip{}
\noindent Geg.: $U\subseteq\mathbb{R}^{n+1}$ offen, $f:U\rightarrow\mathbb{R}^{n}$

\smallskip{}
\noindent Ges.: $I\subseteq\mathbb{R}$ Intervall, $x:I\rightarrow\mathbb{R}^{n}$
mit\[
\boxed{x'\left(t\right)=f\left(t,x\left(t\right)\right)\quad\forall t\in I}\]


\end{enumerate}
Nicht Gegenstand der Vorlesung sind z.B.

\begin{itemize}
\item implizite DGLn $f\left(t,x\left(t\right),x'\left(t\right)\right)=0$
\smallskip{}
\item DGLn mit abweichendem Argument $x'\left(t\right)=f\left(t,x\left(t\right),x\left(t-\tau\right)\right)$,
$\tau\in\mathbb{R}$ fixiert
\smallskip{}
\item DGL mit nichtlokalem Term: $x'\left(t\right)=f\left(t,x\left(t\right),\int_{I}x\left(s\right)ds\right)$
\smallskip{}
\item Algebro-DGLsysteme: $x_{1}'\left(t\right)=f_{1}\left(t,x_{1}\left(t\right),x_{2}\left(t\right)\right)$,
$0=f_{2}\left(t,x_{1}\left(t\right),x_{2}\left(t\right)\right)$
\end{itemize}
Transformation von $\left(1\right)$ in $\left(2\right)$:\begin{align*}
x_{1}\left(t\right) & :=x\left(t\right)\\
x_{2}\left(t\right) & :=x'\left(t\right)\\
 & \vdots\\
x_{n}\left(t\right) & :=x^{\left(n-1\right)}\left(t\right)\\
\intertext{führt\, auf}x_{1}'\left(t\right) & =x_{2}\left(t\right)\\
x_{2}'\left(t\right) & =x_{3}\left(t\right)\\
 & \vdots\\
x_{n-1}'\left(t\right) & =x_{n}\left(t\right)\\
x_{n}'\left(t\right) & =f\left(t,x_{1}\left(t\right),x_{2}\left(t\right),\ldots,x_{n}\left(t\right)\right)\end{align*}


\begin{rem*}
Ein System von DGLn der Art\begin{eqnarray*}
x_{1}^{\left(n_{1}\right)}\left(t\right) & = & f_{1}\left(t,x_{1}\left(t\right),\ldots,x_{1}^{\left(n_{1}-1\right)}\left(t\right),x_{2}\left(t\right),\ldots,x_{2}^{\left(n_{2}-1\right)}\left(t\right),\ldots,x_{m}\left(t\right),x_{m}'\left(t\right),\ldots,x_{m}^{\left(n_{m}-1\right)}\left(t\right)\right)\\
 & \vdots\\
x_{m}^{\left(n_{m}\right)}\left(t\right) & = & f_{m}\left(\ldots\right)\end{eqnarray*}
ist analog in ein DGLsystem der Art $\left(2\right)$ (der Ordnung
$n_{1}+\ldots+n_{m}$) transformierbar.
\end{rem*}
\begin{defn}
$\left(1\right)$ bzw. $\left(2\right)$ heißen \underbar{autonom}\index{Differentialgleichung!autonom}%
\marginpar{autonom%
}, wenn $f\left(t,x_{1},\ldots,x_{n}\right)$ bzw. $f\left(t,x\right)$
unabhängig von $t$ sind für alle $x_{1},\ldots,x_{n}\in\mathbb{R}$
bzw. $x\in\mathbb{R}^{n}$ (die in Frage kommen), ansonsten heißen
$\left(1\right)$ bzw. $\left(2\right)$ \underbar{nicht-autonom}.
\end{defn}
\begin{example*}
$x'\left(t\right)=\left(t+1\right)x\left(t\right)$ ist nicht-autonom:
$f\left(t,x\right)=\left(t+1\right)x$, $U=\mathbb{R}^{2}$

$x''\left(t\right)=x'\left(t\right)+\sin\left(x\left(t\right)\right)+5$
ist autonom: $f\left(t,x_{1},x_{2}\right)=\sin x_{1}+x_{2}+5$, $U=\mathbb{R}^{3}$

\end{example*}
\begin{rem*}
$\left(1\right)$ bzw. $\left(2\right)$ kann in ein autonomes DGLsystem
$\left(n+1\right)$-ter Ordnung transformiert werden\begin{align*}
x^{\left(n\right)}\left(t\right) & =f\left(s\left(t\right),x\left(t\right),\ldots,x^{\left(n-1\right)}\left(t\right)\right)\\
s'\left(t\right) & =1\\
\intertext{bzw.}\textrm{ }x'\left(t\right) & =f\left(s\left(t\right),x\left(t\right)\right)\\
s'\left(t\right) & =1.\end{align*}
 $s\left(t\right):=t$.
\end{rem*}
\begin{defn}
$\left(1\right)$ bzw. $\left(2\right)$ heißen \underbar{linear}\index{Differentialgleichung!linear}%
\marginpar{linear%
}, wenn \[
f\left(t,x_{1},\ldots,x_{n}\right)=a_{1}\left(t\right)x_{1}+\ldots+a_{n}\left(t\right)x_{n}+b\left(t\right)\]
 mit $a_{j}\left(t\right),b\left(t\right)\in\mathbb{R}$ bzw. \[
f\left(t,x\right)=A\left(t\right)x+b\left(t\right)\]
mit $A\left(t\right)\in M\left(n\times n\right)$, $b\left(t\right)\in\mathbb{R}^{n}$,
ansonsten \underbar{nicht-linear}.
\end{defn}

\subsection{Beispiele}

\begin{example}
\underbar{Mathematisches Pendel}\index{Pendel}

Idealisierung:

\begin{itemize}
\item ebene Bewegung
\item Pendelstange inkompressibel, bewegungsfrei, masselos
\item Masse volumenfrei
\item keine Reibungen
\end{itemize}
Ort: $l\cdot\left(\sin x,-\cos x\right)$

Geschwindigkeit: $l\cdot\left(\cos x\cdot x',\sin x\cdot x'\right)=l\cdot\left(\cos x,\sin x\right)\cdot x'$

Tangentialkomponente der Beschleunigung: $l\cdot\left(\cos x,\sin x\right)\cdot x''$

Kräftegleichgewicht: \begin{eqnarray*}
m\cdot l\cdot\left(\cos x,\sin x\right)\cdot x'' & = & \left\langle \left(0,-mg\right),\left(\cos x,\sin x\right)\right\rangle \cdot\left(\cos x,\sin x\right)\\
m\cdot l\cdot x'' & = & -mg\cdot\sin x\end{eqnarray*}
Dies führt auf folgende autonome, nichtlineare DGL 2. Ordnung:\[
\boxed{x''\left(t\right)=-\frac{g}{l}\sin\left(x\left(t\right)\right)}\]


Anfangswertaufgabe:\begin{eqnarray*}
x''\left(t\right) & = & -\frac{g}{l}\sin x\left(t\right)\\
x\left(t_{0}\right) & = & x_{0}\\
x'\left(t_{0}\right) & = & x_{1}\end{eqnarray*}


\end{example}
%

\begin{example}
\underbar{Eulerscher Knickstab\index{Knickstab, eulersch}}

$t\in\left[0,l\right]$ Bogenlänge, $\left(\xi\left(t\right),\eta\left(t\right)\right)$
sei die Position, $x\left(t\right)$ der Winkel des Stabes in der
Ebene

Idealisierungen:

\begin{itemize}
\item Stab dünn, elastisch, inkompressibel
\item keine Schleifen, ebene Beulform\[
\int_{t_{0}}^{t}\left[\xi'\left(t\right)^{2}+\eta'\left(t\right)^{2}\right]^{\frac{1}{2}}dt=t-t_{0}\]

\end{itemize}
\begin{eqnarray*}
\xi'\left(t\right)^{2}+\eta'\left(t\right)^{2} & = & 1\\
\frac{d\eta}{d\xi}\left(\xi\left(t\right)\right) & = & \tan x\left(t\right)\\
\leadsto\,\eta'\left(t\right) & = & \tan x\left(t\right)\cdot\xi'\left(t\right)=\tan x\left(t\right)\cdot\left[1-\eta'\left(t\right)^{2}\right]^{\frac{1}{2}}\\
\leadsto\,\eta'\left(t\right)^{2} & = & \frac{\tan^{2}x\left(t\right)}{1+\tan^{2}x\left(t\right)}=\sin^{2}x\left(t\right)\\
\leadsto\,\eta'\left(t\right) & = & \sin x\left(t\right)\\
p\eta\left(t\right) & = & -c\left(t\right)x'\left(t\right)\end{eqnarray*}
Materialverhalten: Kraftmoment bzgl. der $\xi$-Achse des Druckes
$p\eta$ wird durch das Bestreben des Stabes, Nullkrümmung zu haben,
in Gleichgewicht gehalten. Dieses {}``Bestreben'' (Biegungsabhängiges
Kraftmoment) sei $c\left(t\right)x'\left(t\right)$.\begin{eqnarray*}
\eta' & = & \sin x\\
\textrm{bzw. }\eta' & = & \left(-\frac{c}{p}x'\right)'=-\frac{c\left(t\right)}{p}x''-\frac{c'\left(t\right)x'\left(t\right)}{p}=-\frac{c\left(t\right)}{p}x''\left(t\right)\\
\leadsto\, x''\left(s\right) & = & -\frac{p}{c}\sin x\left(s\right)\end{eqnarray*}
Randwertaufgabe:\[
\boxed{x''\left(s\right)=-\frac{p}{c}\sin x\left(s\right)}\]
gelenkig gelagert: $x'\left(0\right)=x'\left(l\right)=0$

fest eingespannt: $x\left(0\right)=x\left(l\right)=0$

\end{example}
%

\begin{example}
\underbar{Räuber-Beute-Modelle\index{Räuber-Beute-Modelle}}

$x\left(t\right)\geq0$: Anzahl (Dichte) der Beute-Population zum
Zeitpunkt $t$

$y\left(t\right)\geq0$: Anzahl (Dichte) der Räuber-Population zum
Zeitpunkt $t$

$a>0$: Vermehrungsrate minus Sterberate der Beutepopulation

$d>0$ : Sterberate minus Vermehrungsrate der Räuberpopulation

$xy$: Wahrscheinlichkeit des Zusammentreffens von Räuber und Beute

Autonomes nichtlineares DGLsystem 2. Ordnung:\[
\boxed{\begin{array}{rcll}
x' & = & ax-bxy & \qquad b>0\smallskip\\
y' & = & cxy-dy & \qquad c>0\end{array}}\]
\[
f\left(t,x,y\right)=\left(ax-bxy,cxy-dy\right)\]


\end{example}
\newpage
%

\begin{example}
\underbar{Ein elektrischer Schwingkreis\index{Schwingkreis, elektrisch}}

In Reihe geschaltet:

\begin{itemize}
\item Widerstand $R>0$: $U_{R}=R\cdot I$
\medskip{}
\item Spule $L>0:$ $U_{L}=L\cdot I'$
\medskip{}
\item Kondensator $C>0$: $I=C\cdot U_{C}'$
\end{itemize}
Kirchhoff-Gesetz: $I_{R}=I_{L}=I_{C}=I$, $U\left(t\right)=U_{R}+U_{L}+U_{C}$\[
U'=U_{R}'+U_{L}'+U_{C}'=RI'+LI''+\frac{I}{C}\]
Dies führt auf eine lineare nicht-autonome DGL 2. Ordnung:\[
\boxed{I''=\frac{1}{L}\left(U'-\frac{I}{C}-RI'\right)}\]
\[
f\left(t,x_{1},x_{2}\right)=\frac{1}{L}\left(U'-\frac{x_{1}}{C}-Rx_{2}\right)=\underbrace{a_{1}\left(t\right)}_{-\frac{1}{LC}}x_{1}+\underbrace{a_{2}\left(t\right)}_{-\frac{R}{L}}x_{2}+\underbrace{b\left(t\right)}_{\frac{U'\left(t\right)}{L}}\]


\end{example}
%

\begin{example}
\underbar{$n$-Körper-Problem}\index{n-Körper-Problem}\begin{eqnarray*}
m_{i}\cdot\overrightarrow{x_{i}}''\left(t\right) & = & \sum_{j\neq i}\left[-\gamma\frac{m_{i}m_{j}}{\left\Vert \overrightarrow{x_{i}}-\overrightarrow{x_{j}}\right\Vert ^{2}}\cdot\frac{\overrightarrow{x_{i}}-\overrightarrow{x_{j}}}{\left\Vert \overrightarrow{x_{i}}-\overrightarrow{x_{j}}\right\Vert }\right],\qquad i=1,\ldots,n\end{eqnarray*}
 $\overrightarrow{x_{i}}=\left(x_{i,1},x_{i,2},x_{i,3}\right)\in\mathbb{R}^{3}$:\begin{eqnarray*}
m_{i}x_{ij}'' & = & \sum_{k\neq i}-\gamma\frac{m_{i}m_{k}}{\left\Vert \overrightarrow{x_{i}}-\overrightarrow{x_{j}}\right\Vert ^{2}}\cdot\frac{x_{ij}-x_{kj}}{\left\Vert \overrightarrow{x_{i}}-\overrightarrow{x_{j}}\right\Vert },\qquad i=1,\ldots,n,\quad j=1,2,3\end{eqnarray*}
$3n$ skalare Gleichungen 2. Ordnung $\leadsto$ nichtlin. autonomes
DGLsystem $6n$-ter Ordnung\begin{eqnarray*}
U\left(\overrightarrow{x_{1}},\ldots,\overrightarrow{x_{n}}\right) & = & -\frac{\gamma}{2}\sum_{i,j=1,i\neq j}^{n}\frac{m_{i}m_{j}}{\left\Vert \overrightarrow{x_{i}}-\overrightarrow{x_{j}}\right\Vert }\qquad U:\, U\subseteq\left(\mathbb{R}^{3}\right)^{n}\rightarrow\mathbb{R}\\
\textrm{mit }U & = & \left\{ \left(\overrightarrow{x_{1}},\ldots,\overrightarrow{x_{n}}\right)\in\left(\mathbb{R}^{3}\right)^{n}\left|\overrightarrow{x_{i}}\neq\overrightarrow{x_{j}}\forall i\neq j\right.\right\} \quad\textrm{offen im }\left(\mathbb{R}^{3}\right)^{n}\\
\nabla_{\overrightarrow{x_{i}}}U\left(\overrightarrow{x_{1}},\ldots,\overrightarrow{x_{n}}\right) & = & \left(\frac{\partial U\left(x_{11},x_{12},x_{13},\ldots,x_{j1},x_{j2},x_{j3},\ldots,x_{n1},x_{n2},x_{n3}\right)}{\partial x_{i1}},\frac{\partial U\left(\ldots\right)}{\partial x_{i2}},\frac{\partial U\left(\ldots\right)}{\partial x_{i3}}\right)\in\mathbb{R}^{3}\end{eqnarray*}
\[
\frac{\partial}{\partial x_{i1}}\left[-\frac{\gamma}{2}\sum_{k,j=1,k\neq j}^{n}\frac{m_{k}m_{j}}{\left\Vert \overrightarrow{x_{k}}-\overrightarrow{x_{j}}\right\Vert }\right]=-2\cdot\frac{\gamma}{2}\sum_{j\neq i,j=1}^{n}\frac{m_{i}m_{j}}{\left\Vert \overrightarrow{x_{i}}-\overrightarrow{x_{j}}\right\Vert ^{3}}\cdot\left(-\frac{1}{2}\right)\cdot2\cdot\left(x_{i1}-x_{j1}\right)\]


Dies führt auf\[
\boxed{m_{i}\overrightarrow{x_{i}}''=-\nabla_{\overrightarrow{x_{i}}}U\left(\overrightarrow{x_{1}},\ldots,\overrightarrow{x_{n}}\right)}\]
''gute'' Lösung:\[
\sup_{t\in\mathbb{R},i\neq j}\left\{ \left\Vert \overrightarrow{x_{i}}-\overrightarrow{x_{j}}\right\Vert ,\frac{1}{\left\Vert \overrightarrow{x_{i}}-\overrightarrow{x_{j}}\right\Vert }\right\} <\infty,\]
d.h. für alle Zeiten sind Körper nicht unendlich weit entfernt und
auch nicht ganz nah zueinander.

Frage: Ist die Vereinigung aller Orbits $\left\{ \overrightarrow{x_{1}}\left(t\right),\ldots,\overrightarrow{x_{n}}\left(t\right)\in\left(\mathbb{R}^{3}\right)^{n}\left|t\in\mathbb{R}\right.\right\} $
aller {}``guten'' Lösungen offen und dicht in $\left(\mathbb{R}^{3}\right)^{n}$?

\end{example}

\newpage
\section{Elementare analytische Lösungsmethoden}


\subsection{Autonome Differentialgleichungen 1. Ordnung}

~\index{Differentialgleichung!autonom}%
\marginpar{autonome DGL%
}

Sei \[
\boxed{x'\left(t\right)=f\left(x\left(t\right)\right),\quad x\left(t\right)\in\mathbb{R}}\]


Existiert $F$, so daß $F'=\frac{1}{f}$, so ist\begin{eqnarray*}
F\left(x\right)' & = & \frac{x'}{f\left(x\right)}=1\\
\leadsto\, F\left(x\left(t\right)\right)-F\left(x\left(t_{0}\right)\right) & = & \int_{t_{0}}^{t}F'\left(x\right)dt=t-t_{0}\\
\leadsto\, x\left(t\right) & = & F^{-1}\left(t-t_{0}+F\left(x\left(t_{0}\right)\right)\right)\end{eqnarray*}


\begin{thm}
Sei $f:J\rightarrow\mathbb{R}\setminus\left\{ 0\right\} $, $J\subseteq\mathbb{R}$
Intervall, $f$ stetig.

Sei $F:J\rightarrow\mathbb{R}$ differenzierbar, $F'=\frac{1}{f}$
($F$ ist streng monoton auf $J$ $\leadsto$ $F^{-1}$ existiert
auf $F\left(J\right)$). Sei $t_{0}\in\mathbb{R}$, \[
\boxed{x\left(t\right):=F^{-1}\left(t-t_{0}\right)\qquad\textrm{für }t\in t_{0}+F\left(J\right)}\]
 Dann gilt: \[
x'\left(t\right)=f\left(x\left(t\right)\right)\qquad\textrm{für }t\in t_{0}+F\left(J\right).\]


\end{thm}
\begin{proof}
~\[
\frac{d}{dt}x\left(t\right)=\frac{d}{dt}F^{-1}\left(t-t_{0}\right)=\frac{1}{F'\left(F^{-1}\left(t-t_{0}\right)\right)}=f\left(F^{-1}\left(t-t_{0}\right)\right)=f\left(x\left(t\right)\right)\]

\end{proof}
\begin{example*}
$x'=e^{x}$\begin{eqnarray*}
f\left(x\right) & = & e^{x},\qquad J=\mathbb{R}\\
\leadsto\, F'\left(x\right) & = & \frac{1}{e^{x}}=e^{-x}\\
\leadsto\, F\left(x\right) & = & -e^{-x},\qquad F\left(J\right)=\left(-\infty,0\right)\\
\leadsto\, F^{-1}\left(y\right) & = & -\ln\left(-y\right)\\
\leadsto\, x\left(t\right) & = & -\ln\left(-t+t_{0}\right),\qquad t\in t_{0}+\left(-\infty,0\right)=\left(-\infty,t_{0}\right)\end{eqnarray*}
 Andere Lösungen existieren nicht.%
\begin{figure}[htbp]
\begin{center}\includegraphics[%
  scale=0.65]{01.eps}\end{center}

\begin{center}$x\left(t\right)=-\ln\left(-t+1\right)$\end{center}
\end{figure}

\end{example*}
\begin{rem*}
Sei $\tilde{F}:=F+c$. Dann ist\begin{eqnarray*}
\tilde{F}^{-1}\left(y\right) & = & F^{-1}\left(y-c\right)\\
\leadsto\,\tilde{x}\left(t\right) & = & \tilde{F}^{-1}\left(t-t_{0}\right)=F^{-1}\left(t-t_{0}-c\right)\quad\textrm{für }t\in t_{0}+\tilde{F}\left(J\right)=t_{0}+c+F\left(J\right)\end{eqnarray*}
Also hebt sich der Parameter weg. Mit anderer Stammfunktion bekommt
man die gleiche Lösung.
\end{rem*}
\begin{example*}
$x'=\sin x$, $f\left(x\right)=\sin x$, $J=\left(k\pi,\left(k+1\right)\pi\right)$,
$k\in\mathbb{Z}$\begin{eqnarray*}
F'\left(x\right) & = & \frac{1}{\sin x}\\
\leadsto\, F\left(x\right) & = & \ln\left|\tan\frac{x}{2}\right|\quad F\left(J\right)=\mathbb{R}\\
t-t_{0} & = & \ln\left|\tan\frac{x}{2}\right|\\
e^{t-t_{0}} & = & \left|\tan\frac{x}{2}\right|=\left\{ \begin{array}{ll}
\tan\frac{x}{2} & k\textrm{ gerade}\smallskip\\
-\tan\frac{x}{2} & k\textrm{ ungerade}\end{array}\right.\\
x\left(t\right) & = & \left\{ \begin{array}{ll}
2\arctan\left(e^{t-t_{0}}\right)+k\pi & k\textrm{ gerade}\smallskip\\
2\arctan\left(-e^{t-t_{0}}\right)+\left(k+1\right)\pi & k\textrm{ ungerade}\end{array}\right.\quad t\in\mathbb{R}\end{eqnarray*}
%
\begin{figure}[htbp]
\begin{center}\includegraphics[%
  scale=0.7]{02.eps}\end{center}

\begin{center}$x\left(t\right)$ für $k\in\left\{ 0,1\right\} $ und
$t_{0}\in\left\{ 0,1,2\right\} $\end{center}
\end{figure}
\\
Die stationäre Lösung $x\left(t\right)=\pi$ ist asymptotisch stabil
(mit Einzugsbereich $\left(0,2\pi\right)$):\[
\begin{array}{lrlrl}
k=0:\qquad & t\rightarrow-\infty: & x\left(t\right)\searrow0 & \qquad t\rightarrow\infty: & x\left(t\right)\nearrow\pi\\
k=1:\qquad & t\rightarrow-\infty: & x\left(t\right)\nearrow2\pi & t\rightarrow\infty: & x\left(t\right)\searrow\pi\end{array}\]

\end{example*}
\underbar{Lösungsalgorithmus für $x'=f\left(x\right)$}:

\begin{enumerate}
\item Bestimme den maximalen Definitionsbereich von $f$ und zerlege ihn
in disjunkte Intervalle $J_{1},J_{2},\ldots$
\medskip{}
\item Bestimme die Nullstellen von $f$ und zerlege $\left\{ x\in J_{k}\left|f\left(x\right)\neq0\right.\right\} $
in Intervalle $J_{k,1},J_{k,2},\ldots$
\medskip{}
\item Bestimme $F$ mit $F'=\frac{1}{f}$ auf jedem $J_{k,l}$.
\medskip{}
\item Berechne $x\left(t\right)=F^{-1}\left(t-t_{0}\right)$ für $t\in t_{0}+F\left(J_{k,l}\right)$.
\end{enumerate}

\subsection{Gleichung mit getrennten Variablen}

\begin{defn}
%
\marginpar{28.04.03%
}Eine Gleichung%
\marginpar{getrennte Variablen%
} \[
\boxed{x'\left(t\right)=f\left(x\right)\cdot g\left(t\right)}\]
 heißt \underbar{Differentialgleichung mit getrennten Variablen}\index{Differentialgleichung!getrennte Variablen}.
\end{defn}
\begin{eqnarray*}
\frac{x'}{f}=g & \leadsto & \int_{x_{0}}^{x}\frac{1}{f\left(y\right)}dy=\int_{t_{0}}^{t}g\left(s\right)ds\end{eqnarray*}


\begin{thm}
Sei $U\subseteq\mathbb{R}^{n}$ und seien $I_{x},I_{\xi}\subseteq\mathbb{R}$
Intervalle.

Seien $f:U\rightarrow\mathbb{R}^{n}$ und $\xi:I_{\xi}\rightarrow U$
differenzierbar mit $\xi'\left(\tau\right)=f\left(\xi\left(\tau\right)\right)$
$\forall\tau\in I_{\xi}$.

Sei $\tau_{0}\in\mathbb{R}$ und $G:I_{x}\rightarrow\tau_{0}+I_{\xi}$
differenzierbar, $G'\left(t\right)=:g\left(t\right)$ $\forall t\in I_{x}$.

Sei $x:I_{x}\rightarrow U$ mit \[
\boxed{x\left(t\right):=\xi\left(G\left(t\right)-\tau_{0}\right)}\]


Dann gilt $x'\left(t\right)=f\left(x\left(t\right)\right)\cdot g\left(t\right)$
$\forall t\in I_{x}$.

\end{thm}
\begin{proof}
~\[
\frac{d}{dt}\xi\left(G\left(t\right)-\tau_{0}\right)=\xi'\left(G\left(t\right)-\tau_{0}\right)G'\left(t\right)=f\left(\xi\left(G\left(t\right)-\tau_{0}\right)\right)g\left(t\right)=f\left(x\left(t\right)\right)g\left(t\right)\]

\end{proof}
\begin{rem*}
~
\begin{enumerate}
\item $x'\left(t\right)=f\left(x\left(t\right)\right)g\left(t\right)$ wurde
ersetzt durch $\xi'\left(\tau\right)=f\left(\xi\left(\tau\right)\right)$,
$G'\left(t\right)=g\left(t\right)$.
\medskip{}
\item Bei fixiertem $I_{\xi}$ muß $\tau_{0}$ geeignet und das $I_{x}$
geeignet klein gewählt werden.
\end{enumerate}
\end{rem*}
\underbar{Spezialfall $n=1$:} Seien $I,J\subseteq\mathbb{R}$ Intervalle.

$f:J\rightarrow\mathbb{R}\setminus\left\{ 0\right\} $, $g:I\rightarrow\mathbb{R}$
stetig.

$F:J\rightarrow\mathbb{R}$ differenzierbar, $F'=\frac{1}{f}$.

$\tau_{0}\in\mathbb{R}$, $G:I\rightarrow\tau_{0}+F\left(J\right)$,
$G'=g$

$x\left(t\right):=F^{-1}\left(G\left(t\right)-\tau_{0}\right)$

Dann ist $x'\left(t\right)=f\left(x\left(t\right)\right)\cdot g\left(t\right)$
$\forall t\in I$.

$I=I_{x}$, $J=U$, $F\left(I\right)\subseteq I_{\xi}$, $F^{-1}=\xi$,
$\left(F^{-1}\right)'\left(\tau\right)=\frac{1}{F'\left(F^{-1}\left(\tau\right)\right)}=f\left(F^{-1}\left(\tau\right)\right)$.

\underbar{Algorithmus $\left(n=1\right)$}:

\begin{enumerate}
\item Wähle $J$, so daß $f$ auf $J$ definiert ist und ungleich Null.
\medskip{}
\item Wähle $F$ mit $F'=\frac{1}{f}$ auf $J$.
\medskip{}
\item Wähle $G$ mit $G'=g$ auf $I$.
\medskip{}
\item Wähle $\tau_{0}$ und verkleinere $I$ gegebenenfalls, so daß $G\left(I\right)\subseteq\tau_{0}+F\left(J\right)$.
\medskip{}
\item Berechne $x\left(t\right)=F^{-1}\left(G\left(t\right)-\tau_{0}\right)$.
\end{enumerate}
\begin{example*}
~\[
x'\left(t\right)=-\frac{t}{2x\left(t\right)}=f\left(x\left(t\right)\right)\cdot g\left(t\right)\qquad f\left(x\right)=\frac{1}{x},\quad g\left(t\right)=-\frac{t}{2}\]
$J_{1}=\left(-\infty,0\right)$, $J_{2}=\left(0,\infty\right)$. \[
F\left(x\right)=\frac{x^{2}}{2}\]
$F\left(J_{1}\right)=F\left(J_{2}\right)=\left(0,\infty\right)$.

Sei zunächst $I=\mathbb{R}$, \[
G\left(t\right)=-\frac{t^{2}}{4}\]


$G\left(I\right)=\left(-\infty,0\right)\stackrel{?}{\subseteq}\tau_{0}+F\left(J\right)=\left(\tau_{0},\infty\right)$.

Wir wählen $I$ und $\tau_{0}$ so, daß $\forall t\in I$: $-\frac{t^{2}}{4}\in\left(\tau_{0},\infty\right)$,
d.h. $t^{2}<-4\tau_{0}$.

$\leadsto$ $\tau_{0}<0$ und $t\in\left(-2\sqrt{-\tau_{0}},2\sqrt{-\tau_{0}}\right)=:I$.\begin{eqnarray*}
F\left(x\right)=y=\frac{x^{2}}{2}\quad\leadsto\, x\left(y\right) & = & \begin{cases}
\sqrt{2y} & y\in J_{2}=\left(0,\infty\right)\\
\sqrt{-2y} & y\in J_{1}=\left(-\infty,0\right)\end{cases}\qquad y\in\left(0,\infty\right)\\
\leadsto\, x\left(t\right) & = & \pm\sqrt{2\left(-\frac{t^{2}}{4}-\tau_{0}\right)}\quad\textrm{für }\left|t\right|<2\sqrt{-\tau_{0}}\end{eqnarray*}
%
\begin{figure}[htbp]
\begin{center}\includegraphics[%
  scale=0.8]{03.eps}\end{center}

\begin{center}$\pm x\left(t\right)$ für $\tau_{0}=-1,-2$\end{center}
\end{figure}


\end{example*}
%

\begin{example*}
~\[
x'\left(t\right)=\frac{t}{x^{2}+1}=f\left(x\right)\cdot g\left(t\right)\qquad f\left(x\right)=\frac{1}{x^{2}+1},\quad g\left(t\right)=t,\quad J=\mathbb{R}\]
$F'\left(x\right)=x^{2}+1$ $\leadsto$ $F\left(x\right)=\frac{1}{3}x^{3}+x$,
$F\left(J\right)=\mathbb{R}$

$G'\left(t\right)=t$ $\leadsto$ $G\left(t\right)=\frac{1}{2}t^{2}$:
$\frac{t^{2}}{2}\in\tau_{0}+\mathbb{R}=\mathbb{R}$ $\forall t\in I$\[
x\left(t\right)=F^{-1}\left(\frac{t^{2}}{2}-\tau_{0}\right)\quad\forall t\in\mathbb{R},\tau_{0}\in\mathbb{R}\textrm{ bel.}\]


\end{example*}

\subsection{Koordinatentransformationen (Substitutionen)}

~\index{Koordinatentransformation}\index{Substitution}\begin{eqnarray}
x'\left(t\right) & = & f\left(t,x\left(t\right)\right)\label{eq:2.3.1}\\
x\left(t\right) & = & \varphi\left(t,y\left(t\right)\right)\nonumber \end{eqnarray}
\begin{eqnarray*}
\leadsto\, f\left(t,\varphi\left(t,y\left(t\right)\right)\right)=x'\left(t\right) & = & \frac{d}{dt}\varphi\left(t,y\left(t\right)\right)=\partial_{t}\varphi\left(t,y\left(t\right)\right)+\partial_{y}\varphi\left(t,y\left(t\right)\right)\cdot y'\left(t\right)\\
\leadsto\, y'\left(t\right) & = & \left[\partial_{y}\varphi\left(t,y\left(t\right)\right)\right]^{-1}\left(f\left(t,\varphi\left(t,y\left(t\right)\right)\right)-\partial_{t}\varphi\left(t,y\left(t\right)\right)\right)\end{eqnarray*}


\begin{thm}
Sei $I\subseteq\mathbb{R}$ Intervall, $U,V\subseteq\mathbb{R}^{n}$
offen.%
\marginpar{30.04.03%
}

Sei $\varphi:I\times V\rightarrow U$ differenzierbar, $f:I\times U\rightarrow\mathbb{R}^{n}$
stetig.

Sei $\det\partial_{y}\varphi\left(t,y\right)\neq0$ $\forall t\in I$,
$y\in V$.

Dann ist $x:I\rightarrow U$ Lösung von $x'\left(t\right)=f\left(t,x\left(t\right)\right)$
genau dann, wenn $y:I\rightarrow V$ mit \[
\boxed{x\left(t\right)=\varphi\left(t,y\left(t\right)\right)}\]
 Lösung ist von\emph{\[
\boxed{y'\left(t\right)=\left[\partial_{y}\varphi\left(t,y\left(t\right)\right)\right]^{-1}\left[f\left(t,\varphi\left(t,y\left(t\right)\right)\right)-\partial_{t}\varphi\left(t,y\left(t\right)\right)\right]}\]
}

\end{thm}

\subsubsection{Beispielklasse: homogene Gleichungen}

~\index{Differentialgleichung!Euler-homogen}

%
\marginpar{Euler-homogene DGL%
}\[
\boxed{x'\left(t\right)=F\left(\frac{x}{t}\right)\qquad x=ty}\]
 \[
f\left(t,x\right)=F\left(\frac{x}{t}\right)\quad\leadsto\quad f\left(\lambda t,\lambda x\right)=F\left(\frac{\lambda x}{\lambda t}\right)=f\left(t,x\right),\quad x\in\mathbb{R}^{n}\]


Substitution\[
\boxed{\varphi\left(t,y\right):=ty}\]
führt mit\begin{eqnarray*}
\partial_{x}\varphi\left(t,y\right) & = & t\cdot I_{n}\qquad\frac{\partial\varphi_{j}}{\partial y_{k}}\left(t,y_{1},\ldots,y_{n}\right)=t\cdot\delta_{j,k}\\
\partial_{t}\varphi\left(t,y\right) & = & y\end{eqnarray*}
auf eine Gleichung mit getrennten Variablen:\[
\boxed{y'\left(t\right)=\frac{1}{t}\left(F\left(y\right)-y\left(t\right)\right)}\]


\begin{example*}
~\begin{eqnarray*}
x'\left(t\right) & = & \frac{x}{t}+\frac{x^{2}}{t^{2}}\\
y'\left(t\right) & = & \frac{1}{t}\left(y+y^{2}-y\right)=\frac{y^{2}}{t}\\
-\frac{1}{y} & = & \ln\left|t\right|+C\\
y & = & -\frac{1}{\ln\left|t\right|+C}\\
\leadsto\, x\left(t\right) & = & \varphi\left(t,y\left(t\right)\right)=-\frac{t}{\ln\left|t\right|+C}\end{eqnarray*}

\end{example*}

\subsubsection{Beispielklasse $\boxed{x'=F\left(at+bx+c\right)}$}

~

$x\in\mathbb{R}^{n}$, $a\in\mathbb{R}^{n}$, $b\in\mathbb{R}$, $b\neq0$,
$c\in\mathbb{R}^{n}$. $F:\mathbb{R}^{n}\rightarrow\mathbb{R}^{n}$

Substitution\[
\boxed{y:=at+bx+c}\]
führt mit\begin{eqnarray*}
\varphi\left(t,y\right) & = & x=\frac{y-at-c}{b}\\
\partial_{y}\varphi\left(t,y\right) & = & \frac{1}{b}I_{n}\\
\partial_{t}\varphi\left(t,y\right) & = & -\frac{a}{b}\in\mathbb{R}^{n}\end{eqnarray*}
auf ein autonomes Differentialgleichungssystem\[
\boxed{y'\left(t\right)=b\left[F\left(y\right)+\frac{a}{b}\right]=bF\left(y\right)+a}\]



\newpage
\section{Die Anfangswertaufgabe und ihre Lösungseigenschaften}

\begin{defn}
Die Aufgaben\index{Anfangswertaufgabe}%
\marginpar{Anfangs\-wert\-aufgabe%
}

geg.: $U\subseteq\mathbb{R}\times\mathbb{R}^{n}$, $f:U\rightarrow\mathbb{R}^{n}$,
$\left(t_{0},x_{0}\right)\in U$.

ges.: $\varepsilon>0$, $x\in C^{1}\left(\left(t_{0}-\varepsilon,t_{0}+\varepsilon\right),\mathbb{R}^{n}\right)$
mit \begin{eqnarray}
x'\left(t\right) & = & f\left(t,x\left(t\right)\right)\quad\forall t\in\left(t_{0}-\varepsilon,t_{0}+\varepsilon\right)\label{eq:AWA1DGL}\\
\textrm{und }x\left(t_{0}\right) & = & x_{0}\quad\left(\textrm{Anfangsbedingung}\right)\label{eq:AWA1AWB}\end{eqnarray}
 \textbf{bzw.}

geg.: $U\subseteq\mathbb{R}\times\mathbb{R}^{n}$, $f:U\rightarrow\mathbb{R}$,
$\left(t_{0},x_{0},x_{1},\ldots,x_{n-1}\right)\in U$.

ges.: $\varepsilon>0$, $x\in C^{n}\left(\left(t_{0}-\varepsilon,t_{0}+\varepsilon\right),\mathbb{R}\right)$
mit\begin{eqnarray}
 &  & x^{\left(n\right)}\left(t\right)=f\underbrace{\left(t,x\left(t\right),x'\left(t\right)\ldots,x^{\left(n-1\right)}\left(t\right)\right)}_{\in U}\label{eq:AWA2DGL}\\
 &  & x\left(t_{0}\right)=x_{0},\, x'\left(t_{0}\right)=x_{1},\ldots,x^{\left(n-1\right)}\left(t_{0}\right)=x_{n-1}\quad\left(\textrm{Anfangsbedingungen}\right)\label{eq:AWA2AWB}\end{eqnarray}
heißen \underbar{Anfangswertaufgaben}.

\end{defn}
\begin{example}
Pendelbewegung:\begin{eqnarray*}
x'' & = & -\frac{g}{l}\sin x\\
x\left(t_{0}\right)=x_{0}, &  & x'\left(t_{0}\right)=x_{1}\end{eqnarray*}

\end{example}
%

\begin{example}
Räuber-Beute-Modell\begin{eqnarray*}
x' & = & ax-bxy\\
y' & = & cxy-dx\\
x\left(t_{0}\right)=x_{0}, &  & y\left(t_{0}\right)=y_{0}\end{eqnarray*}

\end{example}
%

\begin{example}
elektrischer Schwingkreis\[
I'=\frac{1}{L}\left(U\left(t\right)-\frac{I}{C}-RI'\right)\]

\end{example}
%

\begin{example}
Eulerscher Knickstab\begin{eqnarray*}
x''\left(s\right) & = & -\frac{p}{c}\sin x\left(s\right)\quad0\leq s\leq l\end{eqnarray*}


Dirichlet-Randwertaufgabe: $x\left(0\right)=x\left(l\right)=0$

Naumann-Randwertaufgabe: $x'\left(0\right)=x'\left(l\right)=0$

\end{example}
\begin{rem*}
Wenn \prettyref{eq:AWA2DGL} in \prettyref{eq:AWA1DGL} transformiert
wird durch $x_{1}:=x$, $x_{2}:=x'$, $\ldots$, $x_{n}:=x^{\left(n-1\right)}$,
dann geht \prettyref{eq:AWA2AWB} in \prettyref{eq:AWA1AWB} über.
\end{rem*}

\subsection{Transformation von \prettyref{eq:AWA1DGL}, \prettyref{eq:AWA1AWB}
in einer Volterra'sche Integralgleichung}

\begin{lem}
Sei $U\subseteq\mathbb{R}\times\mathbb{R}^{n}$ offen, $\left(t_{0},x_{0}\right)\in U$,
$f:U\rightarrow\mathbb{R}^{n}$ stetig, $I\subseteq\mathbb{R}$ ein
Intervall, $t_{0}\in I$, $x:I\rightarrow\mathbb{R}^{n}$. Dann sind
die folgenden Bedingungen äquivalent:
\begin{enumerate}
\item $x\in C^{1}\left(I,\mathbb{R}^{n}\right)$ und \[
x'\left(t\right)=f\left(t,x\left(t\right)\right)\quad\forall t\in I,\qquad x\left(t_{0}\right)=x_{0}.\]

\item $x\in C\left(I,\mathbb{R}^{n}\right)$ und\index{Volterra-Integralgleichung}%
\marginpar{Volterra-Integral\-gleichung%
} \[
\boxed{x\left(t\right)=x_{0}+\int_{t_{0}}^{t}f\left(s,x\left(s\right)\right)ds\quad\forall t\in I}\]

\end{enumerate}
\end{lem}
\begin{proof}
$\left(1\right)\Rightarrow\left(2\right)$: Es gilt \begin{eqnarray*}
\int_{t_{0}}^{t}x'\left(s\right)ds & = & \int_{t_{0}}^{t}f\left(s,x\left(s\right)\right)ds\\
\textrm{und }\int_{t_{0}}^{t}x'\left(s\right)ds & = & x\left(t\right)-x\left(t_{0}\right)=x\left(t\right)-x_{0}\end{eqnarray*}


$\left(2\right)\Rightarrow\left(1\right)$: $x$ ist differenzierbar
und $x'\left(t\right)=f\left(t,x\left(t\right)\right)$ und folglich
ist $x'$ stetig, $x\left(t_{0}\right)=x_{0}$.

\end{proof}

\subsubsection{Iterationsverfahren zur Lösung der Volterra-Integralgleichung\index{Volterra-Integralgleichung!Iterationsverfahren}}

\[
x\left(t\right)=x_{0}+\int_{t_{0}}^{t}f\left(s,x\left(s\right)\right)ds\quad\forall t\in I\]
\[
\boxed{\begin{array}{rcl}
x_{1}\left(t\right) & := & x_{0}\\
x_{j+1}\left(t\right) & := & x_{0}+{\displaystyle \int_{t_{0}}^{t}}f\left(s,x_{j}\left(s\right)\right)ds\end{array}}\]


\begin{example*}
$x'=x$, $n=1$, $f\left(t,x\right)=x$, $U=\mathbb{R}\times\mathbb{R}$.\begin{eqnarray*}
x_{1}\left(t\right) & = & x_{0}\\
x_{2}\left(t\right) & = & x_{0}+\int_{t_{0}}^{t}x_{0}ds=x_{0}+x_{0}\left(t-t_{0}\right)=x_{0}\left(1+t-t_{0}\right)\\
x_{3}\left(t\right) & = & x_{0}+\int_{t_{0}}^{t}f\left(s,x_{2}\left(s\right)\right)ds\\
 & = & x_{0}+\int_{t_{0}}^{t}\left(x_{0}\left(1-t_{0}\right)+x_{0}s\right)ds\\
 & = & x_{0}+\left[x_{0}\left(1-t_{0}\right)s+x_{0}\frac{s^{2}}{2}\right]_{t_{0}}^{t}\\
 & = & x_{0}+x_{0}\left(1-t_{0}\right)\left(t-t_{0}\right)+\frac{x_{0}}{2}\left(t^{2}-t_{0}^{2}\right)\end{eqnarray*}
Setzen $t_{0}=0$: \begin{eqnarray*}
x_{1}\left(t\right) & = & x_{0}\\
x_{2}\left(t\right) & = & x_{0}\left(1+t\right)\\
x_{3}\left(t\right) & = & x_{0}\left(1+t+\frac{t^{2}}{2}\right)\\
x_{4}\left(t\right) & = & x_{0}+x_{0}\int_{0}^{t}\left(1+s+\frac{s^{2}}{2}\right)ds=x_{0}\left(1+t+\frac{t^{2}}{2}+\frac{t^{3}}{6}\right)\\
x_{j}\left(t\right) & = & x_{0}\sum_{k=0}^{j}\frac{t^{k}}{k!}\xrightarrow{j\rightarrow\infty}x_{0}e^{t}\\
\frac{d}{dt}x_{0}e^{t} & = & x_{0}e^{t}\\
x_{0}e^{t}\left|_{t=0}\right. & = & x_{0}\end{eqnarray*}

\end{example*}

\newpage
\subsection{Der Satz von Picard-Lindelöf}

~\index{Picard-Lindelöf}%
\marginpar{05.05.03%
}

Sei $f:U\subseteq\mathbb{R}\times\mathbb{R}^{n}\rightarrow\mathbb{R}^{n}$,
$U$ offen. $\left(t_{0},x_{0}\right)\in U$. Wir betrachten die Anfangswertaufgabe:
\begin{eqnarray}
x'\left(t\right) & = & f\left(t,x\left(t\right)\right)\label{eq:3.2.1}\\
x\left(t_{0}\right) & = & x_{0}\label{eq:3.2.2}\end{eqnarray}


\begin{thm}
[Picard-Lindelöf]\cite{Arnold} Wenn $f$ lokal Lipschitz-stetig
ist, so existiert genau eine Lösung von \prettyref{eq:3.2.1}, \prettyref{eq:3.2.2}.
\end{thm}
%~

\begin{thm}
[Picard-Lindelöf]\label{thm:PicardLindeloef}\cite{Amann} Sei $f$
stetig.%
\marginpar{Picard-Lindelöf%
} Gelte \begin{eqnarray*}
 &  & \forall\left(t_{*},x_{*}\right)\in U\quad\exists\delta>0,L>0:\\
 &  & \forall\left(t,x_{1}\right)\in U,\left|t-t_{*}\right|+\left\Vert x_{1}-x_{*}\right\Vert \leq\delta,\quad\left(t,x_{2}\right)\in U,\left|t-t_{*}\right|+\left\Vert x_{2}-x_{*}\right\Vert \leq\delta:\\
 &  & \left\Vert f\left(x_{1},t\right)-f\left(x_{2},t\right)\right\Vert <L\cdot\left\Vert x_{1}-x_{2}\right\Vert \end{eqnarray*}
und seien $a,b>0$ so gewählt, daß\[
\left\{ \left(t,x\right)\in\mathbb{R}\times\mathbb{R}^{n}\left|\left|t-t_{0}\right|\leq a,\left\Vert x-x_{0}\right\Vert \leq b\right.\right\} \subseteq U,\]
\[
\varepsilon:=\min\left\{ a,\frac{b}{{\displaystyle \max_{{{\left|t-t_{0}\right|\leq a\atop \left\Vert x-x_{0}\right\Vert \leq b}}}}\left\Vert f\left(t,x\right)\right\Vert }\right\} .\]
Dann \underbar{existiert genau eine Lösung} $x:\left[t_{0}-\varepsilon,t_{0}+\varepsilon\right]\rightarrow\mathbb{R}^{n}$
von \prettyref{eq:3.2.1}, \prettyref{eq:3.2.2}.
\end{thm}
Erinnerung: Lipschitz-Stetigkeit:

\begin{enumerate}
\item $f:X\subseteq\mathbb{R}^{n}\rightarrow\mathbb{R}^{n}$ heißt \underbar{Lipschitz-stetig}\index{Lipschitz-stetig}\index{stetig!Lipschitz},
wenn ein $L>0$ existiert, so daß\[
\boxed{\left\Vert f\left(x_{1}\right)-f\left(x_{2}\right)\right\Vert \leq L\cdot\left\Vert x_{1}-x_{2}\right\Vert \quad\forall x_{1},x_{2}\in X}\]


\begin{enumerate}
\medskip{}
\item Aus Lipschitz-Stetigkeit folgt gleichmäßige Stetigkeit $\left(\varepsilon=L\cdot\delta\right)$
\medskip{}
\item $n=1$, $X=\left[0,1\right]$, $f\left(x\right)=\sqrt{x}$ ist nicht
Lipschitz-stetig, denn es ex. kein $L<\infty$ mit\[
\frac{\left|\sqrt{x_{1}}-\sqrt{x_{2}}\right|}{\left|x_{1}-x_{2}\right|}=\frac{1}{\left|\sqrt{x_{1}}+\sqrt{x_{2}}\right|}\leq L\quad\forall x_{1},x_{2}\in X=\left[0,1\right]\]

\medskip{}
\item $n=1$, $X=\left[a,b\right]$, $f$ stetig differenzierbar $\leadsto$
$f$ ist Lipschitz-stetig\[
\left|f\left(x_{1}\right)-f\left(x_{2}\right)\right|=\left|f'\left(\theta\right)\right|\cdot\left|x_{1}-x_{2}\right|\leq\max_{\theta\in\left[a,b\right]}\left|f'\left(\theta\right)\right|\cdot\left|x_{1}-x_{2}\right|\]

\medskip{}
\item $f:\left(0,1\right)\rightarrow\mathbb{R}$, $f\left(x\right)=\sqrt{x}$
ist stetig differenzierbar, aber ebenso nicht Lipschitz-stetig ($\left(0,1\right)$
ist nicht abgeschlossen)


\medskip{}
\noindent $f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$, $f\left(x\right)=x^{2}$:\[
\frac{\left|x_{1}^{2}-x_{2}^{2}\right|}{\left|x_{1}-x_{2}\right|}=\left|x_{1}+x_{2}\right|\leq L?\]


\end{enumerate}
\medskip{}
\item $f:X\subseteq\mathbb{R}^{n}\rightarrow\mathbb{R}^{n}$ heißt \underbar{lokal
Lipschitz-stetig}\index{stetig!Lipschitz!lokal}\index{Lipschitz-stetig!lokal},
wenn für alle $x_{0}\in X$ ein $r>0$ existiert, so daß $f\left|_{K\left(x_{0},r\right)\cap X}\textrm{ }\right.$
Lipschitz-stetig ist.

\begin{enumerate}
\medskip{}
\item lokal Lipschitz-stetig $\leadsto$ stetig
\medskip{}
\item $X$ offen, $f$ stetig differenzierbar $\leadsto$ $f$ ist lokal
Lipschitz-stetig\begin{eqnarray*}
\left\Vert f\left(x_{1}\right)-f\left(x_{2}\right)\right\Vert  & \leq & \max_{0\leq\theta\leq1}\left\Vert f'\left(\theta x_{1}+\left(1-\theta\right)x_{2}\right)\right\Vert \cdot\left\Vert x_{1}-x_{2}\right\Vert \\
 & \leq & \underbrace{\max_{x\in K\left(x_{1},\left\Vert x_{1}-x_{2}\right\Vert \right)\cap X}\left\Vert f'\left(x\right)\right\Vert }_{=:L\left(x_{0},r\right)}\cdot\left\Vert x_{1}-x_{2}\right\Vert \end{eqnarray*}
$L\left(x_{0},r\right)$ ist die lokale Lipschitz-Konstante
\medskip{}
\item Operatornorm: $A\in M\left(m\times n\right)$: $\left\Vert A\right\Vert ={\displaystyle \sup_{x\neq0}}\frac{\left\Vert Ax\right\Vert }{\left\Vert x\right\Vert }$
($\left\Vert Ax\right\Vert \leq\left\Vert A\right\Vert \cdot\left\Vert x\right\Vert $
$\forall x\in\mathbb{R}^{n}$)
\end{enumerate}
\medskip{}
\item $f:X\subseteq\mathbb{R}\times\mathbb{R}^{n}\rightarrow\mathbb{R}^{n}$
heißt \underbar{lokal Lipschitz-stetig\index{stetig!Lipschitz!lokal}\index{Lipschitz-stetig!lokal}
bzgl. der 2. Variable}, wenn\begin{eqnarray*}
 &  & \forall\left(t_{*},x_{*}\right)\in X\quad\exists\delta>0,L>0:\\
 &  & \forall\left(t,x_{1}\right)\in X,\left|t-t_{*}\right|+\left\Vert x_{1}-x_{*}\right\Vert \leq\delta,\quad\left(t,x_{2}\right)\in X,\left|t-t_{*}\right|+\left\Vert x_{2}-x_{*}\right\Vert \leq\delta:\\
 &  & \left\Vert f\left(x_{1},t\right)-f\left(x_{2},t\right)\right\Vert <L\cdot\left\Vert x_{1}-x_{2}\right\Vert \end{eqnarray*}

\end{enumerate}
Beweisidee: Anwendung des Banach'schen Fixpunktsatzes auf die Volterra-Integralgleichung.

\begin{thm}
[Banach'scher Fixpunktsatz]\index{Banach'scher Fixpunktsatz} Sei
$X$ ein vollständiger normierter Vektorraum,%
\marginpar{Banach\-scher Fix\-punkt\-satz%
} $M\subseteq X$ abgeschlossen, $F:M\rightarrow M$ strikt kontraktiv,
d.h. \[
\exists L\in\left[0,1\right):\quad\forall x_{1},x_{2}\in M:\quad\left\Vert F\left(x_{1}\right)-F\left(x_{2}\right)\right\Vert \leq L\cdot\left\Vert x_{1}-x_{2}\right\Vert .\]
Dann existiert genau ein $x_{0}\in M$ mit \[
\boxed{F\left(x_{0}\right)=x_{0}}\]

\end{thm}
\begin{defn}
Ein normierter Vektorraum $X$ heißt \underbar{vollständig}\index{vollständig}%
\marginpar{voll\-ständig%
}, wenn jede Cauchy-Folge konvergiert, d.h. für jede Folge $x_{1},x_{2},\ldots\in X$
mit $\forall\varepsilon>0\exists n_{0}\in\mathbb{N}\forall m,n\geq n_{0}:\left\Vert x_{m}-x_{n}\right\Vert <\varepsilon$
gilt: $\exists x_{0}\in X:\forall\varepsilon>0\exists n_{0}\in\mathbb{N}\forall n\geq n_{0}:\left\Vert x_{n}-x_{0}\right\Vert <\varepsilon$.
\end{defn}
\begin{itemize}
\item Jeder endlich-dimensionale Vektorraum über $\mathbb{R}$ ist vollständig.
\medskip{}
\item $C\left(\left[a,b\right],\mathbb{R}^{n}\right)$ mit Supremumsnorm
ist vollständig: Sei $x_{1},x_{2},\ldots\in C\left(\left[a,b\right],\mathbb{R}^{n}\right)$
eine Cauchy-Folge, d.h.\begin{equation}
\forall\varepsilon>0\exists n_{0}\in\mathbb{N}\forall m,n\geq n_{0}:\quad\max_{t\in\left[a,b\right]}\left\Vert x_{n}\left(t\right)-x_{m}\left(t\right)\right\Vert <\varepsilon.\label{eq:3.2.3}\end{equation}
Dann ist $x_{1}\left(t\right),x_{2}\left(t\right),\ldots$ Cauchy-Folge
in $\mathbb{R}^{n}$ (vollständig) und wir definieren\[
x\left(t\right):=\lim_{j\rightarrow\infty}x_{j}\left(t\right)\]
Mit $m\rightarrow\infty$ in \prettyref{eq:3.2.3} erhalten wir\[
\forall\varepsilon>0\exists n_{0}\in\mathbb{N}\forall n\geq n_{0}\forall t\in\left[a,b\right]:\quad\left\Vert x\left(t\right)-x_{n}\left(t\right)\right\Vert \leq\varepsilon\]
Also konvergiert $x_{j}$ gleichmäßig gegen $x$. Dann ist $x$ stetig.
Bilden wir nun noch das Maximum über alle $t$, so erhalten wir\[
\max_{t\in\left[a,b\right]}\left\Vert x\left(t\right)-x_{n}\left(t\right)\right\Vert \leq\varepsilon\quad\leadsto\quad\left\Vert x-x_{n}\right\Vert \leq\varepsilon.\]

\end{itemize}
\begin{proof}
[Beweis von Satz \ref{thm:PicardLindeloef} von Picard-Lindel\"of]~%
\marginpar{7.5.03%
}\[
X:=C\left(\left[t_{0}-\varepsilon,t_{0}+\varepsilon\right],\mathbb{R}^{n}\right),\quad\left\Vert x\right\Vert =\max_{\left|t-t_{0}\right|\leq\varepsilon}\left\Vert x\left(t\right)\right\Vert \]
ist vollständig.\[
M:=\left\{ x\in X\left|\left\Vert x\left(s\right)-x_{0}\right\Vert \leq b\quad\forall s\in\left[t_{0}-\varepsilon,t_{0}+\varepsilon\right]\right.\right\} =K_{X}\left(x_{0},b\right)\]
ist abgeschlossen: Sei $x_{1},x_{2},\ldots\in M$ mit ${\displaystyle \lim_{j\rightarrow\infty}}\left\Vert x_{j}-x\right\Vert =0$
($x_{j}\left(t\right)\rightarrow x\left(t\right)$ glm. auf $\left[t_{0}-\varepsilon,t_{0}+\varepsilon\right]$)\begin{eqnarray*}
 &  & \left\Vert x_{j}\left(t\right)-x_{0}\right\Vert \leq b\quad\forall t\in\left[t_{0}-\varepsilon,t_{0}+\varepsilon\right]\\
\leadsto &  & \left\Vert x\left(t\right)-x_{0}\right\Vert \leq b\quad\forall t\in\left[t_{0}-\varepsilon,t_{0}+\varepsilon\right]\\
\leadsto &  & x\in M\end{eqnarray*}
Sei\[
F:M\rightarrow M\quad\left[F\left(x\right)\right]\left(t\right):=x_{0}+\int_{t_{0}}^{t}f\left(s,x\left(s\right)\right)ds\quad\textrm{für }\left|t-t_{0}\right|\leq\varepsilon\leq a\]
z.z.: $F\left(x\right)\in M$ $\forall x\in M$. (also $F:M\rightarrow M$)\begin{eqnarray*}
\left\Vert F\left(x\right)-x_{0}\right\Vert  & = & \left\Vert x_{0}+\int_{t_{0}}^{t}f\left(s,x\left(s\right)\right)ds-x_{0}\right\Vert \\
 & \leq & \left|\int_{t_{0}}^{t}\left\Vert f\left(s,x\left(s\right)\right)\right\Vert ds\right|\\
 & \leq & \left|t-t_{0}\right|\max_{\left|s-t_{0}\right|\leq\varepsilon}\left\Vert f\left(s,x\left(s\right)\right)\right\Vert \\
 & \leq & \frac{b}{{\displaystyle \max_{\left|s-t_{0}\right|\leq a,\left\Vert x-x_{0}\right\Vert \leq b}\left\Vert f\left(s,x\left(s\right)\right)\right\Vert }}\cdot\max_{\left|s-t_{0}\right|\leq\varepsilon}\left\Vert f\left(s,x\left(s\right)\right)\right\Vert \\
 & \leq & b\end{eqnarray*}


Jetzt noch zu zeigen: $F$ ist strikt kontraktiv.

\begin{rem*}
Zwei Normen $\left\Vert \cdot\right\Vert _{1}$ und $\left\Vert \cdot\right\Vert _{2}$
heißen äquivalent\index{Norm, Äquivalenz}, wenn $c_{1},c_{2}>0$
existieren, so daß \[
\boxed{c_{1}\left\Vert x\right\Vert _{1}\leq\left\Vert x\right\Vert _{2}\leq c_{2}\left\Vert x\right\Vert _{1}\forall x}\]

\end{rem*}
Einführung der neuen äquivalenten Norm in $C\left(\left[t_{0}-\varepsilon,t_{0}+\varepsilon\right],\mathbb{R}^{n}\right)$:\begin{eqnarray*}
\left|\left\Vert x\right\Vert \right| & := & \max_{\left|t-t_{0}\right|\leq\varepsilon}\left\Vert x\left(t\right)\right\Vert \cdot e^{-Lt},\end{eqnarray*}
$L$ sei die Lipschitzkonstante zu $\left\{ \left(t,x\right)\in\mathbb{R}\times\mathbb{R}^{n}:\left|t-t_{0}\right|\leq a,\left\Vert x-x_{0}\right\Vert \leq b\right\} $.\[
\left\Vert x\left(t\right)\right\Vert e^{-L\left(t_{0}+\varepsilon\right)}\leq\underbrace{\left\Vert x\left(t\right)\right\Vert e^{-Lt}}_{\left|\left\Vert x\left(t\right)\right\Vert \right|}\leq\left\Vert x\left(t\right)\right\Vert e^{-L\left(t_{0}-\varepsilon\right)},\]
also sind $\left\Vert \cdot\right\Vert $ und $\left|\left\Vert \cdot\right\Vert \right|$
äquivalent.\begin{eqnarray*}
\left|\left\Vert F\left(x\right)-F\left(y\right)\right\Vert \right| & = & \max_{\left|t-t_{0}\right|\leq\varepsilon}\left\Vert F\left(x\right)-F\left(y\right)\right\Vert e^{-Lt}\\
 & = & \max_{\left|t-t_{0}\right|\leq\varepsilon}\left\Vert \int_{t_{0}}^{t}f\left(s,x\left(s\right)\right)ds-\int_{t_{0}}^{t}f\left(s,y\left(s\right)\right)ds\right\Vert e^{-Lt}\\
 & \leq & \max_{\left|t-t_{0}\right|\leq\varepsilon}\int_{t_{0}}^{t}\left\Vert f\left(s,x\left(s\right)\right)-f\left(s,y\left(s\right)\right)\right\Vert ds\cdot e^{-Lt}\\
 & \leq & L\cdot\max_{\left|t-t_{0}\right|\leq\varepsilon}e^{-Lt}\cdot\int_{t_{0}}^{t}\left\Vert x\left(s\right)-y\left(s\right)\right\Vert e^{-Ls}\cdot e^{Ls}ds\\
 & \leq & L\cdot\max_{\left|t-t_{0}\right|\leq\varepsilon}e^{-Lt}\cdot\int_{t_{0}}^{t}\underbrace{\max_{\left|s-t_{0}\right|\leq\varepsilon}\left\Vert x\left(s\right)-y\left(s\right)\right\Vert e^{-Ls}}_{=\left|\left\Vert x-y\right\Vert \right|}\cdot e^{Ls}ds\\
 & \leq & L\cdot\left|\left\Vert x-y\right\Vert \right|\cdot\max_{\left|t-t_{0}\right|\leq\varepsilon}e^{-Lt}\cdot\underbrace{\int_{t_{0}}^{t}e^{Ls}ds}_{\frac{1}{L}\left(e^{Lt}-e^{Lt_{0}}\right)}\\
 & = & L\cdot\left|\left\Vert x-y\right\Vert \right|\cdot\max_{\left|t-t_{0}\right|\leq\varepsilon}\frac{1}{L}\left(1-e^{L\left(t_{0}-t\right)}\right)\\
 & = & \left|\left\Vert x-y\right\Vert \right|\cdot\left(1-e^{-L\varepsilon}\right)\\
 & < & \left|\left\Vert x-y\right\Vert \right|\end{eqnarray*}


\end{proof}
\begin{rem*}
Kontraktivität bzgl. der alten Norm:\begin{eqnarray*}
\left\Vert F\left(x\right)-F\left(y\right)\right\Vert  & = & \max_{\left|t-t_{0}\right|\leq\varepsilon}\left\Vert \int_{t_{0}}^{t}f\left(s,x\left(s\right)\right)ds-\int_{t_{0}}^{t}f\left(s,y\left(s\right)\right)dy\right\Vert \\
 & \leq & L\cdot\max_{\left|t-t_{0}\right|\leq\varepsilon}\int_{t_{0}}^{t}\left\Vert x\left(s\right)-y\left(s\right)\right\Vert ds\\
 & \leq & L\cdot\left\Vert x-y\right\Vert \cdot\max_{\left|t-t_{0}\right|\leq\varepsilon}\int_{t_{0}}^{t}1ds\\
 & = & L\cdot\varepsilon\cdot\left\Vert x-y\right\Vert \end{eqnarray*}
Wähle nun $\varepsilon$ so klein, daß $\varepsilon<\frac{1}{L}$
gilt.
\end{rem*}

\subsection{Der Satz von Peano}

~

\begin{thm}
[Peano]\index{Peano, Satz} Sei $f$ stetig.%
\marginpar{Peano%
} Dann \underbar{existiert} ein $\varepsilon>0$ und \underbar{eine
Lösung} $x:\left[t_{0}-\varepsilon,t_{0}+\varepsilon\right]\rightarrow\mathbb{R}^{n}$
von \prettyref{eq:3.2.1},\prettyref{eq:3.2.2}.
\end{thm}
\begin{proof}
Fixpunktsatz von Schauder
\end{proof}
\begin{example*}
$n=1$, $U=\mathbb{R}\times\mathbb{R}$, $f\left(t,x\right)=\sqrt{\left|x\right|}$
ist stetig, $\left(t_{0},x_{0}\right)=\left(0,0\right)$, also \[
x'\left(t\right)=\sqrt{\left|x\left(t\right)\right|},\quad x\left(0\right)=0\]
Die Lösungen sind nicht eindeutig:\begin{eqnarray*}
1.\qquad x\left(t\right) & \equiv & 0\\
2.\qquad x\left(t\right) & = & \begin{cases}
\frac{1}{4}t^{2} & t\geq0\\
-\frac{1}{4}t^{2} & t<0\end{cases}\end{eqnarray*}

\end{example*}

\subsection{Fortsetzungen von Lösungen, maximale, unbeschränkt fortsetzbare Lösungen}

~%
\marginpar{11.05.2003%
}\begin{eqnarray*}
x'\left(t\right) & = & f\left(t,x\left(t\right)\right)\\
x\left(t_{0}\right) & = & x_{0}\end{eqnarray*}
$f:U\subseteq\mathbb{R}\times\mathbb{R}^{n}\rightarrow\mathbb{R}^{n}$
lokal Lipschitz-stetig, $U$ offen, $\left(t_{0},x_{0}\right)\in U$.

Lösung: $I\subseteq\mathbb{R}$ Intervall, $t_{0}\in I$; $x\in C^{1}\left(I,\mathbb{R}^{n}\right)$;
$x\left(t_{0}\right)=x_{0}$; $\forall t\in I$: $\left(t,x\left(t\right)\right)\in U$,
$x'\left(t\right)=f\left(t,x\left(t\right)\right)$

\begin{lem}
[lokale Eindeutigkeit impliziert globale Eindeutigkeit]\label{lem:3.4.1}Seien%
\marginpar{globale Eindeutigkeit%
} $x:I\rightarrow\mathbb{R}^{n}$ und $y:J\rightarrow\mathbb{R}^{n}$
zwei Lösungen des AWP. Dann gilt \[
\boxed{x\left(t\right)=y\left(t\right)\quad\forall t\in I\cap J}\]

\end{lem}
\begin{proof}
Sei \[
t_{*}:=\sup\left\{ t\in I\cap J\left|x\left(s\right)=y\left(s\right)\right.\forall s\in\left[t_{0},t\right]\right\} \]
Annahme: $t_{*}<\sup I\cap J$. Dann ist $x\left(t_{*}\right)=y\left(t_{*}\right)$
wegen Stetigkeit. Betrachte die AWA\begin{eqnarray}
z'\left(t\right) & = & f\left(t,z\left(t\right)\right)\label{eq:3.4.1}\\
z\left(t_{*}\right) & = & x\left(t_{*}\right)=y\left(t_{*}\right)\nonumber \end{eqnarray}
 $x$ und $y$ sind Lösungen von \prettyref{eq:3.4.1}, \prettyref{eq:3.4.1}
ist eindeutig lösbar in $\left[t_{*}-\delta,t_{*}+\delta\right]$.
Dann ist $x\left(t\right)=y\left(t\right)$ $\forall t\in\left[t_{*}-\delta,t_{*}+\delta\right]$.
Widerspruch zur Definition von $t_{*}$.
\end{proof}
\begin{defn}
~
\begin{enumerate}
\item Seien $x:I\rightarrow\mathbb{R}^{n}$ und $y:J\rightarrow\mathbb{R}^{n}$
zwei Lösungen der AWA mit $I\subsetneq J$. Dann heißt $y$ \underbar{Fortsetzung\index{Fortsetzung}}
von $x$.
\medskip{}
\item Eine Lösung der AWA, die eine (bzw. keine) Fortsetzung besitzt, heißt
\underbar{fortsetzbar\index{fortsetzbar}} (bzw. nicht fortsetzbar
oder \underbar{maximal}\index{maximal}).
\medskip{}
\item Eine Lösung der AWA mit dem Definitionbereich $\mathbb{R}$ heißt
\underbar{unbeschränkt fortsetzbar}\index{fortsetzbar!unbeschränkt}.
\end{enumerate}
\end{defn}
\begin{example*}
~
\begin{enumerate}
\item $x'\left(t\right)=x\left(t\right)$, $x\left(t_{0}\right)=x_{0}$
$\leadsto$ $x\left(t\right)=x_{0}\cdot e^{t-t_{0}}$, $t\in\mathbb{R}$
\medskip{}
\item $x'\left(t\right)=x^{2}\left(t\right)$, $x\left(t_{0}\right)=x_{0}$
$\leadsto$ $x\left(t\right)=\frac{1}{\frac{1}{x_{0}}+t_{0}-t}$,
$t<\frac{1}{x_{0}}+t_{0}$
\end{enumerate}
\end{example*}
\begin{lem}
\label{lem:3.4.2}Der Definitionsbereich einer maximalen Lösung ist
offen.
\end{lem}
\begin{proof}
Sei $x:I\rightarrow\mathbb{R}^{n}$ eine maximale Lösung.

Annahme: $I$ ist nicht offen. $t_{1}:=\max I\in I$. Betrachte\begin{eqnarray}
y'\left(t\right) & = & f\left(t,y\left(t\right)\right)\label{eq:3.4.2}\\
y\left(t_{1}\right) & = & x\left(t_{1}\right)\nonumber \end{eqnarray}
Sei $y:\left[t_{1}-\varepsilon,t_{1}+\varepsilon\right]\rightarrow\mathbb{R}^{n}$
Lösung von \prettyref{eq:3.4.2}. Dann ist\[
z\left(t\right):=\begin{cases}
x\left(t\right) & t\in I\\
y\left(t\right) & t\in\left[t_{1},t_{1}+\varepsilon\right]\end{cases}\]
Fortsetzung von $x$. Widerspruch.

\end{proof}
\begin{lem}
\label{lem:3.4.3}Die Anfangswertaufgabe besitzt \underbar{genau eine
maximale Lösung}.
\end{lem}
\begin{proof}
Eindeutigkeit: Seien $x:I\rightarrow\mathbb{R}^{n}$, $y:J\rightarrow\mathbb{R}^{n}$
zwei maximale Lösungen, $I\neq J$. Dann ist\[
z\left(t\right):=\begin{cases}
x\left(t\right) & t\in I\\
y\left(t\right) & t\in J\end{cases}\]
 eine Fortsetzung von $x$ und von $y$. Widerspruch

Existenz: Sei $M$ die Menge aller Lösungen der AWA. Für $x\in M$
sei $t_{-}\left(x\right)$ bzw. $t_{+}\left(x\right)$ die linke bzw.
rechte Intervallgrenze des Definitionsbereiches von $x$.\[
t_{-}:=\inf_{x\in M}t_{-}\left(x\right)\quad t_{+}:=\sup_{x\in M}t_{+}\left(x\right).\]
Wir definieren eine Lösung $\tilde{x}:\left(t_{-},t_{+}\right)\rightarrow\mathbb{R}^{n}$
der AWA:

Sei $t_{*}\in\left(t_{-},t_{+}\right)$, dann existiert ein $x_{1}\in M$
mit Definitionsbereich $I_{1}\supseteq\left[t_{0},t_{*}+\varepsilon\right]$.
Setze \[
\tilde{x}\left(t\right):=x_{1}\left(t\right)\textrm{ für }t\in I_{1}.\]


Wegen Lemma \ref{lem:3.4.1} ist $\tilde{x}\left(t_{*}\right)$ eindeutig
bestimmt (unabhängig von der Wahl des $x_{1}$).

$\tilde{x}:\left(t_{-},t_{+}\right)\rightarrow\mathbb{R}^{n}$ ist
korrekt definiert und ist Lösung nach Definition. $\tilde{x}$ ist
nicht fortsetzbar nach Definition von $t_{-}$ und $t_{+}$. Also
ist $\tilde{x}$ die maximale Lösung.

\end{proof}
\begin{thm}
[Verhalten nicht unbeschränkt fortsetzbarer Lösungen]\label{thm:3.16}
Sei $U=I\times V$, $I\subseteq\mathbb{R}$, ein offenes Intervall,%
\marginpar{max. Lsg. verläßt jedes Kompaktum nach endl. Zeit%
} $V\subseteq\mathbb{R}^{n}$ offen. $x:\left(t_{-},t_{+}\right)\rightarrow V$
maximale Lösung der AWA, $t_{+}<\sup I$.

Dann gilt:\[
\boxed{\forall K\subset V\textrm{ }\mathrm{abg.,beschr.}\quad\exists\varepsilon>0:\,\forall t\in\left[t_{+}-\varepsilon,t_{+}\right):x\left(t\right)\not\in K}\]


Insbesondere: Wenn $V=\mathbb{R}^{n}$, dann gilt \[
{\displaystyle \lim_{t\nearrow t_{+}}}\left\Vert x\left(t\right)\right\Vert =\infty.\]


\end{thm}
\begin{proof}
Annahme: $\exists K\subset V$ abg., beschr.: $\forall\varepsilon>0$
$\exists t_{\varepsilon}\in\left[t_{+}-\varepsilon,t_{+}\right)$:
$x\left(t\right)\in K$.

Wir setzen $\varepsilon=\frac{1}{j}$, $j\in\mathbb{N}$, und erhalten
eine Folge $t_{j}\nearrow t_{+}$ mit $x\left(t_{j}\right)\in K$.

Nach dem Satz von Bolzano-Weierstraß ex. eine Teilfolge, so daß $x\left(t_{j_{k}}\right)\xrightarrow{k\rightarrow\infty}x_{+}\in K$.

Wir betrachten die AWA:\begin{eqnarray}
y'\left(t\right) & = & f\left(t,y\left(t\right)\right)\label{eq:3.4.4}\\
y\left(t_{j_{k}}\right) & = & x\left(t_{j_{k}}\right)\nonumber \end{eqnarray}
 Der Satz von Picard-Lindelöf besagt: $\exists k_{0}\in\mathbb{N}$,
$\varepsilon>0$, so daß $\forall k\geq k_{0}$ die Lösung von \prettyref{eq:3.4.4}
existiert und eindeutig bestimmt ist in $\left[t_{j_{k}}-\varepsilon,t_{j_{k}}+\varepsilon\right]$.

$t_{j_{k}}+\varepsilon>t_{+}$ für großes $k$. Dann läßt sich die
Lösung $x$ mit der Lösung von \prettyref{eq:3.4.4} über $t_{+}$
hinaus fortsetzen. Widerspruch.

\end{proof}
Strategie, um unbeschränkt fortsetzbare Lösungen zu finden: Kontrolliere
das Wachstum so, daß $x$ nicht in endlicher Zeit gegen Unendlich
streben kann.

\begin{lem}
[Gronwall]\label{lem:Gronwall}\index{Gronwall}Sei $z:\left[a,b\right]\rightarrow\left[0,\infty\right)$
stetig,%
\marginpar{Gronwall%
} $z_{0},L\geq0$, \[
z\left(s\right)\leq z_{0}+L\cdot\int_{a}^{s}z\left(t\right)dt\quad\forall s\in\left[a,b\right]\]
Dann gilt\[
\boxed{z\left(s\right)\leq z_{0}\cdot e^{L\left(s-a\right)}\quad\forall s\in\left[a,b\right]}\]

\end{lem}
\begin{thm}
[Lösungen von linearen DGLen sind unbeschränkt fortsetzbar]\index{fortsetzbar!unbeschränkt!lineare DGL}:
Sei $A:\mathbb{R}\rightarrow M_{n}$, $b:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}^{n}$
stetig. Dann ist jede Lösung von $x'\left(t\right)=A\left(t\right)x\left(t\right)+b\left(t\right)$,
$x\left(t_{0}\right)=x_{0}$ unbeschränkt fortsetzbar.
\end{thm}
\begin{proof}
Sei $x:\left(t_{-},t_{+}\right)\rightarrow\mathbb{R}^{n}$ maximale
Lösung. Annahme: $t_{+}<\infty$.\begin{align*}
x\left(t\right) & =x_{0}+\int_{t_{0}}^{t}\left[A\left(s\right)x\left(s\right)+b\left(s\right)\right]ds\\
\left\Vert x\left(t\right)\right\Vert  & \leq\left\Vert x_{0}\right\Vert +\int_{t_{0}}^{t}\left[\left\Vert A\left(s\right)\right\Vert \left\Vert x\left(s\right)\right\Vert +\left\Vert b\left(s\right)\right\Vert \right]ds\\
 & \leq\left\Vert x_{0}\right\Vert +\underbrace{\max_{t_{0}\leq s\leq t_{+}}\left\Vert A\left(s\right)\right\Vert }_{L}\cdot\int_{t_{0}}^{t}\left\Vert x\left(s\right)\right\Vert ds+\max_{t_{0}\leq s\leq t_{+}}\left\Vert b\left(s\right)\right\Vert \cdot\left(t_{+}-t_{0}\right)\\
\intertext{\textrm{Nach Lemma }\ref{lem:Gronwall}\textrm{ von Gronwall:}}\left\Vert x\left(t\right)\right\Vert  & \leq\underbrace{\left(\left\Vert x_{0}\right\Vert +\max_{t_{0}\leq s\leq t_{+}}\left\Vert b\left(s\right)\right\Vert \left(t_{+}-t_{0}\right)\right)}_{=:C}\cdot e^{L\cdot\left(t-t_{0}\right)}\quad\forall t\in\left[t_{0},t_{+}\right]\\
\leadsto\, x\left(t\right) & \in K\left(0,c\cdot e^{L\cdot\left(t_{+}-t_{0}\right)}\right)\end{align*}
Widerspruch zu Satz \ref{thm:3.16}.
\end{proof}

\subsection{Stetige (bzw. glatte) Abhängigkeit der Lösungen des AWP von den Daten}

~%
\marginpar{14.05.03%
}

\begin{eqnarray}
x'\left(t\right) & = & f\left(t,x\left(t\right),\lambda\right)\label{eq:3.5.1}\\
x\left(t_{0}\right) & = & x_{0}\nonumber \end{eqnarray}
 $f:U\subseteq\mathbb{R}\times\mathbb{R}^{n}\times\mathbb{R}^{m}\rightarrow\mathbb{R}^{n}$
stetig, $U$ offen.\begin{eqnarray*}
 &  & \forall\left(t_{*},x_{*},\lambda_{*}\right)\in U\quad\exists\delta>0,L>0:\\
 &  & \forall\left(t,x_{1},\lambda\right)\in U,\left|t-t_{*}\right|+\left\Vert x_{1}-x_{*}\right\Vert +\left\Vert \lambda-\lambda_{*}\right\Vert <\delta,\\
 &  & \forall\left(t,x_{2},\lambda\right)\in U,\left|t-t_{*}\right|+\left\Vert x_{2}-x_{*}\right\Vert +\left\Vert \lambda-\lambda_{*}\right\Vert <\delta:\\
 &  & \left\Vert f\left(t,x_{1},\lambda\right)-f\left(t,x_{2},\lambda\right)\right\Vert \leq L\cdot\left\Vert x_{1}-x_{2}\right\Vert \end{eqnarray*}
 Maximale Lösung von \prettyref{eq:3.5.1}: \begin{eqnarray*}
x\left(t\right) & = & \hat{x}\left(t,t_{0},x_{0},\lambda\right)\textrm{ für }t\in\left(t_{-}\left(t_{0},x_{0},\lambda\right),t_{+}\left(t_{0},x_{0},\lambda\right)\right),\quad\left(t_{0},x_{0},\lambda\right)\in U\\
D & := & \left\{ \left(t,t_{0},x_{0},\lambda\right)\in\mathbb{R}\times\mathbb{R}\times\mathbb{R}^{n}\times\mathbb{R}^{m}\left|\left(t_{0},x_{0},\lambda\right)\in U,t\in\left(t_{-}\left(t_{0},x_{0},\lambda\right),t_{+}\left(t_{0},x_{0},\lambda\right)\right)\right.\right\} \\
 & = & \left(t_{-}\left(t_{0},x_{0},\lambda\right),t_{+}\left(t_{0},x_{0},\lambda\right)\right)\times U\end{eqnarray*}


\begin{thm}
~
\begin{enumerate}
\item $\hat{x}$ ist stetig.
\medskip{}
\item $D$ ist offen.
\medskip{}
\item Ist $f$ $k$-fach stetig differenzierbar, so ist auch $\hat{x}$
$k$-fach stetig differenzierbar.
\end{enumerate}
\end{thm}
\begin{example*}
$n=1$, $m=0$, $U=\mathbb{R}\times\mathbb{R}$. \begin{eqnarray*}
f\left(t,x\right) & = & \left|x\right|^{\frac{3}{2}}\qquad f\in C^{1},f\not\in C^{2}\\
x'\left(t\right) & = & \left|x\left(t\right)\right|^{\frac{3}{2}},\qquad x\left(t_{0}\right)=x_{0}\\
\hat{x}\left(t,t_{0},x_{0}\right) & = & \begin{cases}
\left(-\frac{t}{2}+\frac{t_{0}}{2}+\frac{1}{\sqrt{x_{0}}}\right)^{-2} & \textrm{für }x_{0}>0,\quad t<t_{0}+\frac{2}{\sqrt{x_{0}}}\\
0 & \textrm{für }x_{0}=0,\quad t\in\mathbb{R}\\
-\left(-\frac{t}{2}+\frac{t_{0}}{2}-\frac{1}{\sqrt{-x_{0}}}\right)^{-2} & \textrm{für }x_{0}<0,\quad t>t_{0}-\frac{2}{\sqrt{x_{0}}}\end{cases}\\
 &  & \hat{x}\in C^{1},\hat{x}\not\in C^{2}.\end{eqnarray*}

\end{example*}
\begin{proof}
[Beweis zu \rm{(1)}]~\begin{eqnarray*}
\left\Vert \hat{x}\left(t,t_{0},x_{0},\lambda\right)-\hat{x}\left(\tilde{t},\tilde{t}_{0},\tilde{x}_{0},\tilde{\lambda}\right)\right\Vert  & \leq & \left\Vert \hat{x}\left(t,t_{0},x_{0},\lambda\right)-\hat{x}\left(\tilde{t},t_{0},x_{0},\lambda\right)\right\Vert \\
 &  & +\left\Vert \hat{x}\left(\tilde{t},t_{0},x_{0},\lambda\right)-\hat{x}\left(\tilde{t},\tilde{t}_{0},x_{0},\lambda\right)\right\Vert \\
 &  & +\left\Vert \hat{x}\left(\tilde{t},\tilde{t}_{0},x_{0},\lambda\right)-\hat{x}\left(\tilde{t},\tilde{t}_{0},\tilde{x}_{0},\lambda\right)\right\Vert \\
 &  & +\left\Vert \hat{x}\left(\tilde{t},\tilde{t}_{0},\tilde{x}_{0},\lambda\right)-\hat{x}\left(\tilde{t},\tilde{t}_{0},\tilde{x}_{0},\tilde{\lambda}\right)\right\Vert \end{eqnarray*}
Jeweils abschätzen:

Mittels $\left\Vert x\left(t\right)-x\left(\tilde{t}\right)\right\Vert \leq\sup_{\vartheta}\left\Vert x'\left(\vartheta\right)\right\Vert \left|t-\tilde{t}\right|$:\[
\left\Vert \hat{x}\left(t,t_{0},x_{0},\lambda\right)-\hat{x}\left(\tilde{t},t_{0},x_{0},\lambda\right)\right\Vert \leq\sup_{\vartheta\in\left[t,\tilde{t}\right]}\left\Vert f\left(\vartheta,\hat{x}\left(\vartheta,t_{0},x_{0},\lambda\right),\lambda\right)\right\Vert \left|\tilde{t}-t\right|\leq M\cdot\left|\tilde{t}-t\right|\xrightarrow{\tilde{t}\rightarrow t}0\]
\begin{align*}
\left\Vert \hat{x}\left(\tilde{t},\tilde{t}_{0},x_{0},\lambda\right)-\hat{x}\left(\tilde{t},\tilde{t_{0}},\tilde{x}_{0},\lambda\right)\right\Vert  & =\left\Vert x_{0}-\tilde{x}_{0}+\int_{\tilde{t}_{0}}^{\tilde{t}}f\left(s,\hat{x}\left(s,\tilde{t}_{0},x_{0},\lambda\right),\lambda\right)-f\left(s,\hat{x}\left(s,\tilde{t}_{0},\tilde{x}_{0},\lambda\right),\lambda\right)ds\right\Vert \\
 & \leq\left\Vert x_{0}-\tilde{x}_{0}\right\Vert +\left|\int_{\tilde{t}_{0}}^{\tilde{t}}\left\Vert f\left(s,\hat{x}\left(s,\tilde{t}_{0},x_{0},\lambda\right),\lambda\right)-f\left(s,\hat{x}\left(s,\tilde{t}_{0},\tilde{x}_{0},\lambda\right),\lambda\right)\right\Vert ds\right|\\
 & \leq\left\Vert x_{0}-\tilde{x}_{0}\right\Vert +L\cdot\left|\int_{\tilde{t}_{0}}^{\tilde{t}}\left\Vert \hat{x}\left(s,\tilde{t}_{0},x_{0},\lambda\right)-\hat{x}\left(s,\tilde{t}_{0},\tilde{x}_{0},\lambda\right)\right\Vert ds\right|\\
\intertext{\textrm{Und mittels Lemma }\ref{lem:Gronwall}\textrm{ von Gronwall:}}\left\Vert \hat{x}\left(\tilde{t},\tilde{t}_{0},x_{0},\lambda\right)-\hat{x}\left(\tilde{t},\tilde{t_{0}},\tilde{x}_{0},\lambda\right)\right\Vert  & \leq\left\Vert x_{0}-\tilde{x}_{0}\right\Vert \cdot e^{L\left|\tilde{t}_{0}-\tilde{t}\right|}\xrightarrow{\tilde{x}_{0}\rightarrow x_{0}}0\end{align*}


Mittels $\hat{x}\left(\tilde{t},\tilde{t}_{0},x_{0},\lambda\right)=\hat{x}\left(\tilde{t},t_{0},\hat{x}\left(t_{0},\tilde{t}_{0},x_{0},\lambda\right),\lambda\right)$
für alle $\tilde{t},t_{0}\in\left(t_{-}\left(\tilde{t}_{0}\right),t_{+}\left(\tilde{t}_{0}\right)\right)$
und Lemma \ref{lem:Gronwall} von Gronwall \begin{align*}
\left\Vert \hat{x}\left(\tilde{t},t_{0},x_{0},\lambda\right)-\hat{x}\left(\tilde{t},\tilde{t}_{0},x_{0},\lambda\right)\right\Vert  & =\left\Vert \hat{x}\left(\tilde{t},t_{0},x_{0},\lambda\right)-\hat{x}\left(\tilde{t},t_{0},\hat{x}\left(t_{0},\tilde{t}_{0},x_{0},\lambda\right),\lambda\right)\right\Vert \\
 & \leq\left\Vert x_{0}-\hat{x}\left(t_{0},\tilde{t}_{0},x_{0},\lambda\right)\right\Vert \cdot e^{L\left|\tilde{t}-t_{0}\right|}\xrightarrow{\tilde{t}_{0}\rightarrow t_{0}}0\\
\left\Vert \hat{x}\left(\tilde{t},\tilde{t}_{0},\tilde{x}_{0},\lambda\right)-\hat{x}\left(\tilde{t},\tilde{t}_{0},\tilde{x}_{0},\tilde{\lambda}\right)\right\Vert  & =\left\Vert \int_{\tilde{t}_{0}}^{\tilde{t}}f\left(s,\hat{x}\left(s,\tilde{t}_{0},\tilde{x}_{0},\lambda\right),\lambda\right)ds-\int_{\tilde{t}_{0}}^{\tilde{t}}f\left(s,\hat{x}\left(s,\tilde{t}_{0},\tilde{x}_{0},\tilde{\lambda}\right),\tilde{\lambda}\right)ds\right\Vert \\
 & \leq\left|\int_{\tilde{t}_{0}}^{\tilde{t}}\left\Vert f\left(s,\hat{x}\left(s,\tilde{t}_{0},\tilde{x}_{0},\lambda\right),\lambda\right)-f\left(s,\hat{x}\left(s,\tilde{t}_{0},\tilde{x}_{0},\tilde{\lambda}\right),\lambda\right)\right\Vert ds\right|\\
 & +\left|\int_{\tilde{t}_{0}}^{\tilde{t}}\left\Vert f\left(s,\hat{x}\left(s,\tilde{t}_{0},\tilde{x}_{0},\tilde{\lambda}\right),\lambda\right)-f\left(s,\hat{x}\left(s,\tilde{t}_{0},\tilde{x}_{0},\tilde{\lambda}\right),\tilde{\lambda}\right)\right\Vert ds\right|\\
 & \leq L\int_{\tilde{t}_{0}}^{\tilde{t}}\left\Vert \hat{x}\left(s,\tilde{t}_{0},\tilde{x}_{0},\lambda\right)-\hat{x}\left(s,\tilde{t}_{0},\tilde{x}_{0},\tilde{\lambda}\right)\right\Vert ds+\varepsilon\\
\intertext{\textrm{Und mittels Lemma }\ref{lem:Gronwall}\textrm{ von Gronwall:}}\left\Vert \hat{x}\left(\tilde{t},\tilde{t}_{0},\tilde{x}_{0},\lambda\right)-\hat{x}\left(\tilde{t},\tilde{t}_{0},\tilde{x}_{0},\tilde{\lambda}\right)\right\Vert  & \leq\varepsilon\cdot e^{L\left|\tilde{t}_{0}-\tilde{t}\right|}\end{align*}


Bemerkungen zu $\left(3\right)$:\[
\left.\begin{array}{rcl}
\partial_{t}\hat{x}\left(t,t_{0},x_{0},\lambda\right) & = & f\left(t,\hat{x}\left(t,t_{0},x_{0},\lambda\right),\lambda\right)\smallskip\\
\hat{x}\left(t_{0},t_{0},x_{0},\lambda\right) & = & x_{0}\end{array}\right\} \]
AWP für eine lineare inhomogene DGL für $\partial_{\lambda}\hat{x}\left(\cdot,t_{0},x_{0},\lambda\right)$:\[
\begin{array}{l}
\left.\begin{array}{rcl}
\partial_{t}\partial_{\lambda}\hat{x}\left(t,t_{0},x_{0},\lambda\right) & = & \partial_{\lambda}f\left(t,\hat{x}\left(t,t_{0},x_{0},\lambda\right),\lambda\right)+\partial_{x}f\left(t,\hat{x}\left(t,t_{0},x_{0},\lambda\right),\lambda\right)\partial_{\lambda}\hat{x}\left(t,t_{0},x_{0},\lambda\right)\smallskip\\
\partial_{\lambda}\hat{x}\left(t_{0},t_{0},x_{0},\lambda\right) & = & 0\end{array}\right\} \end{array}\]
AWP für eine lineare homogene DGL für $\partial_{x_{0}}\hat{x}\left(\cdot,t_{0},x_{0},\lambda\right)$:\[
\left.\begin{array}{rcl}
\partial_{t}\partial_{x_{0}}\hat{x}\left(t,t_{0},x_{0},\lambda\right) & = & \partial_{x}f\left(t,\hat{x}\left(t,t_{0},x_{0},\lambda\right),\lambda\right)\partial_{x_{0}}\hat{x}\left(t,t_{0},x_{0},\lambda\right)\smallskip\\
\partial_{x_{0}}\hat{x}\left(t_{0},t_{0},x_{0},\lambda\right) & = & I\end{array}\right\} \]


Entwicklung nach $\lambda$:\[
\hat{x}\left(t,t_{0},x_{0},\lambda\right)=\sum_{j=0}^{k}\frac{\partial^{j}\hat{x}}{\partial\lambda^{j}}\left(t,t_{0},x_{0},\lambda_{0}\right)\left(\lambda-\lambda_{0}\right)^{j}+o\left(\lambda\right)\]


\end{proof}

\subsection{Vektorfelder, autonome DGL-systeme, Flüsse (dynamische Systeme)}

~%
\marginpar{19.05.03%
}\begin{eqnarray}
x'\left(t\right) & = & f\left(x\left(t\right)\right)\label{eq:3.6.1}\\
x\left(t_{0}\right) & = & x_{0}\nonumber \end{eqnarray}
Sei $f:U\rightarrow\mathbb{R}^{n}$ lokal Lischitzstetig, $U\subseteq\mathbb{R}^{n}$
offen. Sprachregelungen:

\begin{itemize}
\item $f$ heißt \underbar{Vektorfeld\index{Vektorfeld}}%
\marginpar{Vektorfeld%
} zu \prettyref{eq:3.6.1}
\smallskip{}
\item $U$ heißt \underbar{Phasenraum\index{Phasenraum}}%
\marginpar{Phasenraum%
}
\smallskip{}
\item Sei $x:I\rightarrow U$ maximale Lösung von%
\marginpar{Orbit,\\
Trajektorie, Phasenkurve%
} \prettyref{eq:3.6.1}


\medskip{}
\noindent $\left\{ x\left(t\right)\left|t\in I\right.\right\} $ heißt
\underbar{Orbit\index{Orbit}} oder \underbar{Trajektorie\index{Trajektorie}}
oder \underbar{Phasenkurve\index{Phasenkurve}}

\end{itemize}
\begin{rem*}
Jeder Punkt von $U$ liegt auf genau einem Orbit. Die Orbits sind
die Äquivalenzklassen bzgl. der folgenden Äquivalenzrelation auf $U$:\\
$x_{1}\sim x_{2}$ $\Leftrightarrow$ $\exists$ Lösung $x:I\rightarrow U$
von \prettyref{eq:3.6.1} mit $x\left(t_{1}\right)=x_{1}$, $x\left(t_{2}\right)=x_{2}$
für $t_{1},t_{2}\in I$.
\end{rem*}
Sei $\hat{x}\left(t,t_{0},x_{0}\right)$ max. Lsg. von \prettyref{eq:3.6.1}
für $t\in\left(t_{-}\left(t_{0},x_{0}\right),t_{+}\left(t_{0},x_{0}\right)\right)=:I\left(t_{0},x_{0}\right)$.\begin{eqnarray*}
y\left(s\right) & := & \hat{x}\left(t+s,t_{0},x_{0}\right)\\
y'\left(s\right) & = & \partial_{t}\hat{x}\left(t+s,t_{0},x_{0}\right)=f\left(\hat{x}\left(t+s,t_{0},x_{0}\right)\right)=f\left(y\left(s\right)\right)\\
y\left(s_{0}\right) & = & \hat{x}\left(t+s_{0},t_{0},x_{0}\right)\quad\textrm{für }t+s_{0}\in I\left(t_{0},x_{0}\right)\\
\leadsto\,\hat{x}\left(t+s,t_{0},x_{0}\right) & = & \hat{x}\left(s,s_{0},\hat{x}\left(t+s_{0},t_{0},x_{0}\right)\right)\\
t=t_{0}-s_{0}:\,\hat{x}\left(t_{0}-s_{0}+s,t_{0},x_{0}\right) & = & \hat{x}\left(s,s_{0},\hat{x}\left(t_{0},t_{0},x_{0}\right)\right)=\hat{x}\left(s,s_{0},x_{0}\right)\\
s_{0}=0,t=t_{0}:\,\hat{x}\left(t+s,t_{0},x_{0}\right) & = & \hat{x}\left(s,0,\hat{x}\left(t,0,x_{0}\right)\right)\\
\varphi_{t}\left(x_{0}\right) & := & \hat{x}\left(t,0,x_{0}\right)\\
\varphi_{t+s}\left(x_{0}\right) & = & \varphi_{t}\left(\varphi_{s}\left(x_{0}\right)\right)=\varphi_{t}\circ\varphi_{s}\left(x_{0}\right)\\
\varphi_{0} & = & \textrm{id}=\varphi_{-s}\circ\varphi_{s}=\varphi_{s}\circ\varphi_{-s}\\
\leadsto\,\varphi_{-s} & = & \varphi_{s}^{-1}\end{eqnarray*}


\begin{rem*}
Wenn z.B. $f$ global Lipschitz-stetig ist, dann sind alle Lösungen
von \prettyref{eq:3.6.1} unbeschränkt fortsetzbar, und $\varphi_{t}:U\rightarrow U$
ist Homöomorphismus, d.h. $t\in\mathbb{R}\mapsto\varphi_{t}\in\textrm{Hom}\left(U\right)$
ist ein Gruppen-Isomorphismus von $\left(\mathbb{R},t\right)$ auf
die Gruppe der $\textrm{Hom}\left(U\right)$.\\
$\varphi_{t}$ ist eine einparametrische Homöomorphismen-Gruppe.
\end{rem*}
\begin{defn}
Eine stetige Abbildung $\varphi:\mathbb{R}\times U\rightarrow U$
mit%
\marginpar{dynamisches System%
}\[
\varphi\left(t+s,x\right)=\varphi\left(t,\varphi\left(s,x\right)\right)\qquad\varphi\left(0,x\right)=x\]
 für alle $t,s\in\mathbb{R}$, $x\in U$, heißt \underbar{dynamisches
System}.\index{dynamisches System}
\end{defn}
Wenn $\varphi$ differenzierbar ist, dann folgt\begin{eqnarray*}
\partial_{1}\varphi\left(t+s,x\right) & = & \partial_{2}\varphi\left(t,\varphi\left(s,x\right)\right)\cdot\partial_{1}\varphi\left(s,x\right)\\
\partial_{1}\varphi\left(t+s,x\right) & = & \partial_{1}\varphi\left(t,\varphi\left(s,x\right)\right)\\
\textrm{Setze }t=0:\,\partial_{1}\varphi\left(s,x\right) & = & \partial_{1}\varphi\left(0,\varphi\left(s,x\right)\right)=f\left(\varphi\left(s,x\right)\right)\end{eqnarray*}


\underbar{Orbit-Typen}:

\begin{itemize}
\item stationäre Lösungen (singulärer Punkt)\[
x\left(t\right)\equiv x_{0}\quad\forall t\in\mathbb{R}\]

\item periodische Lösungen\[
x\left(t\right)=x\left(t+T\right)\quad\forall t\in\mathbb{R}\]

\item homocline Orbits\index{Orbit!homclin}\[
\lim_{t\rightarrow-\infty}x\left(t\right)=\lim_{t\rightarrow\infty}x\left(t\right)\]

\item heterocline Orbits\index{heteroclin}\[
\lim_{t\rightarrow-\infty}x\left(t\right)\neq\lim_{t\rightarrow\infty}x\left(t\right)\]

\end{itemize}

\subsection{Richtungsfelder, nicht-autonome DGLsysteme, Evolationsoperator}

\begin{eqnarray}
x'\left(t\right) & = & f\left(t,x\left(t\right)\right)\label{eq:3.7.1}\\
x\left(t_{0}\right) & = & x_{0}\label{eq:3.7.2}\end{eqnarray}
$f:U\rightarrow\mathbb{R}^{n}$ lokal lipschitzstetig bzgl. $x$,
glm. bzgl. $t$. $U\subseteq\mathbb{R}\times\mathbb{R}^{n}$ offen.

Sprachregelungen:

\begin{itemize}
\item $f$ heißt%
\marginpar{Richtungsfeld%
} \underbar{Richtungsfeld}\index{Richtungsfeld}
\medskip{}
\item $U$ heißt%
\marginpar{erweiterter Phasenraum%
} \underbar{erweiterter Phasenraum\index{Phasenraum!erweitert}}


\medskip{}
\noindent (Ist \prettyref{eq:3.7.1} autonom, so ist der erweiterte
Phasenraum = $\mathbb{R}\times$Phasenraum)

\medskip{}
\item Ist $x:I\rightarrow\mathbb{R}^{n}$ maximale Lösung von \prettyref{eq:3.7.1},
so heißt $\left\{ \left(t,x\left(t\right)\right)\in U\left|t\in I\right.\right\} $
\underbar{Integralkurve}\index{Integralkurve}%
\marginpar{Integral\-kurve%
}.
\end{itemize}
\begin{rem*}
Durch jeden Punkt des erweiterten Phasenraumes läuft genau eine Integralkurve.
\end{rem*}
Sei $\hat{x}:\left(t_{-}\left(t_{0},x_{0}\right),t_{+}\left(t_{0},x_{0}\right)\right)\rightarrow\mathbb{R}^{n}$
maximale Lösung von \prettyref{eq:3.7.1}, \prettyref{eq:3.7.2}.

\begin{defn}
Eine Abbildung $\hat{x}:\mathbb{R}\times\mathbb{R}\times V\rightarrow V$%
\marginpar{Evolations\-operator%
} mit \begin{eqnarray*}
\hat{x}\left(t,t_{0},x_{0}\right) & = & \hat{x}\left(t,s_{0},\hat{x}\left(s_{0},t_{0},x_{0}\right)\right)\\
\hat{x}\left(t_{0},t_{0},x_{0}\right) & = & x_{0}\end{eqnarray*}
für alle $t,t_{0},s_{0}\in\mathbb{R}$, $x_{0}\in V$ heißt \underbar{Evolationsoperator}\index{Evolationsoperator}.
\end{defn}
\begin{example*}
$U=\mathbb{R}\times\mathbb{R}$, $x'\left(t\right)=-tx\left(t\right)^{2}$,
$x\left(t_{0}\right)=x_{0}$\begin{eqnarray*}
x_{0}=0 & : & x\left(t\right)\equiv0\\
x_{0}<0 & : & x\left(t\right)=\frac{1}{\frac{t^{2}}{2}-\frac{t_{0}^{2}}{2}+\frac{1}{x_{0}}}\end{eqnarray*}

\end{example*}

\newpage
\section{Lineare Differentialgleichungen und Differentialgleichungssysteme}

%
\marginpar{21.05.03%
}\index{Differentialgleichungssystem!linear}\[
\boxed{x'\left(t\right)=A\left(t\right)x\left(t\right)+b\left(t\right)}\]
$A:\mathbb{R}\rightarrow M_{n}$, $b:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}^{n}$
stetig

\[
\boxed{x^{\left(n\right)}\left(t\right)+a_{n-1}\left(t\right)x^{\left(n-1\right)}\left(t\right)+\ldots+a_{0}\left(t\right)x\left(t\right)=b\left(t\right)}\]
 $a_{j},b:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ stetig\index{Differentialgleichung!linear}


\subsection{Lineare homogene Differentialgleichungssysteme}

\index{Differentialgleichungssystem!linear!homogen}\begin{eqnarray}
x'\left(t\right) & = & A\left(t\right)x\left(t\right)\label{eq:4.1.1}\\
x\left(t_{0}\right) & = & x_{0}\label{eq:4.1.2}\end{eqnarray}


$A:\mathbb{R}\rightarrow M_{n}$ stetig

max. Lsg. $\hat{x}\left(t,t_{0},x_{0}\right)$ für $t,t_{0}\in\mathbb{R}$,
$x_{0}\in\mathbb{R}^{n}$

\underbar{Elementare Eigenschaften}:

\begin{enumerate}
\item Die Menge der Lösungen von \prettyref{eq:4.1.1} ist ein Vektorraum\begin{eqnarray*}
x'\left(t\right) & = & A\left(t\right)x\left(t\right)\\
y'\left(t\right) & = & A\left(t\right)y\left(t\right)\\
\leadsto\,\left(\lambda x\left(t\right)+\mu y\left(t\right)\right)' & = & \lambda x'\left(t\right)+\mu y'\left(t\right)\\
 & = & \lambda A\left(t\right)x\left(t\right)+\mu A\left(t\right)y\left(t\right)\\
 & = & A\left(t\right)\left(\lambda x\left(t\right)+\mu y\left(t\right)\right)\end{eqnarray*}

\medskip{}
\item $\hat{x}\left(t,t_{0},\cdot\right):\mathbb{R}^{n}\rightarrow\mathbb{R}^{n}$
ist linear:\[
\begin{array}{lll}
x'\left(t\right)=A\left(t\right)x\left(t\right)\qquad & y'\left(t\right)=A\left(t\right)y\left(t\right)\qquad & z'\left(t\right)=A\left(t\right)z\left(t\right)\smallskip\\
x\left(t_{0}\right)=x_{0} & y\left(t_{0}\right)=y_{0} & z\left(t_{0}\right)=\lambda x_{0}+\mu y_{0}\end{array}\]
 $\lambda x\left(t\right)+\mu y\left(t\right)$ ist Lösung von \prettyref{eq:4.1.1}
und erfüllt die Anfangswertbedingung von $z$.\\
$\leadsto$ $\lambda x\left(t\right)+\mu y\left(t\right)=z\left(t\right)$
$\forall t\in\mathbb{R}$.

\begin{defn}
Sei\[
\boxed{X\left(t,t_{0}\right)x_{0}:=\hat{x}\left(t,t_{0},x_{0}\right)}\]
$X\left(t,t_{0}\right)\in M_{n}$ heißt \underbar{Evolutionsparameter\index{Evolutionsparameter}}
zu \prettyref{eq:4.1.1}, $X\left(t,0\right)$ \underbar{Fundamentalmatrix\index{Fundamentalmatrix}}%
\marginpar{Evolutions\-parameter\\
Fundamental\-matrix%
} zu \prettyref{eq:4.1.1}.\begin{eqnarray*}
x\left(t\right) & = & X\left(t,t_{0}\right)x_{0}\\
X\left(t_{0},t_{0}\right) & = & I\\
X\left(t,t_{1}\right) & = & X\left(t,t_{0}\right)X\left(t_{0},t_{1}\right)\end{eqnarray*}

\end{defn}
\medskip{}
\item Differentialgleichungssystem der Ordnung $n^{2}$ in Normalform:\begin{eqnarray*}
\partial_{t}X\left(t,t_{0}\right) & = & A\left(t\right)\circ X\left(t,t_{0}\right)\\
X\left(t_{0},t_{0}\right) & = & I\end{eqnarray*}
Sei $x_{0}\in\mathbb{R}^{n}$ beliebig.\[
\partial_{t}\hat{x}\left(t,t_{0},x_{0}\right)=\partial_{t}\left[X\left(t,t_{0}\right)x_{0}\right]=\left[\partial_{t}X\left(t,t_{0}\right)\right]x_{0}=A\left(t\right)\hat{x}\left(t,t_{0},x_{0}\right)=A\left(t\right)X\left(t,t_{0}\right)x_{0}\]
\[
\hat{x}\left(t_{0},t_{0},x_{0}\right)=x_{0}=X\left(t_{0},t_{0}\right)x_{0}\]

\medskip{}
\item Der Vektorraum der Lösungen von \prettyref{eq:4.1.1} besitzt die
Dimension $n$. 

\begin{defn}
Funktionen $f_{1},\ldots,f_{n}:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}^{n}$
sind \underbar{linear abhängig}, gdw. $l_{1},\ldots,l_{n}\in\mathbb{R}$,
$l_{1}^{2}+\ldots+l_{n}^{2}>0$, existieren, so daß\[
l_{1}f_{1}\left(t\right)+\ldots+l_{n}f_{n}\left(t\right)=0\quad\forall t\in\mathbb{R}.\]

\end{defn}
\medskip{}
\noindent $\left(\Rightarrow\right)$ $\forall t\in\mathbb{R}$: $f_{1}\left(t\right),\ldots,f_{n}\left(t\right)$
sind linear abhängig (als Vektoren in $\mathbb{R}^{n}$)

\medskip{}
\noindent $\left(\Leftrightarrow\right)$ $\forall t\in\mathbb{R}$:
$\det\left(f_{1}\left(t\right),\ldots,f_{n}\left(t\right)\right)\equiv0$

\medskip{}
\noindent $\exists t\in\mathbb{R}$: $\det\left(f_{1}\left(t\right),\ldots,f_{n}\left(t\right)\right)\neq0$
$\leadsto$ $f_{1},\ldots,f_{n}$ sind linear unabhängig.

\begin{prop*}
\noindent Es existieren $n$ linear unabhängig Lösungen von \prettyref{eq:4.1.1}.
\end{prop*}
\begin{proof}
Wir betrachten $x\left(t,t_{0},e_{j}\right)$, $j=1,\ldots,n$. $e_{1},\ldots,e_{n}\in\mathbb{R}^{n}$
die Standardbasis.\begin{eqnarray*}
0 & = & \lambda_{1}\hat{x}\left(t,t_{0},e_{1}\right)+\ldots+\lambda_{n}\hat{x}\left(t,t_{0},e_{n}\right)\qquad\forall t\in\mathbb{R}\\
 & = & \lambda_{1}X\left(t,t_{0}\right)e_{1}+\ldots+\lambda_{n}X\left(t,t_{0}\right)e_{n}\\
 & = & X\left(t,t_{0}\right)\left(\lambda_{1}e_{1}+\ldots+\lambda_{n}e_{n}\right)\\
t=t_{0}:\quad0 & = & \lambda_{1}e_{1}+\ldots+\lambda_{n}e_{n}\\
\leadsto &  & \lambda_{1}=\ldots=\lambda_{n}=0\end{eqnarray*}

\end{proof}
\begin{prop*}
Beliebige $n+1$ Lösungen von \prettyref{eq:4.1.1} sind linear abhängig:
\end{prop*}
\begin{proof}
Seien $v_{1},\ldots,v_{n+1}\in\mathbb{R}^{n}$ die Anfangswerte der
$n+1$ Lösungen, d.h. die Lösungen sind\[
x_{j}\left(t\right)=X\left(t,t_{0}\right)v_{j}\qquad j=1,\ldots,n+1\]
\[
\lambda_{1}x_{1}\left(t\right)+\ldots+\lambda_{n+1}x_{n+1}\left(t\right)=X\left(t,t_{0}\right)\left(\lambda_{1}v_{1}+\ldots+\lambda_{n+1}v_{n+1}\right)\]
Wählen $\lambda_{1},\ldots,\lambda_{n+1}\in\mathbb{R}$ mit $\lambda_{1}^{2}+\ldots+\lambda_{n}^{2}>0$
und $\lambda_{1}v_{1}+\ldots+\lambda_{n+1}v_{n+1}=0$.
\end{proof}
\end{enumerate}
\begin{defn}
Eine Basis im Vektorraum der Lösungen von \prettyref{eq:4.1.1} heißt
\underbar{Fundamentalsystem\index{Fundamentalsystem}}%
\marginpar{Fundamental\-system%
} von Lösungen von \prettyref{eq:4.1.1}.
\end{defn}
\begin{lem}
Lösungen $x_{1},\ldots,x_{n}$ von \prettyref{eq:4.1.1} sind linear
unabhängig (und folglich ein Fundamental\-system von Lösungen von
\prettyref{eq:4.1.1}), gdw. \[
\det\left[x_{1}\left(t\right),\ldots,x_{n}\left(t\right)\right]\neq0\]
 für ein $t\in\mathbb{R}$ (und folglich alle $t$).
\end{lem}
\begin{proof}
$\left(\Rightarrow\right)$: Seien $x_{1},\ldots,x_{n}$ Lösungen
von \prettyref{eq:4.1.1}, linear unabhängig.\[
x_{j}\left(t\right)=X\left(t,t_{0}\right)x_{j}\left(t_{0}\right)\]
Angenommen, $\det\left[x_{1}\left(t_{1}\right),\ldots,x_{n}\left(t_{1}\right)\right]=0$
für ein $t_{1}\in\mathbb{R}$.

\noindent Wir wählen $t_{0}=t_{1}$. Dann ex. $\lambda_{1},\ldots\lambda_{n}\in\mathbb{R}$
mit $\lambda_{1}^{2}+\ldots+\lambda_{n}^{2}>0$ und $\lambda_{1}x_{1}\left(t_{0}\right)+\ldots+\lambda_{n}x_{n}\left(t_{0}\right)=0$.
\[
\leadsto\,\lambda_{1}x_{1}\left(t\right)+\ldots+\lambda_{n}x_{n}\left(t\right)=X\left(t,t_{0}\right)\underbrace{\left[\lambda_{1}x_{1}\left(t_{0}\right)+\ldots+\lambda_{n}x_{n}\left(t_{0}\right)\right]}_{=0}\equiv0\quad\forall t\in\mathbb{R}\]
Widerspruch.

\end{proof}
$\exists t\in\mathbb{R}$: $\det\left(x_{1}\left(t\right),\ldots,x_{n}\left(t\right)\right)\neq0$
$\Leftrightarrow$ $x_{1},\ldots,x_{n}$ lin. unabh. $\Leftrightarrow$
$\forall t\in\mathbb{R}$: $\det\left(x_{1}\left(t\right),\ldots,x_{n}\left(t\right)\right)\neq0$

$\exists t\in\mathbb{R}$: $\det\left(x_{1}\left(t\right),\ldots,x_{n}\left(t\right)\right)=0$
$\Leftrightarrow$ $x_{1},\ldots,x_{n}$ lin. abh. (weil Lsg.) $\Leftrightarrow$
$\det\left(x_{1}\left(t\right),\ldots,x_{n}\left(t\right)\right)\equiv0$

\begin{thm}
[Liouville]\index{Liouville}~%
\marginpar{26.05.03%
}%
\marginpar{Liouville%
}\[
\boxed{\det\left(X\left(t,t_{0}\right)\right)=e^{\int_{t_{0}}^{t}\mathrm{sp}A\left(s\right)ds}}\]

\end{thm}
\begin{proof}
~\begin{eqnarray*}
\partial_{t}\det X\left(t,t_{0}\right) & = & \partial_{t}\sum_{j_{1},\ldots,j_{n}=1}^{n}\epsilon_{j_{1}\ldots j_{n}}\cdot x_{1,j_{1}}\left(t,t_{0}\right)\cdots x_{n,j_{n}}\left(t,t_{0}\right)\\
 & = & \sum_{j_{1},\ldots,j_{n}=1}^{n}\sum_{k=1}^{n}\epsilon_{j_{1}\ldots j_{n}}\cdot x_{1,j_{1}}\left(t,t_{0}\right)\cdots\partial_{t}x_{k,j_{k}}\left(t,t_{0}\right)\cdots x_{n,j_{n}}\left(t,t_{0}\right)\\
 & = & \sum_{k=1}^{n}\det\left[x_{1}\left(t,t_{0}\right),\ldots,x_{k-1}\left(t,t_{0}\right),\underbrace{\partial_{t}x_{k}\left(t,t_{0}\right)}_{A\left(t\right)x_{k}\left(t,t_{0}\right)},x_{k+1}\left(t,t_{0}\right),\ldots,x_{n}\left(t,t_{0}\right)\right]\\
\left[A\left(t\right)x_{k}\left(t,t_{0}\right)\right]_{t=t_{0}} & = & A\left(t_{0}\right)e_{k}=\left[\begin{array}{c}
a_{1,k}\left(t_{0}\right)\\
\vdots\\
a_{n,k}\left(t_{0}\right)\end{array}\right]\\
\left[\partial_{t}\det X\left(t,t_{0}\right)\right]_{t=t_{0}} & = & \sum_{k=1}^{n}\det\left[\begin{array}{cccccc}
1 & 0 & \cdots & a_{1,k}\left(t_{0}\right) & \cdots & 0\\
0 & 1 &  & a_{2,k}\left(t_{0}\right) &  & 0\\
\cdots & \cdots & \cdots & \vdots &  & \cdots\\
0 & 0 &  & a_{n,k}\left(t_{0}\right) &  & 1\end{array}\right]\\
 & = & \sum_{k=1}^{n}a_{k,k}\left(t_{0}\right)=\textrm{sp}A\left(t_{0}\right)\\
\left[\partial_{t}\det X\left(t,t_{0}\right)\right]_{t=t_{1}} & = & \left[\partial_{t}\det\left(X\left(t,t_{1}\right)X\left(t_{1},t_{0}\right)\right)\right]_{t=t_{1}}\\
 & = & \left\{ \partial_{t}\left[\det X\left(t,t_{1}\right)\cdot\det X\left(t_{1},t_{0}\right)\right]\right\} _{t=t_{1}}\\
 & = & \left\{ \partial_{t}\det X\left(t,t_{1}\right)\cdot\det X\left(t_{1},t_{0}\right)\right\} _{t=t_{1}}\\
 & = & \textrm{sp}A\left(t_{1}\right)\cdot\det X\left(t_{1},t_{0}\right)\end{eqnarray*}
Wir erhalten also das lineare Anfangswertproblem\begin{align*}
\partial_{t}\det X\left(t,t_{0}\right) & =\textrm{sp}A\left(t\right)\det X\left(t,t_{0}\right)\\
\det X\left(t_{0},t_{0}\right) & =1\\
\intertext{\textrm{mit der Lösung}}\det X\left(t,t_{0}\right) & =e^{\int_{t_{0}}^{t}\textrm{sp}A\left(s\right)ds}\end{align*}

\end{proof}

\subsection{Lineare homogene Differentialgleichungen höherer Ordnung}

\index{Differentialgleichung!linear!homogen}\begin{eqnarray}
 & x^{\left(n\right)}\left(t\right)+a_{n-1}\left(t\right)x^{\left(n-1\right)}\left(t\right)+\ldots+a_{0}\left(t\right)x\left(t\right)=0\label{eq:4.2.1}\\
 & x\left(t_{0}\right)=x_{0},x'\left(t_{0}\right)=x_{1},\ldots,x^{\left(n-1\right)}\left(t_{0}\right)=x_{n-1}\label{eq:4.2.2}\end{eqnarray}
$a_{j}:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ stetig.\begin{eqnarray*}
x_{1}\left(t\right) & := & x\left(t\right)\\
 & \vdots\\
x_{n}\left(t\right) & := & x^{\left(n-1\right)}\left(t\right)\\
\leadsto\, x_{1}'\left(t\right) & = & x_{2}\left(t\right)\\
 & \vdots\\
x_{n-1}'\left(t\right) & = & x_{n}\left(t\right)\\
x_{n}'\left(t\right) & = & -a_{0}\left(t\right)x_{1}\left(t\right)-\ldots-a_{n-1}\left(t\right)x_{n}\left(t\right)\\
x_{1}\left(t_{0}\right)=x_{0} & \ldots & x_{n}\left(t_{0}\right)=x_{n-1}\end{eqnarray*}
\[
A\left(t\right)=\left[\begin{array}{ccccc}
0 & 1 & 0 & \cdots & 0\\
\vdots & 0 & 1 & \ddots & \vdots\\
\vdots &  & \ddots & \ddots & 0\\
0 & \cdots & \cdots & 0 & 1\\
-a_{0}\left(t\right) & -a_{1}\left(t\right) & \cdots & \cdots & -a_{n-1}\left(t\right)\end{array}\right]\]


\begin{thm}
~
\end{thm}
\begin{enumerate}
\item Die Menge der Lösungen von \prettyref{eq:4.2.1} ist ein $n$-dim.
Vektorraum.
\medskip{}
\item Lösungen $x_{1},\ldots,x_{n}$ von \prettyref{eq:4.2.1} sind linear
unabhängig, gdw. $\exists t\in\mathbb{R}$ (und folglich $\forall t\in\mathbb{R}$):\[
\boxed{\det\left[\begin{array}{ccc}
x_{1}\left(t\right) & \cdots & x_{n}\left(t\right)\\
\vdots &  & \vdots\\
x_{1}^{\left(n-1\right)}\left(t\right) & \cdots & x_{n}^{\left(n-1\right)}\left(t\right)\end{array}\right]\neq0}\]
(Diese Determinante heißt \underbar{Wronski-Determinante}\index{Wronski-Determinante},%
\marginpar{Wronski-Determinante%
} oder Wronskian)
\end{enumerate}
Funktionen $f_{1},\ldots,f_{n}:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ sind
linear abhängig

$\Leftrightarrow$ $\exists\lambda_{1},\ldots,\lambda_{n}\in\mathbb{R}$
mit $\lambda_{1}^{2}+\ldots+\lambda_{n}^{2}>0$ und $\lambda_{1}f_{1}\left(t\right)+\ldots+\lambda_{n}f_{n}\left(t\right)=0$
$\forall t\in\mathbb{R}$.

$\Leftrightarrow$ $\exists\lambda_{1},\ldots,\lambda_{n}\in\mathbb{R}$
mit $\lambda_{1}^{2}+\ldots+\lambda_{n}^{2}>0$ und $\forall t\in\mathbb{R}$\begin{eqnarray*}
\lambda_{1}f_{1}\left(t\right)+\ldots+\lambda_{n}f_{n}\left(t\right) & = & 0\\
 & \vdots\\
\lambda_{1}f_{1}^{\left(n-1\right)}\left(t\right)+\ldots+\lambda_{n}f_{n}^{\left(n-1\right)}\left(t\right) & = & 0\\
\leadsto\,\det\left[\begin{array}{ccc}
f_{1}\left(t\right) & \cdots & f_{n}\left(t\right)\\
\vdots &  & \vdots\\
f_{1}^{\left(n-1\right)}\left(t\right) & \cdots & f_{n}^{\left(n-1\right)}\left(t\right)\end{array}\right] & = & 0\qquad\forall t\in\mathbb{R}\end{eqnarray*}



\subsection{Lineare homogene autonome Differentialgleichungssysteme}

\index{Differentialgleichungssystem!linear!homogen}\index{Differentialgleichungssystem!autonom}\begin{eqnarray}
x'\left(t\right) & = & Ax\left(t\right)\label{eq:4.3.1}\\
x\left(t_{0}\right) & = & x_{0}\label{eq:4.3.2}\end{eqnarray}
$A\in M_{n}$

$n=1$: $A\in\mathbb{R}$: $x\left(t\right)=e^{At}x_{0}$


\subsubsection{Die Exponentialfunktion für Matrizen}

\begin{defn}
Sei $A\in M_{n}$.\index{Exponentialfunktion}%
\marginpar{$e^{A}$, $A\in M_{n}$%
}\[
\boxed{e^{A}:=\sum_{j=0}^{\infty}\frac{A^{j}}{j!}}\]

\end{defn}
\begin{lem}
Sei $M\subset M_{n}$ eine beschränkte Menge (bzgl. einer Operatornorm
in $M_{n}$, d.h. $\left\Vert AB\right\Vert \leq\left\Vert A\right\Vert \left\Vert B\right\Vert $).
Dann konvergieren\[
\sum_{j=0}^{\infty}\frac{A^{j}}{j!}\quad\textrm{und}\quad\sum_{j=0}^{\infty}\frac{\left\Vert A\right\Vert ^{j}}{j!}\]
 gleichmäßig bzgl. $A\in M$.
\end{lem}
\begin{proof}
~\[
\left\Vert \sum_{j=l}^{m}\frac{A^{j}}{j!}\right\Vert \leq\sum_{j=l}^{m}\frac{\left\Vert A\right\Vert ^{j}}{j!}\leq\varepsilon\]
wenn $l\geq l_{0}\left(\varepsilon\right)$ glm. bzgl. $A\in M$.
\end{proof}
\begin{conclusion*}
~\[
\sum_{j=0}^{m}\frac{A^{j}}{j!}\xrightarrow{m\rightarrow\infty}e^{A}\quad\textrm{glm. bzgl. }A\in M\qquad\textrm{und}\quad\left\Vert \sum_{j=0}^{\infty}\frac{A^{j}}{j!}\right\Vert =\left\Vert e^{A}\right\Vert \leq e^{\left\Vert A\right\Vert }\]

\end{conclusion*}
\begin{lem}
~
\begin{enumerate}
\item $\det B\neq0$ $\leadsto$ $e^{B^{-1}AB}=B^{-1}e^{A}B$
\medskip{}
\item $AB=BA$ $\leadsto$ $e^{A+B}=e^{A}\cdot e^{B}$
\medskip{}
\item $\left(e^{A}\right)^{-1}=e^{-A}$
\end{enumerate}
\end{lem}
\begin{proof}
~%
\marginpar{28.05.03%
}\begin{eqnarray*}
B^{-1}\sum_{j=0}^{\infty}\frac{A^{j}}{j!}B & = & \sum_{j=0}^{\infty}B^{-1}\frac{A^{j}}{j!}B=\sum_{j=0}^{\infty}\frac{1}{j!}\left(B^{-1}AB\cdot B^{-1}AB\cdots B^{-1}AB\right)\\
 & = & \sum_{j=0}^{\infty}\frac{\left(B^{-1}AB\right)^{j}}{j!}\\
 & = & e^{B^{-1}AB}\end{eqnarray*}
Für $AB=BA$ gilt die binomische Formel $\left(A+B\right)^{j}={\displaystyle \sum_{k=0}^{j}\left({{k\atop j}}\right)A^{k}B^{j-k}}$.\begin{eqnarray*}
e^{A}\cdot e^{B} & = & \sum_{j=0}^{\infty}\frac{A^{j}}{j!}\cdot\sum_{k=0}^{\infty}\frac{B^{k}}{k!}\\
 & = & \sum_{l=0}^{\infty}\sum_{m=0}^{l}\frac{A^{m}}{m!}\cdot\frac{B^{l-m}}{\left(l-m\right)!}=\sum_{l=0}^{\infty}\frac{1}{l!}\sum_{m=0}^{l}l!\frac{A^{m}}{m!}\frac{B^{l-m}}{\left(l-m\right)!}\\
 & = & \sum_{l=0}^{\infty}\frac{1}{l!}\underbrace{\sum_{m=0}^{l}\left({{l\atop m}}\right)A^{m}\cdot B^{l-m}}_{\left(A+B\right)^{l}}\\
 & = & e^{A+B}\end{eqnarray*}

\end{proof}
\begin{example*}
$n=2$. \begin{eqnarray*}
A & = & \left[\begin{array}{cc}
a & 0\\
b & a\end{array}\right]=aI+\left[\begin{array}{cc}
0 & 0\\
b & 0\end{array}\right]\\
e^{A} & = & e^{aI}\cdot\sum_{j=0}^{\infty}\frac{1}{j!}\left[\begin{array}{cc}
0 & 0\\
b & 0\end{array}\right]^{j}=\left[\begin{array}{cc}
e^{a} & 0\\
0 & e^{a}\end{array}\right]\cdot\left(I+\left[\begin{array}{cc}
0 & 0\\
b & 0\end{array}\right]\right)=\left[\begin{array}{cc}
e^{a} & 0\\
0 & e^{a}\end{array}\right]\cdot\left[\begin{array}{cc}
1 & 0\\
b & 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}
e^{a} & 0\\
be^{a} & e^{a}\end{array}\right]\end{eqnarray*}

\end{example*}
%

\begin{example*}
$n=2$. \begin{eqnarray*}
A & = & \left[\begin{array}{cc}
a & -b\\
b & a\end{array}\right]=aI+\left[\begin{array}{cc}
0 & -b\\
b & 0\end{array}\right]\\
e^{A} & = & e^{aI}\cdot\sum_{j=0}^{\infty}\frac{1}{j!}\left[\begin{array}{cc}
0 & -b\\
b & 0\end{array}\right]^{j}=\left[\begin{array}{cc}
e^{a} & 0\\
0 & e^{a}\end{array}\right]\cdot\left(I+\left[\begin{array}{cc}
0 & -b\\
b & 0\end{array}\right]-\frac{1}{2!}b^{2}I-\frac{1}{3!}b^{2}\left[\begin{array}{cc}
0 & -b\\
b & 0\end{array}\right]+\frac{1}{4!}b^{4}I+\ldots\right)\\
 & = & \left[\begin{array}{cc}
e^{a} & 0\\
0 & e^{a}\end{array}\right]\cdot\left[\begin{array}{cc}
1-\frac{1}{2!}b^{2}+\frac{1}{4!}-\ldots & -b+\frac{1}{3!}b^{3}-\ldots\\
b-\frac{1}{3!}b^{3}+\ldots & 1-\frac{1}{2!}b^{2}+\frac{1}{4!}b^{4}-\ldots\end{array}\right]\\
 & = & \left[\begin{array}{cc}
e^{a} & 0\\
0 & e^{a}\end{array}\right]\cdot\left[\begin{array}{cc}
\cos b & -\sin b\\
\sin b & \cos b\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}
e^{a}\cos b & -e^{a}\sin b\\
e^{a}\sin b & e^{a}\cos b\end{array}\right]\end{eqnarray*}

\end{example*}
\begin{lem}
~\[
\boxed{\frac{d}{dt}e^{At}=Ae^{At}=e^{At}A}\]

\end{lem}
\begin{proof}
~\begin{eqnarray*}
\frac{d}{dt}e^{At} & = & \frac{d}{dt}\sum_{j=0}^{\infty}\frac{\left(At\right)^{j}}{j!}=\sum_{j=0}^{\infty}\frac{d}{dt}\frac{A^{j}t^{j}}{j!}=\sum_{j=0}^{\infty}\frac{jt^{j-1}A^{j}}{j!}\\
 & = & \sum_{j=1}^{\infty}\frac{t^{j-1}}{\left(j-1\right)!}A^{j}=A\sum_{j=1}^{\infty}\frac{\left(At\right)^{j-1}}{\left(j-1\right)!}=A\sum_{k=0}^{\infty}\frac{\left(At\right)^{k}}{k!}\\
 & = & Ae^{At}\end{eqnarray*}

\end{proof}

\subsubsection{Der Fall $n=2$}

~%
\marginpar{28.05.03%
}

\begin{eqnarray*}
x_{1}'\left(t\right) & = & ax_{1}\left(t\right)+bx_{2}\left(t\right)\\
x_{2}'\left(t\right) & = & cx_{1}\left(t\right)+dx_{2}\left(t\right)\end{eqnarray*}
\begin{eqnarray*}
A & = & \left[\begin{array}{cc}
a & b\\
c & d\end{array}\right]\\
\det\left(A-\lambda\textrm{Id}\right) & = & \lambda^{2}-\underbrace{\left(a+d\right)}_{\textrm{sp}A}\lambda+\underbrace{ad-bc}_{\det A}\\
\lambda_{1,2} & = & \frac{a+d}{2}\pm\sqrt{\left(\frac{a+d}{2}\right)^{2}-ad+bc}=\frac{1}{2}\left[\textrm{sp}A\pm\sqrt{\left(\textrm{sp}A\right)^{2}-4\det A}\right]\end{eqnarray*}


geometrische Vielfachheit $:=\dim\ker\left(A-\lambda I\right)=2-\textrm{rang}\left(A-\lambda I\right)$

Sei $\left(\textrm{sp}A\right)^{2}=4\det A$ $\leadsto$ $\lambda=\frac{1}{2}\textrm{sp}A$:

\begin{eqnarray*}
\textrm{geom. Vielfachheit} & = & \begin{cases}
1 & \textrm{rang}\left[\begin{array}{cc}
a-\frac{1}{2}\left(a+d\right) & b\\
c & a-\frac{1}{2}\left(a+d\right)\end{array}\right]=1\\
2 & \textrm{rang}\left[\begin{array}{cc}
a-\frac{1}{2}\left(a+d\right) & b\\
c & a-\frac{1}{2}\left(a+d\right)\end{array}\right]=0\end{cases}\\
 & = & \begin{cases}
1 & \textrm{sonst (unter der gegebenen Vorauss. }\left(\textrm{sp}A\right)^{2}=4\det A\textrm{)}\\
2 & \textrm{wenn }b=c=\frac{1}{2}\left(a-d\right)=0,\textrm{ d.h. }b=c=0,\, a=d\end{cases}\end{eqnarray*}


Sei die algebraische Vielfachheit = geometrischer Vielfachheit $=2$,
also $A=\left[\begin{array}{cc}
a & 0\\
0 & a\end{array}\right]$

Dann ist jeder Vektor $\neq0$ in $\mathbb{R}^{2}$ Eigenvektor zu
$\lambda=a$.

$\leadsto$ $e^{At}v=\left[\begin{array}{cc}
e^{at} & 0\\
0 & e^{at}\end{array}\right]v=e^{\lambda t}v$.

\begin{enumerate}
\item $\textrm{spec}A=\left\{ \lambda,\mu\right\} $, $\lambda<\mu$


\medskip{}
\noindent Sei $Av=\lambda v$, $Aw=\mu w$\begin{eqnarray*}
A & = & B^{-1}\left[\begin{array}{cc}
\lambda & 0\\
0 & \mu\end{array}\right]B\qquad Bv=\left[\begin{array}{c}
1\\
0\end{array}\right],Bw=\left[\begin{array}{c}
0\\
1\end{array}\right]\\
e^{tA} & = & B^{-1}\left[\begin{array}{cc}
e^{t\lambda} & 0\\
0 & e^{t\mu}\end{array}\right]B\end{eqnarray*}


\medskip{}
\item $\textrm{spec}A=\left\{ \alpha+i\beta,\alpha-i\beta\right\} $, $\beta\neq0$.
$v,w\in\mathbb{R}^{2}$:\begin{eqnarray*}
A\left(v+iw\right) & = & \left(\alpha+i\beta\right)\left(v+iw\right)\\
A\left(v-iw\right) & = & \left(\alpha-i\beta\right)\left(v-iw\right)\\
\leadsto\, Av & = & \alpha v-\beta w\\
Aw & = & \beta v+\alpha w\end{eqnarray*}
\begin{align*}
A & =B^{-1}\left[\begin{array}{cc}
\alpha & \beta\\
-\beta & \alpha\end{array}\right]B\qquad Bv=\left[\begin{array}{c}
1\\
0\end{array}\right],Bw=\left[\begin{array}{c}
0\\
1\end{array}\right]\\
Av & =B^{-1}\left[\begin{array}{cc}
\alpha & \beta\\
-\beta & \alpha\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}
1\\
0\end{array}\right]=B^{-1}\left[\begin{array}{c}
\alpha\\
-\beta\end{array}\right]=B^{-1}\left(\alpha\left[\begin{array}{c}
1\\
0\end{array}\right]-\beta\left[\begin{array}{c}
0\\
1\end{array}\right]\right)=\alpha v-\beta w\\
e^{At}v & =B^{-1}e^{\alpha t}\left[\begin{array}{cc}
\cos\beta t & \sin\beta t\\
-\sin\beta t & \cos\beta t\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}
1\\
0\end{array}\right]=e^{\alpha t}B^{-1}\left[\begin{array}{c}
\cos\beta t\\
-\sin\beta t\end{array}\right]=e^{\alpha t}\left(\cos\left(\beta t\right)v-\sin\left(\beta t\right)w\right)\\
e^{At}w & =e^{\alpha t}\left(\sin\left(\beta t\right)v+\cos\left(\beta t\right)w\right)\end{align*}

\medskip{}
\item $\textrm{spec}A=\left\{ \lambda\right\} $


\medskip{}
\noindent geometrische Vielfachheit $=1$: $Av=\lambda v$, $Aw=\lambda w+v$\begin{eqnarray*}
A & = & B^{-1}\left[\begin{array}{cc}
\lambda & 1\\
0 & \lambda\end{array}\right]B\\
e^{At}v & = & B^{-1}e^{\left[\begin{array}{cc}
\lambda t & t\\
0 & \lambda t\end{array}\right]}\left[\begin{array}{c}
1\\
0\end{array}\right]=B^{-1}\left[\begin{array}{cc}
e^{\lambda t} & te^{\lambda t}\\
0 & e^{\lambda t}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}
1\\
0\end{array}\right]=B^{-1}\left[\begin{array}{c}
e^{\lambda t}\\
0\end{array}\right]=e^{\lambda t}v\\
e^{At}w & = & B^{-1}\left[\begin{array}{cc}
e^{\lambda t} & te^{\lambda t}\\
0 & e^{\lambda t}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}
1\\
0\end{array}\right]=B^{-1}\left[\begin{array}{c}
te^{\lambda t}\\
e^{\lambda t}\end{array}\right]=e^{\lambda t}\left(tv+w\right)\end{eqnarray*}


\medskip{}
\noindent geometrische Vielfachheit $=2$: wie Fall $\left(1\right)$
mit $\mu=\lambda$

\end{enumerate}

\subsubsection{Der allgemeine Fall $n\in\mathbb{N}$}

~

Sei $A\in M_{n}\left(\mathbb{C}\right)$.

$\textrm{spec}\left(A\right)=\left\{ \lambda_{1},\ldots,\lambda_{m}\right\} $
mit $\lambda_{j}\neq\lambda_{k}$ für $j\neq k$, $1\leq m\leq n$.\[
\det\left(A-\lambda I\right)=\left(-1\right)^{n}\left(\lambda-\lambda_{1}\right)^{a_{1}}\left(\lambda-\lambda_{2}\right)^{a_{2}}\cdots\left(\lambda-\lambda_{m}\right)^{a_{m}},\quad1\leq a_{m}\leq n\]
$a_{j}:=$algebraische Vielfachheit von $\lambda_{j}$, $a_{1}+\ldots+a_{m}=n$

$g_{j}:=$geometrische Vielfachheit von $\lambda_{j}$; $g_{j}=\dim\ker\left(A-\lambda_{j}I\right)$

In $\mathbb{C}^{n}$ existiert eine Basis \begin{equation}
\boxed{\left\{ \mathfrak{n}_{j,k,l}\right\} _{j=1,\ldots,m;k=1,\ldots,g_{j};l=1,\ldots,b_{jk}}}\qquad\label{eq:4.3.3.1}\end{equation}
mit\begin{eqnarray*}
b_{j1}+\ldots+b_{jg_{j}} & = & a_{j}\\
A\mathfrak{n}_{jk1} & = & \lambda_{j}\mathfrak{n}_{jk1}\\
A\mathfrak{n}_{jkl} & = & \lambda_{j}\mathfrak{n}_{jkl}+\mathfrak{n}_{jk,l-1}\quad l\geq2\end{eqnarray*}
 $\mathfrak{n}_{j11},\ldots,\mathfrak{n}_{jg_{j}1}$ ist eine Basis
von $\ker\left(A-\lambda_{j}I\right)$

Die Matrixdarstellung von $A$ in der Basis \prettyref{eq:4.3.3.1}
ist ($g_{1}+\ldots+g_{m}$ Kästchen) $BAB^{-1}=$\[
\left[\begin{array}{cccc}
\left.\left[\begin{array}{cccc}
\lambda_{1} & 1\\
 & \ddots & \ddots\\
 &  & \ddots & 1\\
 &  &  & \lambda_{1}\end{array}\right]\right\} b_{11}\\
 & \left.\left[\begin{array}{cccc}
\lambda_{1} & 1\\
 & \ddots & \ddots\\
 &  & \ddots & 1\\
 &  &  & \lambda_{1}\end{array}\right]\right\} b_{12}\\
 &  & \ddots\\
 &  &  & \left.\left[\begin{array}{cccc}
\lambda_{m} & 1\\
 & \ddots & \ddots\\
 &  & \ddots & 1\\
 &  &  & \lambda_{m}\end{array}\right]\right\} b_{mg_{m}}\end{array}\right]\]


\begin{example*}
$A=\left[\begin{array}{cc}
1 & -1\\
4 & -3\end{array}\right]$\begin{eqnarray*}
\det\left(A-\lambda I\right) & = & \det\left[\begin{array}{cc}
1-\lambda & -1\\
4 & -3-\lambda\end{array}\right]=\left(\lambda+3\right)\left(\lambda-1\right)+4=\lambda^{2}+2\lambda+1=\left(\lambda+1\right)^{2}\stackrel{!}{=}0\\
\textrm{spec}\left(A\right) & = & \left\{ -1\right\} \end{eqnarray*}
 $n=2$, $m=1$, $b=a=2$, \[
g=\dim\ker\left(A+I\right)=2-\textrm{rang}\left[\begin{array}{cc}
2 & -1\\
4 & -2\end{array}\right]=1\]


$\mathfrak{n}_{1}$ Eigenvektor, $\mathfrak{n}_{2}$ beigeordneter
Eigenvektor\begin{eqnarray*}
A-\lambda I=\left[\begin{array}{cc}
2 & -1\\
4 & -2\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}
v_{1}\\
v_{2}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}
2v_{1}-v_{2}\\
4v_{1}-2v_{2}\end{array}\right] & \stackrel{!}{=} & \left[\begin{array}{c}
0\\
0\end{array}\right],\textrm{ z.B. }v_{1}=1,v_{2}=2\\
\left[\begin{array}{cc}
2 & -1\\
4 & -2\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}
w_{1}\\
w_{2}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}
2w_{1}-w_{2}\\
4w_{1}-2w_{2}\end{array}\right] & \stackrel{!}{=} & \left[\begin{array}{c}
v_{1}\\
v_{2}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}
1\\
2\end{array}\right],\textrm{ z.B. }w_{1}=w_{2}=1\end{eqnarray*}
$\mathfrak{n}_{1}=\left[\begin{array}{c}
1\\
2\end{array}\right]$, $\mathfrak{n}_{2}=\left[\begin{array}{c}
1\\
1\end{array}\right]$

Jordanmatrix:\[
\left[\begin{array}{cc}
-1 & 1\\
0 & -1\end{array}\right]\]


\end{example*}
\begin{thm}
Sei%
\marginpar{04.06.03%
} \[
\boxed{\xi=\sum_{j=1}^{m}\sum_{k=1}^{g_{j}}\sum_{l=1}^{b_{jk}}\xi_{jkl}\mathfrak{n}_{jkl}\in\mathbb{C}^{n},\quad\xi_{jkl}\in\mathbb{C}}\]
Dann gilt\[
\boxed{e^{At}\xi=\sum_{j=1}^{m}e^{\lambda_{j}t}\sum_{k=1}^{g_{j}}\sum_{l=1}^{b_{jk}}\xi_{jkl}\sum_{r=0}^{l-1}\frac{t^{r}}{r!}\mathfrak{n}_{jkl-r}}\]

\end{thm}
Substitution $s:=l-r$, $1\leq s\leq b_{j,k}$:\[
e^{At}\xi=\sum_{j=1}^{m}e^{\lambda_{j}t}\sum_{k=1}^{g_{j}}\sum_{s=1}^{b_{jk}}\mathfrak{n}_{jks}\sum_{r=0}^{b_{jk}-s}\frac{t^{r}}{r!}\xi_{jkr+s}\]


\begin{proof}
$N_{j}:=A-\lambda_{j}I$:\begin{eqnarray*}
N_{j}\mathfrak{n}_{jk1} & = & 0\\
N_{j}\mathfrak{n}_{jkl} & = & \mathfrak{n}_{jkl-1}\quad l=2,\ldots,b_{jk}\\
N_{j}^{l}\mathfrak{n}_{jkl} & = & 0\end{eqnarray*}


\begin{eqnarray*}
A & = & N_{j}+\lambda_{j}I\\
\leadsto\, e^{At} & = & e^{\lambda_{j}tI}e^{N_{j}t}=e^{\lambda_{j}t}e^{N_{j}t}=e^{\lambda_{j}t}\sum_{r=0}^{l-1}\frac{\left(N_{j}t\right)^{r}}{r!}\\
\leadsto\, e^{At}\xi & = & \sum_{j=1}^{m}\sum_{k=1}^{g_{j}}\sum_{l=1}^{b_{jk}}\xi_{jkl}e^{At}\mathfrak{n}_{jkl}=\sum_{j=1}^{m}e^{\lambda_{j}t}\sum_{k=1}^{g_{j}}\sum_{l=1}^{b_{jk}}\xi_{jkl}\sum_{r=0}^{l-1}\frac{t^{r}}{r!}\mathfrak{n}_{jkl-r}\end{eqnarray*}

\end{proof}
$A\in M\left(n\times n,\mathbb{R}\right)$: $m_{0}$ komplex konjugierte
Paare von Eigenwerten $\left(2m_{0}\leq m\right)$

$\lambda_{j}=\overline{\lambda_{m_{0}+j}}\not\in\mathbb{R}$, $j=1,\ldots,m_{0}$;
$\lambda_{j}\in\mathbb{R}$, $j=2m_{0}+1,\ldots,m$

$\leadsto$ Basis in \noun{$\mathbb{R}^{n}$}: $\textrm{Re}\mathfrak{n}_{jkl}$,
$\textrm{Im}\mathfrak{n}_{jkl}$, $j=1,\ldots,m_{0}$; $\mathfrak{n}_{jkl}$,
$j=2m_{0}+1,\ldots,m$; $k=1,\ldots,g_{j}$, $l=1,\ldots,b_{jk}$

\begin{thm}
Sei\[
\xi=\sum_{j=1}^{m}\sum_{k=1}^{g_{j}}\sum_{l=1}^{b_{jk}}\xi_{jkl}\mathfrak{n}_{jkl}\in\mathbb{R}^{n},\]
d.h. $\xi_{jkl}=\overline{\xi_{m_{0}+j,k,l}}$ für $j=1,\ldots,m_{0}$.
$\xi_{jkl}\in\mathbb{R}$ für $j=2m_{0}+1,\ldots,m$. Dann gilt:\[
\boxed{\xi=\mathrm{Re}\xi=2\sum_{j=1}^{m_{0}}\sum_{k=1}^{g_{j}}\sum_{l=1}^{b_{jk}}\left(\mathrm{Re}\xi_{jkl}\mathrm{Re}\mathfrak{n}_{jkl}-\mathrm{Im}\xi_{jkl}\mathrm{Im}\mathfrak{n}_{jkl}\right)+\sum_{j=2m_{0}+1}^{m}\sum_{k=1}^{g_{j}}\sum_{l=1}^{b_{jk}}\xi_{jkl}\mathfrak{n}_{jkl}}\]
\[
\boxed{e^{At}\xi=2\sum_{j=1}^{m_{0}}\sum_{k=1}^{g_{j}}\sum_{l=1}^{b_{jk}}\mathrm{Re}\left\{ e^{\lambda_{j}t}\xi_{jkl}\sum_{r=0}^{l-1}\frac{t^{r}}{r!}\mathfrak{n}_{jk,l-r}\right\} +\sum_{j=2m_{0}+1}^{m}e^{\lambda_{j}t}\sum_{k=1}^{g_{j}}\sum_{l=1}^{b_{jk}}\xi_{jkl}\sum_{r=0}^{l-1}\frac{t^{r}}{r!}\mathfrak{n}_{jk,l-r}}\]

\end{thm}
$\lambda_{j}=\overline{\lambda_{m_{0}+j}}$ $\leadsto$ $e^{\lambda_{j}t}=\overline{e^{\lambda_{m_{0}+j}t}}$,
$e^{\lambda_{j}t}=e^{\textrm{Re}\lambda_{j}t}\left(\cos\textrm{Im}\lambda_{j}t+i\sin\textrm{Im}\lambda_{j}t\right)$\begin{eqnarray*}
e^{At}\xi & = & 2\sum_{j=1}^{m_{0}}e^{\textrm{Re}\lambda_{j}t}\sum_{k=1}^{g_{j}}\sum_{l=1}^{b_{jk}}\left\{ \cos\textrm{Im}\lambda_{j}t\left(\textrm{Re}\xi_{jkl}\sum_{r=0}^{l-1}\frac{t^{r}}{r!}\textrm{Re}\mathfrak{n}_{jkl-r}-\textrm{Im}\xi_{jkl}\sum_{r=0}^{l-1}\frac{t^{r}}{r!}\textrm{Im}\mathfrak{n}_{jkl-r}\right)\right.\\
 &  & \left.-\sin\textrm{Im}\lambda_{j}t\left(\textrm{Re}\xi_{jkl}\sum_{r=0}^{l-1}\frac{t^{r}}{r!}\textrm{Im}\mathfrak{n}_{jkl-r}+\textrm{Im}\xi_{jkl}\sum_{r=0}^{l-1}\frac{t^{r}}{r!}\textrm{Re}\mathfrak{n}_{jkl-r}\right)\right\} \\
 &  & +\sum_{j=2m_{0}+1}^{m}e^{\lambda_{j}t}\sum_{k=1}^{g_{j}}\sum_{l=1}^{b_{jk}}\xi_{jkl}\sum_{r=0}^{l-1}\frac{t^{r}}{r!}\mathfrak{n}_{jkl-r}\\
 & = & 2\sum_{j=1}^{m_{0}}e^{\textrm{Re}\lambda_{j}t}\left\{ \cos\textrm{Im}\lambda_{j}t\sum_{k=1}^{g_{j}}\sum_{l=1}^{b_{jk}}\sum_{r=0}^{l-1}\frac{t^{r}}{r!}\left(\textrm{Re}\xi_{jkl}\textrm{Re}\mathfrak{n}_{jkl-r}-\textrm{Im}\xi_{jkl}\textrm{Im}\mathfrak{n}_{jkl-r}\right)\right.\\
 &  & \left.-\sin\textrm{Im}\lambda_{j}t\sum_{k=1}^{g_{j}}\sum_{l=1}^{b_{jk}}\sum_{r=0}^{l-1}\frac{t^{r}}{r!}\left(\textrm{Re}\xi_{jkl}\textrm{Im}\mathfrak{n}_{jkl-r}+\textrm{Im}\xi_{jkl}\textrm{Re}\mathfrak{n}_{jkl-r}\right)\right\} \\
 &  & +\sum_{j=2m_{0}+1}^{m}e^{\lambda_{j}t}\sum_{k=1}^{g_{j}}\sum_{l=1}^{b_{jk}}\xi_{jkl}\sum_{r=0}^{l-1}\frac{t^{r}}{r!}\mathfrak{n}_{jkl-r}\end{eqnarray*}


\begin{conclusion*}
Ein Fundamentalsystem von Lösungen von $x'\left(t\right)=Ax\left(t\right)$
ist\begin{eqnarray*}
\boxed{e^{\textrm{Re}\lambda_{j}t}\sum_{r=0}^{l-1}\frac{t^{r}}{r!}\left(\cos\textrm{Im}\lambda_{j}t\textrm{Re}\mathfrak{n}_{jkl-r}-\sin\textrm{Im}\lambda_{j}t\textrm{Im}\mathfrak{n}_{jkl-r}\right)} &  & j=1,\ldots,m_{0}\\
\boxed{e^{\textrm{Re}\lambda_{j}t}\sum_{r=0}^{l-1}\frac{t^{r}}{r!}\left(\cos\textrm{Im}\lambda_{j}t\textrm{Im}\mathfrak{n}_{jkl-r}+\sin\textrm{Im}\lambda_{j}t\textrm{Re}\mathfrak{n}_{jkl-r}\right)} &  & j=1,\ldots,m_{0}\\
\boxed{e^{\lambda_{j}t}\sum_{r=0}^{l-1}\frac{t^{r}}{r!}\mathfrak{n}_{jkl-r}} &  & j=2m_{0}+1,\ldots,m\\
 &  & k=1,\ldots,g_{j};\, l=1,\ldots,b_{jk}\end{eqnarray*}

\end{conclusion*}
Lösungsalgorithmus für die AWA $x'\left(t\right)=Ax\left(t\right)$,
$x\left(0\right)=x_{0}$:

\begin{enumerate}
\item Löse die charakteristische Gleichung zu $A$ $\leadsto$ $\lambda_{1},\ldots,\lambda_{m}$
mit alg. Vielfachheiten $a_{1},\ldots,a_{m}$
\medskip{}
\item Bestimme die geometrische Vielfachheit $g_{j}=\dim\ker\left(A-\lambda_{j}I\right)=n-\textrm{rang}\left(A-\lambda_{j}I\right)$
\medskip{}
\item Bestimmung von Eigenvektoren $\mathfrak{n}_{jk1}$, $k=1,\ldots,g_{j}$
\medskip{}
\item Bestimmung von beigeordneten Eigenvektoren $\mathfrak{n}_{jkl}$,
$l=2,\ldots,b_{jk}$
\medskip{}
\item Einsetzen einer Linearkombination des Fundamentalsystems in die Anfangsbedingung
$\leadsto$ Koeffizienten der Linearkombination
\end{enumerate}
\begin{example*}
~\begin{eqnarray*}
x_{1}'\left(t\right) & = & x_{1}\left(t\right)-x_{2}\left(t\right)\\
x_{2}'\left(t\right) & = & 4x_{1}\left(t\right)-3x_{2}\left(t\right)\\
\textrm{Anfangsbedingung:}\quad x_{1}\left(0\right) & = & 0\\
x_{2}\left(0\right) & = & 1\end{eqnarray*}

\begin{enumerate}
\item $\det\left(\begin{array}{cc}
1-\lambda & -1\\
4 & -3-\lambda\end{array}\right)=\left(\lambda+1\right)^{2}$ $\leadsto$ $\lambda=-1$, $a=2$, $m=1$, $m_{0}=0$
\medskip{}
\item $g=2-\textrm{rang}\left(\begin{array}{cc}
2 & -1\\
4 & -2\end{array}\right)=1$
\medskip{}
\item $\begin{array}{rcl}
2v_{1}-v_{2} & = & 0\\
4v_{1}-2v_{2} & = & 0\end{array}$ $\leadsto$ z.B. $v_{1}=1$, $v_{2}=2$ $\leadsto$ $\mathfrak{n}_{111}=\left(\begin{array}{c}
1\\
2\end{array}\right)$
\medskip{}
\item $\left(\begin{array}{cc}
2 & -1\\
4 & -2\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}
w_{1}\\
w_{2}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}
1\\
2\end{array}\right)$ $\leadsto$ $\begin{array}{rcl}
2w_{1}-w_{2} & = & 1\\
4w_{1}-2w_{2} & = & 2\end{array}$ $\leadsto$ $\mathfrak{n}_{112}=\left(\begin{array}{c}
1\\
1\end{array}\right)$
\medskip{}
\item Fundamentalsystem:


\medskip{}
\noindent $l=1$: $e^{-t}\left(\begin{array}{c}
1\\
2\end{array}\right)$

\medskip{}
\noindent $l=2$: $e^{-t}\left(\left(\begin{array}{c}
1\\
1\end{array}\right)+t\left(\begin{array}{c}
1\\
2\end{array}\right)\right)$

\medskip{}
\noindent Anfangsbedingung:\[
\left[ae^{-t}\left(\begin{array}{c}
1\\
2\end{array}\right)+be^{-t}\left(\left(\begin{array}{c}
1\\
1\end{array}\right)+t\left(\begin{array}{c}
1\\
2\end{array}\right)\right)\right]_{t=0}=a\left(\begin{array}{c}
1\\
2\end{array}\right)+b\left(\begin{array}{c}
1\\
1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}
0\\
1\end{array}\right)\]
$a+b=0$, $2a+b=1$ $\leadsto$ $a=1$, $b=-1$\begin{eqnarray*}
x_{1}\left(t\right) & = & e^{-t}\left(1-1-t\right)=-te^{-t}\\
x_{2}\left(t\right) & = & e^{-t}\left(2-1-2t\right)=e^{-t}\left(1-2t\right)\end{eqnarray*}


\end{enumerate}
\end{example*}
%

\begin{example*}
~\begin{eqnarray*}
x_{1}' & = & x_{1}\\
x_{2}' & = & 2x_{2}-3x_{3}\\
x_{3}' & = & x_{1}+3x_{2}+2x_{3}\\
x\left(0\right) & = & \left(\begin{array}{c}
10\\
1\\
1\end{array}\right)\end{eqnarray*}

\begin{enumerate}
\medskip{}
\item ~\begin{eqnarray*}
\det\left(\begin{array}{ccc}
1-\lambda & 0 & 0\\
0 & 2-\lambda & -3\\
1 & 3 & 2-\lambda\end{array}\right) & = & \left(1-\lambda\right)\det\left(\begin{array}{cc}
2-\lambda & -3\\
3 & 2-\lambda\end{array}\right)\\
 & = & \left(1-\lambda\right)\left(\lambda^{2}-4\lambda+13\right)\end{eqnarray*}
$\lambda_{1,2}=2\pm3i$, $\lambda_{3}=1$


\medskip{}
\noindent also: $n=3$, $m_{0}=1$, $a_{1}=a_{2}=a_{3}=1$

\medskip{}
\item $g_{1}=g_{2}=g_{3}=1$
\medskip{}
\item ~\begin{eqnarray*}
\lambda_{1}=2+3i:\,\left(\begin{array}{ccc}
-1-3i & 0 & 0\\
0 & -3i & -3\\
1 & 3 & -3i\end{array}\right)\mathfrak{n}_{111}=0 & \leadsto & \mathfrak{n}_{111}=\left(\begin{array}{c}
0\\
i\\
1\end{array}\right)\leadsto\mathfrak{n}_{211}=\left(\begin{array}{c}
0\\
-i\\
1\end{array}\right)\\
\lambda_{3}=1:\quad\left(\begin{array}{ccc}
0 & 0 & 0\\
0 & 1 & -3\\
1 & 3 & 1\end{array}\right)\mathfrak{n}_{311}=0 & \leadsto & \mathfrak{n}_{311}=\left(\begin{array}{c}
-10\\
3\\
1\end{array}\right)\end{eqnarray*}

\medskip{}
\item beigeordnete Eigenvektoren existieren nicht ($a_{j}=g_{j}$)
\medskip{}
\item Fundamentalsystem:\[
e^{2t}\left(\cos3t\left(\begin{array}{c}
0\\
0\\
1\end{array}\right)-\sin3t\left(\begin{array}{c}
0\\
1\\
0\end{array}\right)\right),\quad e^{2t}\left(\cos3t\left(\begin{array}{c}
0\\
1\\
0\end{array}\right)-\sin3t\left(\begin{array}{c}
0\\
0\\
1\end{array}\right)\right),\quad e^{t}\left(\begin{array}{c}
-10\\
3\\
1\end{array}\right)\]
Anfangswerte:\begin{eqnarray*}
 &  & \left[ae^{2t}\left(\cos3t\left(\begin{array}{c}
0\\
0\\
1\end{array}\right)-\sin3t\left(\begin{array}{c}
0\\
1\\
0\end{array}\right)\right)+be^{2t}\left(\cos3t\left(\begin{array}{c}
0\\
1\\
0\end{array}\right)-\sin3t\left(\begin{array}{c}
0\\
0\\
1\end{array}\right)\right)+ce^{t}\left(\begin{array}{c}
-10\\
3\\
1\end{array}\right)\right]_{t=0}\\
 &  & =a\left(\begin{array}{c}
0\\
0\\
1\end{array}\right)+b\left(\begin{array}{c}
0\\
1\\
0\end{array}\right)+c\left(\begin{array}{c}
-10\\
3\\
1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}
10\\
1\\
1\end{array}\right)\end{eqnarray*}
$\leadsto$ $c=-1$, $b=4$, $a=2$\begin{eqnarray*}
x_{1}\left(t\right) & = & 10e^{t}\\
x_{2}\left(t\right) & = & -2e^{2t}\sin3t+4e^{2t}\cos3t-3e^{t}\\
x_{3}\left(t\right) & = & 2e^{2t}\cos3t-4e^{2t}\sin3t-e^{t}\end{eqnarray*}
 
\end{enumerate}
\end{example*}

\subsection{Lineare homogene autonome Gleichungen höherer Ordnung}

\index{Differentialgleichung!linear!homogen}\index{Differentialgleichung!autonom}~%
\marginpar{11.06.03%
}\begin{equation}
x^{\left(n\right)}\left(t\right)+a_{n-1}x^{\left(n-1\right)}\left(t\right)+\ldots+a_{0}x\left(t\right)=0\qquad a_{j}\in\mathbb{R}\label{eq:4.4.1}\end{equation}
\[
\left.\begin{array}{rcl}
x_{1}\left(t\right) & := & x\left(t\right)\\
x_{2}\left(t\right) & := & x'\left(t\right)\\
 & \vdots\\
x_{n}\left(t\right) & := & x^{\left(n-1\right)}\left(t\right)\end{array}\right\} \quad\left.\begin{array}{rcl}
x_{1}'\left(t\right) & = & x_{2}\left(t\right)\\
x_{2}'\left(t\right) & = & x_{3}\left(t\right)\\
 & \vdots\\
x_{n}'\left(t\right) & = & -a_{0}x_{1}\left(t\right)-a_{1}x_{2}\left(t\right)-\ldots-a_{n-1}x_{n}\left(t\right)\end{array}\right\} \quad x'\left(t\right)=Ax\left(t\right)\]
\[
\boxed{A=\left(\begin{array}{ccccc}
0 & 1 & 0 & \cdots & 0\\
0 & 0 & 1 &  & \vdots\\
\vdots & \vdots & \ddots & \ddots & 0\\
0 & 0 &  & 0 & 1\\
-a_{0} & -a_{1} & -a_{2} & \cdots & -a_{n-1}\end{array}\right)}\]


\begin{lem}
~
\begin{enumerate}
\item $\det\left(A-\lambda I\right)=\left(-1\right)^{n}\left(a_{0}+a_{1}\lambda+\ldots+a_{n-1}\lambda^{n-1}+\lambda^{n}\right)$
\medskip{}
\item Alle Eigenwerte von $A$ besitzen die geometrische Vielfachheit Eins.
\medskip{}
\item Sei $\left(v_{1},\ldots,v_{n}\right)\in\mathbb{C}^{n}$ ein Eigenvektor
von $A$. Dann gilt $v_{1}\neq0$.
\end{enumerate}
\end{lem}
\begin{proof}
~
\begin{enumerate}
\item ~\begin{eqnarray*}
 &  & \det\left(\begin{array}{ccccc}
-\lambda & 1 & 0 & \cdots & 0\\
0 & -\lambda & 1 &  & \vdots\\
\vdots & \ddots & \ddots & \ddots & 0\\
0 & 0 & 0 & -\lambda & 1\\
-a_{0} & -a_{1} & -a_{2} & \cdots & -a_{n-1}-\lambda\end{array}\right)\\
 & = & \left(-1\right)^{n+1}\left(-a_{0}\right)\det\left(\begin{array}{cccc}
1 & 0 & \cdots & 0\\
0 & 1 & \ddots & \vdots\\
\vdots & \ddots & \ddots & 0\\
0 & \cdots & 0 & 1\end{array}\right)+\left(-1\right)^{n+2}\left(-a_{1}\right)\det\left(\begin{array}{cccc}
-\lambda & 0 & \cdots & 0\\
0 & 1 & \ddots & \vdots\\
\vdots & \ddots & \ddots & 0\\
0 & \cdots & 0 & 1\end{array}\right)+\ldots\\
 &  & +\left(-1\right)^{2n}\left(-a_{n-1}-\lambda\right)\det\left(\begin{array}{ccc}
-\lambda &  & 0\\
 & \ddots\\
0 &  & -\lambda\end{array}\right)\\
 & = & \left(-1\right)^{n}\left\{ a_{0}+a_{1}\lambda+a_{2}\lambda^{2}+\ldots+a_{n-1}\lambda^{n-1}+\lambda^{n}\right\} \end{eqnarray*}

\medskip{}
\item Sei $\lambda$ Eigenwert. Dann ist $\dim\ker\left(A-\lambda I\right)=n-\dim\textrm{Im}\left(A-\lambda I\right)=n-\textrm{rang}\left(A-\lambda I\right)=1$,
gdw. $\textrm{rang}\left(A-\lambda I\right)=n-1$ (sieht man sofort).
\medskip{}
\item Sei $\left(v_{1},\ldots,v_{n}\right)$ Eigenvektor von $A$ zu Eigenwert
$\lambda$, d.h. $Av=\lambda v$, d.h. \begin{eqnarray*}
v_{2} & = & \lambda v_{1}\\
v_{3} & = & \lambda v_{2}\\
 & \vdots\\
v_{n} & = & \lambda v_{n-1}\\
-a_{0}v_{1}-a_{1}v_{2}-\ldots-a_{n-1}v_{n} & = & \lambda v_{n}\end{eqnarray*}
Annahme: $v_{1}=0$ $\leadsto$ $v_{2}=0$ $\leadsto$ $\ldots$ $\leadsto$
$v_{n}=0$. Widerspruch
\end{enumerate}
\end{proof}
\begin{defn}
\index{Gleichung, charakteristisch}Die Gleichung%
\marginpar{cha\-rak\-te\-ris\-ti\-sche Gleichung%
}\[
\boxed{a_{0}+a_{1}\lambda+a_{2}\lambda^{2}+\ldots+a_{n-1}\lambda^{n-1}+\lambda^{n}=0}\]
 heißt \underbar{charakteristische Gleichung} zu \prettyref{eq:4.4.1}.
\end{defn}
\begin{thm}
Die folgenden $n$ Funktionen bilden ein Fundamentalsystem von Lösungen
von \prettyref{eq:4.4.1}:
\begin{itemize}
\item Für reelle Nullstellen $\lambda$ der charakteristischen Gleichung
zu \prettyref{eq:4.4.1} der Vielfachheit $a$:\[
\boxed{t^{k}e^{\lambda t}\qquad k=0,\ldots,a-1}\]

\medskip{}
\item Für komplexe Nullstellen $\alpha+i\beta$, $\beta>0$, der charakteristischen
Gleichung zu \prettyref{eq:4.4.1} der Vielfachheit $a$:\[
\boxed{t^{k}e^{\alpha t}\cos\beta t\qquad t^{k}e^{\alpha t}\sin\beta t\qquad k=0,\ldots,a-1}\]

\end{itemize}
\end{thm}
\begin{proof}
$\textrm{spec}A=\left\{ \lambda_{1},\ldots,\lambda_{m}\right\} $,
$\lambda_{j}\neq\lambda_{k}$ für $j\neq k$

$\lambda_{j}=\overline{\lambda_{m_{0}+j}}\not\in\mathbb{R}$ für $j=1,\ldots,m_{0}$;
$\lambda_{j}\in\mathbb{R}$ für $j=2m_{0}+1,\ldots,m$

Sei $\mathfrak{n}_{j}$ Eigenvektor zu $\lambda_{j}$ mit erster Komponente
$1$.

Die ersten Komponenten des Fundamentalsystems aus Abschnitt 4.3.3
sind:\begin{eqnarray*}
e^{\textrm{Re}\lambda_{j}t}\sum_{r=0}^{l-1}\frac{t^{r}}{r!}\left(\cos\textrm{Im}\lambda_{j}t\cdot\textrm{Re}\mathfrak{n}_{jkl-r}^{1}-\sin\textrm{Im}\lambda_{j}t\cdot\textrm{Im}\mathfrak{n}_{jkl-r}^{1}\right) &  & j=1,\ldots,m_{0},k=1,l=1,\ldots,b_{jk}\\
e^{\textrm{Re}\lambda_{j}t}\sum_{r=0}^{l-1}\frac{t^{r}}{r!}\left(\cos\textrm{Im}\lambda_{j}t\cdot\textrm{Im}\mathfrak{n}_{jkl-r}+\sin\textrm{Im}\lambda_{j}t\cdot\textrm{Re}\mathfrak{n}_{jkl-r}\right) &  & j=1,\ldots,m_{0},k=1,l=1,\ldots,b_{jk}\\
e^{\lambda_{j}t}\sum_{r=0}^{l-1}\frac{t^{r}}{r!}\mathfrak{n}_{jkl-r}^{1} &  & j=2m_{0}+1,\ldots,m,k=1,l=1,\ldots,b_{j,k}\end{eqnarray*}
$1\leq j\leq m_{0}$:\begin{eqnarray*}
l=1 & : & e^{\textrm{Re}\lambda_{j}t}\cos\textrm{Im}\lambda_{j}t\\
 &  & e^{\textrm{Re}\lambda_{j}t}\sin\textrm{Im}\lambda_{j}t\\
l=2 & : & e^{\textrm{Re}\lambda_{j}t}\left(\underbrace{\cos\textrm{Im}\lambda_{j}t\textrm{Re}\mathfrak{n}_{j12}^{1}-\sin\textrm{Im}\lambda_{j}t\textrm{Im}\mathfrak{n}_{j12}^{1}}_{r=0}+\underbrace{t\cos\textrm{Im}\lambda_{j}t}_{r=1}\right)\\
 &  & e^{\textrm{Re}\lambda_{j}t}\left(\underbrace{\cos\textrm{Im}\lambda_{j}t\textrm{Im}\mathfrak{n}_{j12}^{1}+\sin\textrm{Im}\lambda_{j}t\textrm{Re}\mathfrak{n}_{j12}^{1}}_{r=0}+\underbrace{t\sin\textrm{Im}\lambda_{j}t}_{r=1}\right)\\
l=3,\ldots,b_{j1} & : & \textrm{analog}\\
l=b_{j1} & : & e^{\textrm{Re}\lambda_{j}t}\sum_{r=0}^{l-1}\frac{t^{r}}{r!}\left(\cos\textrm{Im}\lambda_{j}t\textrm{Re}\mathfrak{n}_{j1l-r}^{1}-\sin\textrm{Im}\lambda_{j}t\textrm{Im}\mathfrak{n}_{j1l-r}^{1}\right)\end{eqnarray*}
 $2m_{0}+1\leq j\leq m$:\begin{eqnarray*}
l=1 & : & e^{\lambda_{j}t}\\
l=2 & : & e^{\lambda_{j}t}\left(\underbrace{\mathfrak{n}_{j12}^{1}}_{r=0}+\underbrace{t}_{r=1}\right)\end{eqnarray*}


\end{proof}
Lösungsalgorithmus für das AWP\begin{eqnarray}
x^{\left(n\right)}\left(t\right)+a_{n-1}x^{\left(n-1\right)}\left(t\right)+\ldots+a_{0}x\left(t\right)=0 &  & a_{j}\in\mathbb{R}\nonumber \\
x\left(t_{0}\right)=x_{0},\ldots,x^{\left(n-1\right)}\left(t_{0}\right)=x_{n}\label{eq:4.4.2}\end{eqnarray}


\begin{enumerate}
\item Bestimme alle Nullstellen der charakteristischen Gleichung mit ihren
Vielfachheiten.
\medskip{}
\item Einsetzen einer Linearkombination der Funktionen des Fundamentalsystems
in \prettyref{eq:4.4.2}.
\end{enumerate}
\begin{example*}
$n=4$, $m=2$, $m_{0}=1$\begin{eqnarray*}
x^{\left(4\right)}\left(t\right)+2x^{\left(2\right)}\left(t\right)+x\left(t\right) & = & 0\\
x\left(0\right) & = & 1\\
x'\left(0\right)=x''\left(0\right)=x'''\left(0\right) & = & 0\end{eqnarray*}

\begin{enumerate}
\item $\lambda^{4}+2\lambda^{2}+1=0$ $\leadsto$ $\lambda_{1}=i$, $\lambda_{2}=-i$:
$a=2$
\medskip{}
\item Fundamentalsystem: $\alpha=0$, $\beta=1$\begin{eqnarray*}
k=0 & : & \cos t,\sin t\\
k=1 & : & t\cos t,t\sin t\end{eqnarray*}
\begin{eqnarray*}
x\left(t\right) & = & c_{1}\cos t+c_{2}\sin t+c_{3}t\cos t+c_{4}t\sin t\\
x'\left(t\right) & = & -c_{1}\sin t+c_{2}\cos t-c_{3}\cos t-c_{3}t\sin t+c_{4}\sin t+c_{4}t\cos t\\
x''\left(t\right) & = & -c_{1}\cos t-c_{2}\sin t-2c_{3}\sin t-c_{3}t\cos t+2c_{4}\cos t-c_{4}t\sin t\\
x'''\left(t\right) & = & c_{1}\sin t-c_{2}\cos t-3c_{3}\cos t+c_{3}t\sin t-3c_{4}\sin t-c_{4}t\cos t\end{eqnarray*}
Einsetzen:\begin{eqnarray*}
x\left(0\right)=c_{1} & = & 1\\
x'\left(0\right)=c_{2}+c_{3} & = & 0\\
x''\left(0\right)=-c_{1}+2c_{4} & = & 0\\
x'''\left(0\right)=-c_{2}-3c_{3} & = & 0\end{eqnarray*}
$\leadsto$ $c_{1}=1$, $c_{4}=\frac{1}{2}$, $c_{2}=c_{3}=0$
\end{enumerate}
Lösung: \[
x\left(t\right)=\cos t+\frac{t}{2}\sin t\]


\end{example*}
speziell $n=2$: $x''\left(t\right)+ax'\left(t\right)+bx\left(t\right)=0$
\begin{eqnarray*}
\lambda^{2}+a\lambda+b=0 & \leadsto & \lambda=-\frac{a}{2}\pm\sqrt{\frac{a^{2}}{4}-b}\end{eqnarray*}
$a$ heißt Dämpfungsparameter


\subsection{Lineare inhomogene Systeme von Differentialgleichungen}

\index{Differentialgleichungssystem!linear!inhomogen}\begin{eqnarray}
x'\left(t\right) & = & A\left(t\right)x\left(t\right)+b\left(t\right)\label{eq:4.5.1}\\
x\left(t_{0}\right) & = & x_{0}\label{eq:4.5.2}\end{eqnarray}
 $A:\mathbb{R}\rightarrow M\left(n\times n,\mathbb{R}\right)$ stetig,
$b:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}^{n}$ stetig

Die allgemeine Lösung des inhomogenen Systems ($\mathcal{L}\left(A,b\right)$:
affiner Unterraum in $C^{1}\left(\mathbb{R},\mathbb{R}^{n}\right)$)
ist die Summe aus einer partikulären Lösung des inhomogenen Systems
($x_{*}$) und der allgemeinen Lösung des homogenen Systems ($\mathcal{L}\left(A,0\right)$:
Unterraum in $C^{1}\left(\mathbb{R},\mathbb{R}^{n}\right)$).\[
\mathcal{L}\left(A,b\right)=x_{*}+\mathcal{L}\left(A,0\right)\]


\begin{itemize}
\item Wie bestimmt man $\mathcal{L}\left(A,0\right)$ ? Falls $A\left(t\right)$
zeitunabhängig $\Rightarrow$ Kap. 4.3
\medskip{}
\item Wie bestimmt man $x_{*}$?
\end{itemize}
\begin{equation}
x'\left(t\right)=A\left(t\right)x\left(t\right)\label{eq:4.5.3}\end{equation}
Lösung von \prettyref{eq:4.5.3}, \prettyref{eq:4.5.2}: $x\left(t\right)=X\left(t,t_{0}\right)x_{0}$\begin{eqnarray}
\partial_{t}X\left(t,t_{0}\right) & = & A\left(t\right)X\left(t,t_{0}\right)\label{eq:4.5.4}\\
X\left(t_{0},t_{0}\right) & = & I\label{eq:4.5.5}\end{eqnarray}


\begin{thm}
Die Lösung von \prettyref{eq:4.5.1}, \prettyref{eq:4.5.2} ist\[
\boxed{x\left(t\right)=X\left(t,t_{0}\right)x_{0}+\int_{t_{0}}^{t}X\left(t,s\right)b\left(s\right)ds}\]

\end{thm}
\begin{proof}
~\begin{eqnarray*}
\frac{d}{dt}x\left(t\right) & = & \frac{d}{dt}\left[X\left(t,t_{0}\right)x_{0}+\int_{t_{0}}^{t}X\left(t,s\right)b\left(s\right)ds\right]\\
 & = & \underbrace{\partial_{t}X\left(t,t_{0}\right)}_{A\left(t\right)X\left(t,t_{0}\right)}x_{0}+\underbrace{X\left(t,t\right)}_{I}b\left(t\right)+\int_{t_{0}}^{t}\underbrace{\partial_{t}X\left(t,s\right)}_{A\left(t\right)X\left(t,s\right)}b\left(s\right)ds\\
 & = & A\left(t\right)X\left(t,t_{0}\right)x_{0}+b\left(t\right)+\int_{t_{0}}^{t}A\left(t\right)X\left(t,s\right)b\left(s\right)ds\\
 & = & A\left(t\right)\left[X\left(t,t_{0}\right)x_{0}+\int_{t_{0}}^{t}X\left(t,s\right)b\left(s\right)ds\right]+b\left(t\right)\\
 & = & A\left(t\right)x\left(t\right)+b\left(t\right)\\
x\left(t_{0}\right) & = & \left[X\left(t,t_{0}\right)x_{0}+\int_{t_{0}}^{t}X\left(t,s\right)b\left(s\right)ds\right]_{t=t_{0}}=X\left(t_{0},t_{0}\right)x_{0}+0=x_{0}\end{eqnarray*}

\end{proof}
Spezialfälle:

\begin{enumerate}
\item $A\left(t\right)=A$ zeitunabhängig:\begin{eqnarray*}
X\left(t,t_{0}\right) & = & e^{A\left(t-t_{0}\right)}\\
x\left(t\right) & = & e^{A\left(t-t_{0}\right)}x_{0}+\int_{t_{0}}^{t}e^{A\left(t-s\right)}b\left(s\right)ds\end{eqnarray*}

\item $n=1$: \begin{eqnarray*}
X\left(t,t_{0}\right) & = & e^{\int_{t_{0}}^{t}A\left(s\right)ds}\\
\frac{d}{dt}e^{\int_{t_{0}}^{t}A\left(s\right)ds} & = & e^{\int_{t_{0}}^{t}A\left(s\right)ds}A\left(t\right)=A\left(t\right)e^{\int_{t_{0}}^{t}A\left(s\right)ds}\\
\left.e^{\int_{t_{0}}^{t}A\left(s\right)ds}\right|_{t=t_{0}} & = & e^{0}=1=I\\
x\left(t\right) & = & e^{\int_{t_{0}}^{t}A\left(s\right)ds}x_{0}+\int_{t_{0}}^{t}e^{\int_{t}^{s}A\left(\tau\right)d\tau}b\left(s\right)ds\end{eqnarray*}
Vorsicht: Im Fall $n>1$ ist dies eine sinnvolle Formel, aber i.a.
nicht mehr die Lösung von \prettyref{eq:4.5.1}, \prettyref{eq:4.5.2}.
\end{enumerate}
\begin{itemize}
\item $X\left(t,t_{0}\right)=\left[x_{1}\left(t,t_{0}\right),\ldots,x_{n}\left(t,t_{0}\right)\right]$,
$x_{j}\left(t,t_{0}\right)\in\mathbb{R}^{n}$\[
X\left(t,t_{0}\right)e_{j}=\left[\begin{array}{ccc}
x_{11}\left(t,t_{0}\right) & \cdots & x_{1n}\left(t,t_{0}\right)\\
\vdots &  & \vdots\\
x_{n1}\left(t,t_{0}\right) & \cdots & x_{nn}\left(t,t_{0}\right)\end{array}\right]e_{j}=\left[\begin{array}{c}
x_{1j}\left(t,t_{0}\right)\\
\vdots\\
x_{nj}\left(t,t_{0}\right)\end{array}\right]=x_{j}\left(t,t_{0}\right)\]
$\leadsto$ Die $j$-te Spalte von $X\left(t,t_{0}\right)$ ist die
Lösung von \prettyref{eq:4.5.3} mit Anfangsbedingung $x\left(t_{0}\right)=e_{j}$.
\medskip{}
\item Sei $y_{1}\left(t\right),\ldots,y_{n}\left(t\right)$ ein Fundamentalsystem
von \prettyref{eq:4.5.3}\begin{eqnarray*}
Y\left(t\right) & = & \left[y_{1}\left(t\right),\ldots,y_{n}\left(t\right)\right]\\
\leadsto\, Y\left(t\right)Y\left(t_{0}\right)^{-1} & = & X\left(t,t_{0}\right),\textrm{ denn}\\
\frac{d}{dt}\left[Y\left(t\right)Y\left(t_{0}\right)^{-1}\right] & = & Y'\left(t\right)Y\left(t_{0}\right)^{-1}\\
 & = & \left[y_{1}'\left(t\right),\ldots,y_{n}'\left(t\right)\right]Y\left(t_{0}\right)^{-1}\\
 & = & A\left[y_{1}\left(t\right),\ldots,y_{n}\left(t\right)\right]Y\left(t_{0}\right)^{-1}\\
 & = & AY\left(t\right)Y\left(t_{0}\right)^{-1}\\
x\left(t\right) & = & Y\left(t\right)Y\left(t_{0}\right)^{-1}x_{0}+\int_{t_{0}}^{t}Y\left(t\right)Y\left(s\right)^{-1}b\left(s\right)ds\\
 & = & Y\left(t\right)\underbrace{\left[Y\left(t_{0}\right)^{-1}x_{0}+\int_{t_{0}}^{t}Y\left(s\right)^{-1}b\left(s\right)ds\right]}_{=:c\left(t\right)}\\
 & = & Y\left(t\right)c\left(t\right)\\
 & = & c_{1}\left(t\right)y_{1}\left(t\right)+\ldots+c_{n}\left(t\right)y_{n}\left(t\right)\end{eqnarray*}
 Die Lösung der inhomogenen Gleichung ist dargestellt als Linearkombination
von Lösungen der homogenen Gleichung mit zeitabhängigen Koeffizienten.
\end{itemize}
Lösungsalgorithmus:\begin{eqnarray}
x'\left(t\right) & = & A\left(t\right)x\left(t\right)+b\left(t\right)\label{eq:4.5.7}\\
x\left(t_{0}\right) & = & x_{0}\label{eq:4.5.8}\\
x'\left(t\right) & = & A\left(t\right)x\left(t\right)\label{eq:4.5.9}\end{eqnarray}


\begin{enumerate}
\item Bestimme ein Fundamentalsystem $y_{1}\left(t\right),\ldots,y_{n}\left(t\right)$
von Lösungen von \prettyref{eq:4.5.9}
\medskip{}
\item Ansatz: Variation der Konstanten\[
x\left(t\right)=c_{1}\left(t\right)y_{1}\left(t\right)+\ldots+c_{n}\left(t\right)y_{n}\left(t\right)\]
in \prettyref{eq:4.5.7}, \prettyref{eq:4.5.8}:\[
\begin{array}{rclcl}
x'\left(t\right) & = & {\displaystyle \frac{d}{dt}\sum_{j=1}^{n}}c_{j}\left(t\right)y_{j}\left(t\right) & = & {\displaystyle \frac{d}{dt}}Y\left(t\right)c\left(t\right)\smallskip\\
 & = & {\displaystyle \sum_{j=1}^{n}}c_{j}'\left(t\right)y_{j}\left(t\right)+c_{j}\left(t\right)\underbrace{y_{j}'\left(t\right)}_{A\left(t\right)y_{j}\left(t\right)} & = & Y\left(t\right)c'\left(t\right)+\underbrace{A\left(t\right)c\left(t\right)}_{A\left(t\right)Y\left(t\right)}\smallskip\\
 & = & {\displaystyle \sum_{j=1}^{n}}\left(c_{j}'\left(t\right)+c_{j}\left(t\right)A\left(t\right)\right)y_{j}\left(t\right) & = & A\left(t\right)Y\left(t\right)c\left(t\right)+Y\left(t\right)c'\left(t\right)\smallskip\\
 & {\displaystyle \stackrel{!}{=}} & A\left(t\right){\displaystyle \sum_{j=1}^{n}}c_{j}\left(t\right)y_{j}\left(t\right)+b\left(t\right) & = & A\left(t\right)Y\left(t\right)c\left(t\right)+b\left(t\right)\smallskip\\
\leadsto\, b\left(t\right) & = & {\displaystyle \sum_{j=1}^{n}}c_{j}'\left(t\right)y_{j}\left(t\right) & = & Y\left(t\right)c'\left(t\right)\end{array}\]
Für fixiertes $t$ ist dies ein lineares inhomogenes Gleichungssystem
für $c_{1}'\left(t\right),\ldots,c_{n}'\left(t\right)$ mit regulärer
Koeffizientenmatrix $Y\left(t\right)$.\[
x\left(t_{0}\right)=\sum_{j=1}^{n}c_{j}\left(t\right)y_{j}\left(t_{0}\right)=Y\left(t_{0}\right)c\left(t_{0}\right)=x_{0}\]

\medskip{}
\item Bestimme $c_{1}\left(t\right),\ldots,c_{n}\left(t\right)$: Löse das
lineare inhomogene algebraische Gleichungssystem für $c_{1}'\left(t\right),\ldots,c_{n}'\left(t\right)$.


\medskip{}
\noindent Bestimme aus der Anfangsbedingung die Integrationskonstante.

\end{enumerate}
\begin{example*}
$A\left(t\right)=A$ (zeitunabhängig)%
\marginpar{18.06.03%
} $\leadsto$ $X\left(t,t_{0}\right)=e^{A\left(t-t_{0}\right)}$\begin{eqnarray*}
x_{1}'\left(t\right) & = & x_{2}\left(t\right)+b_{1}\left(t\right)\\
x_{2}'\left(t\right) & = & 2x_{1}\left(t\right)+x_{2}\left(t\right)+b_{2}\left(t\right)\\
A & = & \left(\begin{array}{cc}
0 & 1\\
2 & 1\end{array}\right)\\
X\left(t,t_{0}\right) & = & \left(y_{1}\left(t-t_{0}\right),y_{2}\left(t-t_{0}\right)\right)\\
y_{1}'\left(t\right) & = & Ay_{1}\left(t\right)\qquad y_{1}\left(0\right)=\left(\begin{array}{c}
1\\
0\end{array}\right)\\
y_{2}'\left(t\right) & = & Ay_{2}\left(t\right)\qquad y_{2}\left(0\right)=\left(\begin{array}{c}
0\\
1\end{array}\right)\end{eqnarray*}
\[
\det\left(A-\lambda I\right)=\det\left(\begin{array}{cc}
-\lambda & 1\\
2 & 1-\lambda\end{array}\right)=\lambda^{2}-\lambda-2=0\]
$\lambda_{1}=2$, $\lambda_{2}=-1$\begin{eqnarray*}
\lambda_{1}=2:\quad\left(\begin{array}{cc}
-2 & 1\\
2 & -1\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}
v_{1}\\
v_{2}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}
-2v_{1}+v_{2}\\
2v_{1}-v_{2}\end{array}\right)=0 & \leadsto & \textrm{z.B. }v_{1}=1,v_{2}=2\\
\lambda_{2}=-1:\quad\left(\begin{array}{cc}
1 & 1\\
2 & 2\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}
v_{1}\\
v_{2}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}
v_{1}+v_{2}\\
2v_{1}+2v_{2}\end{array}\right)=0 & \leadsto & \textrm{z.B. }v_{1}=1,v_{2}=-1\end{eqnarray*}
\[
y_{1}\left(t\right)=c_{1}e^{2t}\left(\begin{array}{c}
1\\
2\end{array}\right)+c_{2}e^{-t}\left(\begin{array}{c}
1\\
-1\end{array}\right)\]
Anfangsbedingung:\begin{eqnarray*}
c_{1}\left(\begin{array}{c}
1\\
2\end{array}\right)+c_{2}\left(\begin{array}{c}
1\\
-1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}
1\\
0\end{array}\right) & \leadsto & c_{1}=\frac{1}{3},c_{2}=\frac{2}{3}\\
\textrm{für }y_{2}\left(t\right)\textrm{ analog:}\quad c_{1}\left(\begin{array}{c}
1\\
2\end{array}\right)+c_{2}\left(\begin{array}{c}
1\\
-1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}
0\\
1\end{array}\right) & \leadsto & c_{1}=\frac{1}{3},c_{2}=-\frac{1}{3}\end{eqnarray*}
\[
\leadsto\, X\left(t,t_{0}\right)=\left(\begin{array}{cc}
\frac{1}{3}e^{2\left(t-t_{0}\right)}+\frac{2}{3}e^{-\left(t-t_{0}\right)} & \frac{1}{3}e^{2\left(t-t_{0}\right)}-\frac{1}{3}e^{-\left(t-t_{0}\right)}\\
\frac{2}{3}e^{2\left(t-t_{0}\right)}-\frac{2}{3}e^{-\left(t-t_{0}\right)} & \frac{2}{3}e^{2\left(t-t_{0}\right)}+\frac{1}{3}e^{-\left(t-t_{0}\right)}\end{array}\right)\]
Lösung von \prettyref{eq:4.5.7}, \prettyref{eq:4.5.8}:\begin{eqnarray*}
x\left(t\right) & = & \frac{1}{3}\left(\begin{array}{cc}
e^{2\left(t-t_{0}\right)}+2e^{-t+t_{0}} & e^{2\left(t-t_{0}\right)}-e^{-t+t_{0}}\\
2e^{2\left(t-t_{0}\right)}-2e^{-t+t_{0}} & 2e^{2\left(t-t_{0}\right)}+e^{-t+t_{0}}\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}
x_{01}\\
x_{02}\end{array}\right)\\
 &  & +\frac{1}{3}\int_{t_{0}}^{t}\left(\begin{array}{cc}
e^{2\left(t-s\right)}+2e^{-t+s} & e^{2\left(t-s\right)}-e^{-t+s}\\
2e^{2\left(t-s\right)}-2e^{-t+s} & 2e^{2\left(t-s\right)}+e^{-t+s}\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}
b_{1}\left(s\right)\\
b_{2}\left(s\right)\end{array}\right)ds\end{eqnarray*}


Anderer Weg: Ansatz der Variation der Konstanten:\[
y_{1}\left(t\right)=e^{2t}\left(\begin{array}{c}
1\\
2\end{array}\right)\qquad y_{2}\left(t\right)=e^{-t}\left(\begin{array}{c}
1\\
-1\end{array}\right)\]
Fundamentalsystem von Lösungen von \prettyref{eq:4.5.9}.

Ansatz der Lösungen für \prettyref{eq:4.5.7}, \prettyref{eq:4.5.8}:\begin{eqnarray*}
x\left(t\right) & = & c_{1}\left(t\right)e^{2t}\left(\begin{array}{c}
1\\
2\end{array}\right)+c_{2}\left(t\right)e^{-t}\left(\begin{array}{c}
1\\
-1\end{array}\right)\\
\leadsto\left(\begin{array}{c}
b_{1}\left(t\right)\\
b_{2}\left(t\right)\end{array}\right) & = & c_{1}'\left(t\right)e^{2t}\left(\begin{array}{c}
1\\
2\end{array}\right)+c_{2}'\left(t\right)e^{-t}\left(\begin{array}{c}
1\\
-1\end{array}\right)\end{eqnarray*}
also es ist\begin{eqnarray*}
e^{2t}c_{1}'\left(t\right)+e^{-t}c_{2}'\left(t\right) & = & b_{1}\left(t\right)\\
2e^{2t}c_{1}'\left(t\right)-e^{-t}c_{2}'\left(t\right) & = & b_{2}\left(t\right)\\
\leadsto\, c_{1}'\left(t\right) & = & \frac{b_{1}\left(t\right)+b_{2}\left(t\right)}{3e^{2t}}\\
c_{2}'\left(t\right) & = & \frac{2b_{1}\left(t\right)-b_{2}\left(t\right)}{3e^{-t}}\\
x\left(t_{0}\right) & = & c_{1}\left(t_{0}\right)e^{2t_{0}}\left(\begin{array}{c}
1\\
2\end{array}\right)+c_{2}\left(t_{0}\right)e^{-t_{0}}\left(\begin{array}{c}
1\\
-1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}
x_{01}\\
x_{02}\end{array}\right)\\
\leadsto\, c_{1}\left(t\right) & = & c_{1}\left(t_{0}\right)+\int_{t_{0}}^{t}\frac{b_{1}\left(s\right)+b_{2}\left(s\right)}{3e^{2s}}ds\\
c_{2}\left(t\right) & = & c_{2}\left(t_{0}\right)+\int_{t_{0}}^{t}\frac{2b_{1}\left(s\right)-b_{2}\left(s\right)}{3e^{-s}}ds\end{eqnarray*}


\end{example*}
%

\begin{example*}
$A\left(t\right)$ zeitabhängig\begin{eqnarray*}
x_{1}'\left(t\right) & = & \frac{x_{1}\left(t\right)}{t}-x_{2}\left(t\right)+t\\
x_{2}'\left(t\right) & = & \frac{x_{1}\left(t\right)}{t^{2}}+\frac{2x_{2}\left(t\right)}{t}-1\\
A\left(t\right) & = & \left(\begin{array}{cc}
t^{-1} & -1\\
t^{-2} & 2t^{-1}\end{array}\right)\\
b\left(t\right) & = & \left(\begin{array}{c}
t\\
-1\end{array}\right)\end{eqnarray*}
Fundamentalsystem von Lösungen von \prettyref{eq:4.5.9}: $\left(\begin{array}{c}
t^{2}\\
-t\end{array}\right)$, $\left(\begin{array}{c}
t^{2}\ln t\\
-t-t\ln t\end{array}\right)$\begin{eqnarray*}
x_{1}\left(t\right) & = & c_{1}\left(t\right)t^{2}+c_{2}\left(t\right)t^{2}\ln t\\
x_{2}\left(t\right) & = & -c_{1}\left(t\right)t-c_{2}\left(t\right)\left(t+t\ln t\right)\\
\leadsto\, t & = & c_{1}'\left(t\right)t^{2}+c_{2}'\left(t\right)t^{2}\ln t\\
-1 & = & -c_{1}'\left(t\right)t-c_{2}'\left(t\right)t\left(1+\ln t\right)\\
\leadsto\, c_{1}'\left(t\right) & = & \frac{1}{t}\\
c_{2}'\left(t\right) & = & 0\\
\leadsto\, c_{1}\left(t\right) & = & \ln t\\
c_{2}\left(t\right) & = & 1\end{eqnarray*}
Die allgemeine Lösung von \prettyref{eq:4.5.7} = partikuläre Lösung
von \prettyref{eq:4.5.7} + allgemeine Lösung von \prettyref{eq:4.5.9}:\begin{eqnarray*}
x_{1}\left(t\right) & = & t^{2}\ln t+t^{2}\ln t+c_{1}t^{2}+c_{2}t^{2}\ln t\\
x_{2}\left(t\right) & = & -t\ln t-t\left(1+\ln t\right)-c_{1}t-c_{2}t\left(1+\ln t\right)\end{eqnarray*}
$c_{1},c_{2}\in\mathbb{R}$ beliebig.
\end{example*}

\subsection{Lineare inhomogene Differentialgleichungen höherer Ordnung}

\begin{eqnarray}
x^{\left(n\right)}\left(t\right)+a_{n-1}\left(t\right)x^{\left(n-1\right)}\left(t\right)+\ldots+a_{0}\left(t\right)x\left(t\right) & = & b\left(t\right)\label{eq:4.6.1}\\
x\left(t_{0}\right)=x_{0},x'\left(t_{0}\right)=x_{1},\ldots,x^{\left(n-1\right)}\left(t_{0}\right)=x_{n}\label{eq:4.6.2}\\
x^{\left(n\right)}\left(t\right)+a_{n-1}\left(t\right)x^{\left(n-1\right)}\left(t\right)+\ldots+a_{0}\left(t\right)x\left(t\right) & = & 0\label{eq:4.6.3}\end{eqnarray}

\newpage

\begin{thm}
~
\begin{enumerate}
\item Sei $x_{*}$ eine Lösung von \prettyref{eq:4.6.1}, $V$ der Vektorraum
der Lösungen von \prettyref{eq:4.6.3}, dann ist $x_{*}+V$ die Menge
der Lösungen von \prettyref{eq:4.6.1}.
\medskip{}
\item Sei $y_{1}\left(t\right),\ldots,y_{n}\left(t\right)$ Fundamentalsystem
von \prettyref{eq:4.6.3}, dann ist\[
\boxed{x\left(t\right)=\sum_{j=1}^{n}\left(-1\right)^{n+j}y_{j}\left(t\right)\int_{t_{0}}^{t}\frac{W\left(y_{1},\ldots,y_{j-1},y_{j+1},\ldots,y_{n}\right)\left(s\right)}{W\left(y_{1},\ldots,y_{n}\right)\left(s\right)}b\left(s\right)ds}\]
 eine Lösung von \prettyref{eq:4.6.1}.
\end{enumerate}
\end{thm}
Wronski-Determinante\index{Wronski-Determinante}:\[
\boxed{W\left(f_{1},\ldots,f_{k}\right)\left(t\right):=\det\left(\begin{array}{cccc}
f_{1}\left(t\right) & f_{2}\left(t\right) & \cdots & f_{k}\left(t\right)\\
f_{1}'\left(t\right) & f_{2}'\left(t\right) &  & f_{k}'\left(t\right)\\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\
f_{1}^{\left(k-1\right)}\left(t\right) & f_{2}^{\left(k-1\right)}\left(t\right) & \cdots & f_{k}^{\left(k-1\right)}\left(t\right)\end{array}\right)}\]


\begin{proof}
[Beweis von \rm{(2)}]Wir betrachten das zu \prettyref{eq:4.6.1}
gehörige lineare Differentialgleichungssystem 1. Ordnung ($x_{0}:=x$,
$x_{1}:=x'$, $\ldots$, $x_{n-1}:=x^{\left(n-1\right)}$):\begin{eqnarray*}
x_{0}'\left(t\right) & = & x_{1}\left(t\right)\\
 & \vdots\\
x_{n-1}'\left(t\right) & = & b\left(t\right)-a_{n-1}\left(t\right)x_{n-1}-\ldots-a_{0}\left(t\right)x_{0}\left(t\right)\end{eqnarray*}


Dann ist $\left(\begin{array}{c}
y_{1}\\
\vdots\\
y_{1}^{\left(n-1\right)}\end{array}\right)$, $\ldots$, $\left(\begin{array}{c}
y_{n}\\
\vdots\\
y_{n}^{\left(n-1\right)}\end{array}\right)$ ein Fundamentalsystem des entsprechenden homogenen linearen Differentialgleichungssytem.

Ansatz: Variation der Konstanten:\[
x\left(t\right)=c_{1}\left(t\right)y_{1}\left(t\right)+\ldots+c_{n}\left(t\right)y_{n}\left(t\right)\]
 ergibt analog zum letzten Abschnitt das lineare inhomogene algebraische
Gleichungssystem\[
\left(\begin{array}{c}
0\\
\vdots\\
0\\
b\left(t\right)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}
y_{1}\left(t\right) & \cdots & y_{n}'\left(t\right)\\
\vdots & \ddots & \vdots\\
y_{1}^{\left(n-1\right)}\left(t\right) & \cdots & y_{n}^{\left(n-1\right)}\left(t\right)\end{array}\right)\cdot\left(\begin{array}{c}
c_{1}'\left(t\right)\\
\vdots\\
c_{n}'\left(t\right)\end{array}\right)=Y\left(t\right)\cdot c'\left(t\right).\]


Mittels Cramerscher Regel folgt nun\begin{eqnarray*}
c_{j}'\left(t\right) & = & \frac{1}{\det\left(Y\left(t\right)\right)}\cdot\det\left(\begin{array}{ccccccc}
y_{1}\left(t\right) & \cdots & y_{j-1}\left(t\right) & 0 & y_{j+1}\left(t\right) & \cdots & y_{n}\left(t\right)\\
y_{1}'\left(t\right) & \cdots & y_{j-1}'\left(t\right) & 0 & y_{j+1}'\left(t\right) & \cdots & y_{n}'\left(t\right)\\
\vdots &  &  & \vdots\\
y_{1}^{\left(n-1\right)}\left(t\right) & \cdots & y_{j-1}^{\left(n-1\right)}\left(t\right) & b\left(t\right) & y_{j+1}^{\left(n-1\right)}\left(t\right) & \cdots & y_{n}^{\left(n-1\right)}\left(t\right)\end{array}\right)\\
 & = & \left(-1\right)^{n+j}\cdot\frac{W\left(y_{1},\ldots,y_{j-1},y_{j+1},\ldots,y_{n}\right)\left(t\right)}{W\left(y_{1},\ldots,y_{n}\right)\left(t\right)}b\left(t\right)\end{eqnarray*}


\end{proof}
\begin{example*}
$n=2$\begin{eqnarray}
x''\left(t\right)+a_{1}\left(t\right)x'\left(t\right)+a_{0}\left(t\right)x\left(t\right) & = & b\left(t\right)\label{eq:4.6.11}\\
x\left(t_{0}\right)=x_{0}\qquad x'\left(t_{0}\right)=x_{1}\label{eq:4.6.12}\\
x''\left(t\right)+a_{1}\left(t\right)x'\left(t\right)+a_{0}\left(t\right)x\left(t\right) & = & 0\label{eq:4.6.13}\end{eqnarray}


Fundamentalsystem von Lösungen von \prettyref{eq:4.6.13}: $y_{1}\left(t\right)$,
$y_{2}\left(t\right)$\begin{eqnarray*}
W\left(y_{i}\right)\left(t\right) & = & \det\left(y_{i}\left(t\right)\right)=y_{i}\left(t\right)\qquad i=1,2\\
W\left(y_{1},y_{2}\right)\left(t\right) & = & \det\left(\begin{array}{cc}
y_{1}\left(t\right) & y_{2}\left(t\right)\\
y_{1}'\left(t\right) & y_{2}'\left(t\right)\end{array}\right)=y_{1}\left(t\right)y_{2}'\left(t\right)-y_{1}'\left(t\right)y_{2}\left(t\right)\end{eqnarray*}
Eine Lösung von \prettyref{eq:4.6.11}:\[
x\left(t\right)=-y_{1}\left(t\right)\cdot\int_{t_{0}}^{t}\frac{y_{2}\left(s\right)}{y_{1}\left(s\right)y_{2}'\left(s\right)-y_{1}'\left(s\right)y_{2}\left(s\right)}b\left(s\right)ds+y_{2}\left(t\right)\cdot\int_{t_{0}}^{t}\frac{y_{1}\left(s\right)}{y_{1}\left(s\right)y_{2}'\left(s\right)-y_{1}'\left(s\right)y_{2}\left(s\right)}b\left(s\right)ds\]


\end{example*}
%

\begin{example*}
Freier Fall mit Reibung%
\marginpar{23.06.03%
}

$a>0$ Reibungskoeffizient, $b=-g<0$ negative Gravitationskonstante\[
x''\left(t\right)+ax'\left(t\right)=b\]
$\lambda^{2}+a\lambda=0$ $\leadsto$ $\lambda_{1}=0$, $\lambda_{2}=-a$
$\leadsto$ Fundamentalsystem\[
y_{1}\left(t\right)=1\qquad y_{2}\left(t\right)=e^{-at}\]


Allgemeine Lösung von \prettyref{eq:4.6.11}:\begin{eqnarray*}
x\left(t\right) & = & c_{1}+c_{2}e^{-at}-\int_{0}^{t}\frac{e^{-as}}{-ae^{-as}}bds+e^{-at}\int_{0}^{t}\frac{1}{-ae^{-as}}bds\\
 & = & c_{1}+c_{2}e^{-at}+\frac{b}{a}t-e^{-at}\left.\frac{1}{a}\frac{b}{a}e^{as}\right|_{s=0}^{s=t}\\
 & = & c_{1}-\frac{b}{a^{2}}+e^{-at}\left(c_{2}+\frac{b}{a^{2}}\right)+\frac{b}{a}t\\
x'\left(t\right) & = & -ae^{-at}\left(c_{2}+\frac{b}{a^{2}}\right)+\frac{b}{a}\\
 & = & -e^{-at}\left(ac_{2}+\frac{b}{a}\right)+\frac{b}{a}\\
\leadsto\,\lim_{t\rightarrow\infty}x'\left(t\right) & = & \frac{b}{a}\end{eqnarray*}


Anfangswerte \prettyref{eq:4.6.12}:\begin{eqnarray*}
x_{1}=x'\left(0\right) & = & -\left(ac_{2}+\frac{b}{a}\right)+\frac{b}{a}=-ac_{2}\quad\leadsto c_{2}=-\frac{x_{1}}{a}\\
x_{0}=x\left(0\right) & = & c_{1}-\frac{b}{a^{2}}+c_{2}+\frac{b}{a^{2}}=c_{1}-\frac{x_{1}}{a}\quad\leadsto c_{1}=x_{0}+\frac{x_{1}}{a}\\
\leadsto\, x\left(t\right) & = & x_{0}+\frac{x_{1}}{a}-\frac{b}{a^{2}}+\left(\frac{b}{a^{2}}-\frac{x_{1}}{a}\right)e^{-at}+\frac{b}{a}t\\
x'\left(t\right) & = & -e^{-at}\left(-x_{1}+\frac{b}{a}\right)+\frac{b}{a}\\
x'\left(t\right)\stackrel{!}{=}0 & \leadsto & t_{*}=\frac{1}{a}\ln\frac{b-ax_{1}}{b}\end{eqnarray*}


\end{example*}
%~

\begin{example*}
$x''\left(t\right)+x\left(t\right)=b\left(t\right)$

Fundamentalsystem der homogenen Gleichung: $y_{1}\left(t\right)=\cos t$,
$y_{2}\left(t\right)=\sin t$

Eine Lösung von \prettyref{eq:4.6.11}:\begin{eqnarray*}
x\left(t\right) & = & -\cos t\cdot\int_{0}^{t}\frac{\sin s}{\cos^{2}s+\sin^{2}s}b\left(s\right)ds+\sin t\cdot\int_{0}^{t}\frac{\cos s}{1}b\left(s\right)ds\\
 & = & -\cos t\cdot\int_{0}^{t}\sin s\cdot b\left(s\right)ds+\sin t\cdot\int_{0}^{t}\cos s\cdot b\left(s\right)ds\end{eqnarray*}
 Sei $b\left(t\right)=\cos\omega t$.

Allgemeine Lösung von \prettyref{eq:4.6.11}:\begin{eqnarray*}
x\left(t\right) & = & \cos\left(t\right)\left(c_{1}-\int_{0}^{t}\sin s\cdot\cos\omega sds\right)+\sin t\left(c_{2}+\int_{0}^{t}\cos s\cdot\cos\omega sds\right)\\
 & = & \cos\left(t\right)\left(c_{1}+\frac{1}{2}\int_{0}^{t}\sin\left(\left(1+\omega\right)s\right)+\sin\left(\left(1-\omega\right)s\right)ds\right)\\
 &  & +\sin\left(t\right)\left(c_{2}+\frac{1}{2}\int_{0}^{t}\cos\left(\left(1+\omega\right)s\right)+\cos\left(\left(1-\omega\right)s\right)ds\right)\end{eqnarray*}
$\omega=1$: \begin{eqnarray*}
x\left(t\right) & = & \cos\left(t\right)\left(c_{1}-\left.\frac{1}{4}\cos2s\right|_{s=0}^{s=t}\right)+\sin\left(t\right)\left(c_{2}+\left.\frac{1}{4}\sin2s\right|_{s=0}^{s=t}+\frac{t}{2}\right)\\
 & = & \cos\left(t\right)\left(c_{1}-\frac{1}{4}\cos\left(2t\right)+\frac{1}{4}\right)+\sin\left(t\right)\left(c_{2}+\frac{1}{4}\sin\left(2t\right)+\frac{t}{2}\right)\\
x\left(\frac{2k+1}{2}\pi\right) & = & 0+\left(-1\right)^{k}\left(c_{2}-\frac{1}{4}+\frac{2k+1}{4}\right)\\
\leadsto\,\left|x\left(\frac{2k+1}{2}\pi\right)\right| & \xrightarrow{k\rightarrow\infty} & \infty\quad\leadsto\quad\textrm{Resonanz-Katastrophe}\end{eqnarray*}
 Vorsicht: Bei großen Amplituden $x$ ist die lineare Gleichung meistens
\underbar{kein} gutes Modell, besser ist eine nichtlineare Gleichung

\[
\omega\approx1:\quad\hat{x}\left(\frac{2k+1}{2}\pi,\omega\right)\xrightarrow{\omega\rightarrow1}x\left(\frac{2k+1}{2}\pi,1\right)\approx\infty\qquad\textrm{bei }k\approx\infty.\]


\end{example*}

\newpage
\section{Stabilität von stationären Lösungen}

\begin{eqnarray}
x'\left(t\right) & = & f\left(x\right)\label{eq:5.1}\\
x\left(0\right) & = & x_{0}\label{eq:5.2}\end{eqnarray}
$f:U\rightarrow\mathbb{R}^{n}$ lokal Lipschitz-stetig, $U\subseteq\mathbb{R}^{n}$
offen

maximale Lösung von \prettyref{eq:5.1}/\prettyref{eq:5.2}: $\hat{x}\left(t,x_{0}\right)$
für $t\in\left(t_{-}\left(x_{0}\right),t_{+}\left(x_{0}\right)\right)$

\begin{defn}
Sei $x_{*}\in U$ mit $f\left(x_{*}\right)=0$ stationäre Lösung.%
\marginpar{(in)stabil, asymptotisch stabil%
}
\begin{enumerate}
\item $x_{*}$ heißt \underbar{stabil (Liapunov-stabil)},\index{stabil}\index{Liapunov-stabil}
gdw. \[
\boxed{\forall\varepsilon>0\exists\delta>0\forall x_{0}\in U,\left\Vert x_{0}-x_{*}\right\Vert <\delta:\quad t_{+}\left(x_{0}\right)=+\infty\textrm{ und }\left\Vert \hat{x}\left(t,x_{0}\right)-x_{*}\right\Vert <\varepsilon\forall t\geq0}\]

\medskip{}
\item $x_{*}$ heißt \underbar{instabil},\index{instabil} wenn $x_{*}$
nicht stabil ist.
\medskip{}
\item $x_{*}$ heißt \underbar{asymptotisch stabil},\index{stabil!asymptotisch}
wenn $x_{*}$ stabil ist und für $\left\Vert x_{0}-x_{*}\right\Vert <\delta$
gilt\[
\boxed{\lim_{t\rightarrow\infty}\hat{x}\left(t,x_{0}\right)=x_{*}}\]

\end{enumerate}
\end{defn}
\begin{example*}
$n=2$\begin{eqnarray*}
x_{1}'\left(t\right) & = & x_{1}-x_{2}-x_{1}\left(x_{1}^{2}+x_{2}^{2}\right)+\frac{x_{1}x_{2}}{\sqrt{x_{1}^{2}+x_{2}^{2}}}\\
x_{2}'\left(t\right) & = & x_{1}+x_{2}-x_{1}\left(x_{1}^{2}+x_{2}^{2}\right)-\frac{x_{1}^{2}}{\sqrt{x_{1}^{2}+x_{2}^{2}}}\end{eqnarray*}
Die stationäre Lösung $x_{1}=x_{2}=0$ ist instabil.\\
Die stationäre Lösung $x_{1}=1$, $x_{2}=0$ ist instabil, aber $\hat{x}\left(t,x_{0}\right)\xrightarrow{t\rightarrow\infty}\left(1,0\right)$
für $\left(x_{1},x_{2}\right)\approx\left(1,0\right)$
\end{example*}

\subsection{Verhältnis von Stabilität und stetiger Abhängigkeit der Lösung von
dem Anfangswert}

~

Sei $t_{+}\left(x_{0}\right)=\infty$ für alle $x_{0}\approx x_{*}$.

$\hat{x}\left(t,x_{0}\right)$ ist stetig vom Anfangswert abhängig,
d.h.

$\forall t_{0}\geq0$ $\forall\varepsilon>0$ $\exists\delta\left(t_{0},\varepsilon\right)>0$:
$\left|t-t_{0}\right|+\left\Vert x_{0}-x_{*}\right\Vert <\delta$
$\Rightarrow$ $\left\Vert \hat{x}\left(t,x_{0}\right)-\hat{x}\left(t,x_{*}\right)\right\Vert <\varepsilon$

$\leadsto$ $\forall c>0$ $\forall\varepsilon>0$ $\exists\delta\left(c,\varepsilon\right)>0$:
$0\leq t\leq c$, $\left\Vert x_{0}-x_{*}\right\Vert <\delta$ $\Rightarrow$
$\left\Vert \hat{x}\left(t,x_{0}\right)-x_{*}\right\Vert <\varepsilon$

$\leadsto$ $\hat{x}\left(t,x_{0}\right)\xrightarrow{x_{0}\rightarrow x_{*}}x_{*}$
lokal glm. bzgl. $t$

Stabilität heißt aber: $\hat{x}\left(t,x_{0}\right)\xrightarrow{x_{0}\rightarrow x_{*}}x_{*}$
glm. auf $\left[0,\infty\right)$.

\begin{example*}
$n=1$\begin{eqnarray*}
x' & = & \lambda x\\
\hat{x}\left(t,x_{0}\right) & = & e^{\lambda t}x_{0}\end{eqnarray*}
$\lambda>0$: $e^{\lambda t}x_{0}\xrightarrow{x_{0}\rightarrow0}0$
lokal gleichmäßig; Aber $x=0$ ist nicht stabil.
\end{example*}
\begin{thm}
[Prinzip der linearisierten Stabilit\"at]\label{thm:linearisierteStabilitaet}Sei
$f\in C^{1}\left(U;\mathbb{R}^{n}\right)$ und $x_{*}\in U$ mit%
\marginpar{linearisierte Stabilität%
} $f\left(x_{*}\right)=0$, dann gilt:\index{Stabilität, linearisiert}
\begin{enumerate}
\item Wenn $\mathrm{Re}\lambda<0$ für alle $\lambda\in\mathrm{spec}f'\left(x_{*}\right)$,
dann ist $x_{*}$ asymptotisch stabil.
\medskip{}
\item Wenn $\mathrm{Re}\lambda>0$ für ein $\lambda\in\mathrm{spec}f'\left(x_{*}\right)$,
dann ist $x_{*}$ instabil.
\end{enumerate}
\end{thm}
\begin{example*}
$n=1$,%
\marginpar{25.06.03%
} \[
x'=\alpha x+\beta x^{3}\]
$x_{*}=0$ ist eine stationäre Lösung: \[
f'\left(x_{*}\right)=\left.\frac{d}{dx}\left(\alpha x+\beta x^{3}\right)\right|_{x=0}=\alpha\]
\[
\leadsto\,\begin{cases}
\alpha<0 & \textrm{asymptotisch stabil}\\
\alpha>0 & \textrm{instabil}\end{cases}\]
 Für $\alpha<0$: $\alpha x+\beta x^{3}=0$, $x\neq0$ $\leadsto$
$\alpha+\beta x^{2}=0$ $\leadsto$ $x=\pm\sqrt{-\frac{\alpha}{\beta}}$
sind weitere stationäre Lösungen.\[
\left.\frac{d}{dx}\left(\alpha x+\beta x^{3}\right)\right|_{x=\pm\sqrt{-\frac{\alpha}{\beta}}}=\alpha+3\beta\left(-\frac{\alpha}{\beta}\right)=-2\alpha>0\textrm{ wegen }\alpha<0,\]
d.h. $\pm\sqrt{-\frac{\alpha}{\beta}}$ sind instabil.

\begin{minipage}[c]{0.45\textwidth}%
\includegraphics[%
  scale=0.95]{04.eps}

$\alpha=-1$, $\beta=0$, $x\left(0\right)=\pm1$: $x\left(t\right)=\pm e^{-t}$\\
$x_{*}=0$ ist asymptotisch stabil, da $\alpha<0$\end{minipage}%
\hfill{}\begin{minipage}[c]{0.45\textwidth}%
\includegraphics[%
  scale=0.95]{05.eps}

$\alpha=1$, $\beta=0$, $x\left(0\right)=\pm\varepsilon$: $x\left(t\right)=\pm e^{t}$\\
$x_{*}=0$ ist instabil, da $\alpha>0$\end{minipage}%


\begin{minipage}[c]{0.60\textwidth}%
\includegraphics{06.eps}\end{minipage}%
\begin{minipage}[t]{0.40\textwidth}%
$\alpha=-1$, $\beta=5$, $x\left(0\right)=\pm\frac{1}{2}$:\[
x\left(t\right)=\pm\frac{1}{\sqrt{5-e^{2t}}}\]


$x_{*}=\pm\sqrt{-\frac{\alpha}{\beta}}=\pm\sqrt{\frac{1}{5}}$ sind
instabil, da $\alpha<0$\end{minipage}%

\end{example*}
%

\begin{example*}
$n=2$\begin{eqnarray*}
x'=f\left(x,y\right) & = & x^{2}-y^{2}-5\\
y'=g\left(x,y\right) & = & x^{2}+y^{2}-13\end{eqnarray*}
stationäre Lösungen:\begin{eqnarray*}
x^{2}-y^{2} & = & 5\\
x^{2}+y^{2} & = & 13\\
\leadsto\,2x^{2}-18 & = & 0\quad\leadsto\quad x=\pm3\\
y^{2} & = & 4\quad\leadsto\quad y=\pm2\end{eqnarray*}
\begin{eqnarray*}
\frac{\partial\left(f,g\right)}{\partial\left(x,y\right)}\left(x,y\right) & = & \left(\begin{array}{cc}
2x & -2y\\
2x & 2y\end{array}\right)\\
\det\left(\frac{\partial\left(f,g\right)}{\partial\left(x,y\right)}\left(3,2\right)-\lambda I\right) & = & \lambda^{2}-10\lambda+48\quad\leadsto\quad\lambda_{1,2}=5\pm\sqrt{25-48}\quad\leadsto\,\textrm{instabil}\\
\det\left(\frac{\partial\left(f,g\right)}{\partial\left(x,y\right)}\left(-3,-2\right)-\lambda I\right) & = & \lambda^{2}+10\lambda+48\quad\leadsto\quad\lambda_{1,2}=-5\pm\sqrt{25-48}\quad\leadsto\,\textrm{as. stabil}\end{eqnarray*}
 Die Punkte $\left(3,-2\right)$ und $\left(-3,2\right)$ sind auch
instabil.
\end{example*}
\begin{proof}
[Beweis von Satz \ref{thm:linearisierteStabilitaet}, Teil \rm{(1)}]Sei\[
\lambda_{0}:=\max\left\{ \textrm{Re}\lambda\left|\lambda\in\textrm{spec}f'\left(x_{*}\right)\right.\right\} <0\quad\left(\textrm{nach Vor.}\right)\]

\begin{enumerate}
\item Behauptung: $\exists c>0$ $\forall x\in\mathbb{R}^{n}$ $\forall t\geq0$:\[
\left\Vert \exp\left[tf'\left(x_{*}\right)\right]x\right\Vert \leq c\cdot e^{\frac{\lambda_{0}}{2}t}\left\Vert x\right\Vert \qquad\left(tf'\left(x_{*}\right)\in\mathbb{M}\left(n,\mathbb{R}\right)\right)\]
Annahme: Gegenteil: $\forall c>0$ $\exists x\in\mathbb{R}^{n}$,
$t\geq0$:\[
\left\Vert \exp\left[tf'\left(x_{*}\right)x\right]\right\Vert >c\cdot e^{\frac{\lambda_{0}}{2}t}\left\Vert x\right\Vert \]
$c=i\in\mathbb{N}$ liefert $x_{i}\in\mathbb{R}^{n}$, $\left\Vert x_{i}\right\Vert =1$,
und $t_{i}\geq0$, so daß\[
\left\Vert \exp\left[t_{i}f'\left(x_{*}\right)\right]x_{i}\right\Vert e^{-\frac{\lambda_{0}}{2}t_{i}}>i\xrightarrow{i\rightarrow\infty}\infty,\]
aber\begin{eqnarray*}
e^{-\frac{\lambda_{0}}{2}t}\exp\left[tf'\left(x_{*}\right)\right]x & = & \sum_{j=1}^{m}\underbrace{e^{\overbrace{\left[\textrm{Re}\lambda_{j}-\frac{\lambda_{0}}{2}\right]}^{<0}t}}_{\xrightarrow{t\rightarrow\infty}0}\sum_{k=1}^{g_{j}}\sum_{l=1}^{b_{jk}}x_{jkl}\sum_{r=0}^{l-1}\frac{t^{r}}{r!}\mathfrak{n}_{j,k,l-r}\xrightarrow{t\rightarrow\infty}0\end{eqnarray*}
Widerspruch zu $\left\Vert \exp\left[t_{i}f'\left(x_{*}\right)\right]x_{i}\right\Vert e^{-\frac{\lambda_{0}}{2}t_{i}}\xrightarrow{i\rightarrow\infty}\infty$.
\medskip{}
\item Sei $\hat{x}\left(t,x_{0}\right)$ maximale Lösung von \prettyref{eq:5.1},
\prettyref{eq:5.2}, $t\in\left(t_{-}\left(x_{0}\right),t_{+}\left(x_{0}\right)\right)$.\begin{eqnarray*}
\partial_{t}\left[\hat{x}\left(t,x_{0}\right)-x_{*}\right] & = & f\left(\hat{x}\left(t,x_{0}\right)\right)\\
 & = & \underbrace{f\left(x_{*}\right)}_{=0}+f'\left(x_{*}\right)\left(\hat{x}\left(t,x_{0}\right)-x_{*}\right)+R\left(\hat{x}\left(t,x_{0}\right)\right)\quad\textrm{mit }\frac{\left\Vert R\left(\xi\right)\right\Vert }{\left\Vert \xi\right\Vert }\xrightarrow{\xi\rightarrow x_{*}}0\end{eqnarray*}
$\xi\left(t\right):=\hat{x}\left(t,x_{0}\right)$: inhomogene lineare
DGL:\[
\partial_{t}\left[\xi\left(t\right)-x_{*}\right]=f'\left(x_{*}\right)\left(\xi\left(t\right)-x_{*}\right)+R\left(\xi\left(t\right)\right)\]
Variation der Konstanten: Für $0\leq t<t_{+}\left(x_{0}\right)$ ist\begin{eqnarray*}
\hat{x}\left(t,x_{0}\right)-x_{*} & = & \exp\left[tf'\left(x_{*}\right)\right]\left(x_{0}-x_{*}\right)+\int_{0}^{t}\exp\left[\left(t-s\right)f'\left(x_{*}\right)\right]R\left(\hat{x}\left(s,x_{0}\right)\right)ds\\
\left\Vert \hat{x}\left(t,x_{0}\right)-x_{*}\right\Vert  & \leq & c\cdot e^{\frac{\lambda_{0}}{2}t}\left\Vert x_{0}-x_{*}\right\Vert +\int_{0}^{t}c\cdot e^{\frac{\lambda_{0}}{2}\left(t-s\right)}\cdot\left\Vert R\left(\hat{x}\left(s,x_{0}\right)\right)\right\Vert ds\end{eqnarray*}

\medskip{}
\item $\exists\alpha>0$ $\forall\xi\in U$: $\left\Vert \xi-x_{*}\right\Vert <\alpha$
$\Rightarrow$ $\left\Vert R\left(\xi\right)\right\Vert \leq-\frac{\lambda_{0}}{4c}\left\Vert \xi-x_{*}\right\Vert $\[
t_{*}\left(x_{0}\right):=\begin{cases}
\infty & \textrm{falls }\left\Vert \hat{x}\left(t,x_{0}\right)-x_{*}\right\Vert <\alpha\quad\forall0\leq t<t_{+}\left(x_{0}\right)\\
\inf\left\{ t\geq0\left|\left\Vert \hat{x}\left(t,x_{0}\right)-x_{\infty}\right\Vert \geq\alpha\right.\right\}  & \textrm{sonst}\end{cases}\]
\begin{eqnarray*}
\leadsto e^{-\frac{\lambda_{0}}{2}t}\left\Vert \hat{x}\left(t,x_{0}\right)-x_{*}\right\Vert  & \leq & c\left\Vert x_{0}-x_{*}\right\Vert +c\int_{0}^{t}e^{-\frac{\lambda_{0}}{2}s}\left\Vert R\left(\hat{x}\left(s,x_{0}\right)\right)\right\Vert ds\quad0\leq t<t_{+}\left(x_{0}\right)\\
 & \leq & c\left\Vert x_{0}-x_{*}\right\Vert +c\int_{0}^{t}e^{-\frac{\lambda_{0}}{2}s}\cdot\left(-\frac{\lambda_{0}}{4c}\left\Vert \hat{x}\left(s,x_{0}\right)-x_{*}\right\Vert \right)ds,\end{eqnarray*}
wenn $\left\Vert \hat{x}\left(s,x_{0}\right)-x_{*}\right\Vert <\alpha$
für $0\leq s<t$, also wenn $0\leq s<t<t_{*}\left(x_{0}\right)$.


\noindent Anwendung Gronwall-Lemma \ref{lem:Gronwall} mit $z\left(t\right)=e^{-\frac{\lambda_{0}}{2}t}\left\Vert \hat{x}\left(t,x_{0}\right)-x_{*}\right\Vert $,
$z_{0}=c\left\Vert x_{0}-x_{*}\right\Vert $, $L=-\frac{\lambda_{0}}{4}$,
$a=0$, $b=t_{*}$:\begin{eqnarray*}
e^{-\frac{\lambda_{0}}{2}t}\left\Vert \hat{x}\left(t,x_{0}\right)-x_{*}\right\Vert  & \leq & c\left\Vert x_{0}-x_{*}\right\Vert e^{-\frac{\lambda_{0}}{4}t}\quad\textrm{für }0\leq t\leq t_{*}\left(x_{0}\right)\\
\Leftrightarrow\,\left\Vert \hat{x}\left(t,x_{0}\right)-x_{*}\right\Vert  & \leq & c\left\Vert x_{0}-x_{*}\right\Vert e^{\frac{\lambda_{0}}{4}t}\end{eqnarray*}


\medskip{}
\noindent Sei $\varepsilon>0$.

\begin{enumerate}
\medskip{}
\item \noindent Ist $t_{*}\left(x_{0}\right)=\infty$, so ist für $\left\Vert x_{0}-x_{*}\right\Vert <\min\left\{ \frac{\varepsilon}{c},\alpha\right\} =:\delta\left(\varepsilon\right)$:\[
\left\Vert \hat{x}\left(t,x_{0}\right)-x_{*}\right\Vert <c\cdot\left\Vert x_{0}-x_{*}\right\Vert \cdot e^{\frac{\lambda_{0}}{4}t}<c\cdot\frac{\varepsilon}{c}\cdot\underbrace{e^{\frac{\lambda_{0}}{4}t}}_{<1}<\varepsilon\quad\textrm{für }0\leq t<\infty\]
und es gilt $\hat{x}\left(t,x_{0}\right)\xrightarrow{t\rightarrow\infty}x_{*}$.
\medskip{}
\item \noindent Ist $t_{*}\left(x_{0}\right)<\infty$, so ergibt \[
\alpha=\left\Vert \hat{x}\left(t_{*},x_{0}\right)-x_{*}\right\Vert \leq c\left\Vert x_{0}-x_{*}\right\Vert \underbrace{e^{\frac{\lambda_{0}}{4}t_{*}}}_{\leq1}\leq c\left\Vert x_{0}-x_{*}\right\Vert \]
einen Widerspruch bei $x_{0}\rightarrow x_{*}$.


\medskip{}
\noindent Also tritt immer der Fall $t_{*}\left(x_{0}\right)=\infty$
auf.

\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{proof}
\begin{thm}
[Prinzip der linearen Stabilit\"at für Gleichungen h\"oherer Ordnung]
Sei $U\subseteq\mathbb{R}^{n}$ offen, $f:U\rightarrow\mathbb{R}$
$C^{n}$-glatt. Wir betrachten die Differentialgleichung\[
x^{\left(n\right)}\left(t\right)=f\left(x\left(t\right),x'\left(t\right),\ldots,x^{\left(n-1\right)}\left(t\right)\right).\]
 Sei $\left(x_{*},0,\ldots,0\right)\in U$ mit $f\left(x_{*},0,\ldots,0\right)=0$,
d.h. $x_{*}$ ist stationäre Lösung. Dann gilt:

Wenn $\mathrm{Re}\lambda<0$ für alle \[
\lambda\in\mathrm{spec}\left[\begin{array}{ccccc}
0 & 1 & 0 & \cdots & 0\\
0 & 0 & 1 &  & 0\\
\vdots & 0 & \ddots & \ddots\\
0 & \cdots & 0 & 0 & 1\\
\frac{\partial f}{\partial x_{1}} & \frac{\partial f}{\partial x_{2}} & \cdots & \cdots & \frac{\partial f}{\partial x_{n}}\end{array}\right]\left(x_{*},0,\ldots,0\right),\]
dann ist $\left(x_{*},0,\ldots,0\right)$ asymptotisch stabil, d.h.
$\forall\varepsilon>0$ $\exists\delta>0$ $\forall\left(x_{0},x_{1},\ldots,x_{n-1}\right)\in U$:\begin{eqnarray*}
\left\Vert \left(x_{0},x_{1},\ldots,x_{n-1}\right)-\left(x_{*},0,\ldots,0\right)\right\Vert <\delta & \Rightarrow & \left\Vert \left(x\left(t\right),x'\left(t\right),\ldots,x^{\left(n-1\right)}\left(t\right)\right)-\left(x_{*},0,\ldots,0\right)\right\Vert <\varepsilon\end{eqnarray*}
und \[
\left\Vert \left(x\left(t\right),x'\left(t\right),\ldots,x^{\left(n-1\right)}\left(t\right)\right)-\left(x_{*},0,\ldots,0\right)\right\Vert \xrightarrow{t\rightarrow\infty}0,\]
d.h. ist $x\left(0\right)\approx x_{*}$, $x'\left(0\right)\approx0$,
$\ldots$, $x^{\left(n-1\right)}\left(0\right)\approx0$, dann ist
$x\left(t\right)\approx x_{*}$, $x'\left(t\right)\approx0$, $\ldots$,
$x^{\left(n-1\right)}\left(t\right)\approx0$ $\forall t\geq0$.

\end{thm}
Für $n=2$: $\left\Vert x\left(0\right)-x_{*}\right\Vert +\left\Vert x'\left(0\right)\right\Vert <\delta$
$\leadsto$ $\left\Vert x\left(t\right)-x_{*}\right\Vert +\left\Vert x'\left(t\right)\right\Vert <\varepsilon$
$\forall t\geq0$.


\subsection{Liapunov-Funktionen und erste Integrale}

~%
\marginpar{02.07.03%
}

max. Lösung von \prettyref{eq:5.1}, \prettyref{eq:5.2}: $\hat{x}\left(t,x_{0}\right)$,
$t\in\left(t_{-}\left(x_{0}\right),t_{+}\left(x_{0}\right)\right)$

\begin{defn}
Sei $U_{0}\subseteq U$, $V:U_{0}\rightarrow\mathbb{R}$.%
\marginpar{Liapunov-Funktion,\\
erstes\\
Integral%
}\index{Liapunov-Funktion}\index{erstes Integral} Gelte\begin{equation}
\boxed{V\left(\hat{x}\left(t,x_{0}\right)\right)\geq V\left(\hat{x}\left(s,x_{0}\right)\right)}\label{eq:5.3}\end{equation}
für alle $t_{-}\left(x_{0}\right)<t\leq s<t_{+}\left(x_{0}\right)$
mit $\hat{x}\left(t,x_{0}\right),\hat{x}\left(s,x_{0}\right)\in U_{0}$.
Dann heißt $V$ \underbar{Liapunov-Funktion} zu \prettyref{eq:5.1}
auf $U_{0}$.

Gilt zudem\[
\boxed{V\left(\hat{x}\left(t,x_{0}\right)\right)=V\left(\hat{x}\left(s,x_{0}\right)\right)}\]
 für alle $t,s\in\left(t_{-}\left(x_{0}\right),t_{+}\left(x_{0}\right)\right)$
mit $\hat{x}\left(t,x_{0}\right),\hat{x}\left(s,x_{0}\right)\in U_{0}$,
so heißt $V$ \underbar{erstes Integral} zu \prettyref{eq:5.1} auf
$U_{0}$.

\end{defn}
\begin{rem*}
~
\begin{itemize}
\item erstes Integral: $V\left(x\left(t\right)\right)=\textrm{const.}$:
eine algebraische Gleichung für $n$ unbekannte Funktionen\[
\leadsto\, x_{1}\left(t\right)=\phi\left(x_{2}\left(t\right),\ldots,x_{n}\left(t\right),\textrm{const.}\right)\]
$n=2$: Reduktion auf eine skalare Differentialgleichung $\leadsto$
getrennte Variablen
\medskip{}
\item $V\in C^{1}\left(U_{0},\mathbb{R}\right)$, $U_{0}$ offen:\begin{eqnarray*}
\left(\ref{eq:5.3}\right) & \Leftrightarrow & \frac{d}{dt}V\left(\hat{x}\left(t,x_{0}\right)\right)\leq0\quad\forall t\in\left(t_{-}\left(x_{0}\right),t_{+}\left(x_{0}\right)\right)\textrm{ mit }\hat{x}\left(t,x_{0}\right)\in U_{0}\end{eqnarray*}
\[
\frac{d}{dt}V\left(\hat{x}\left(t,x_{0}\right)\right)=V'\left(\hat{x}\left(t,x_{0}\right)\right)\cdot\partial_{t}\hat{x}\left(t,x_{0}\right)=\left\langle \nabla V\left(\hat{x}\left(t,x_{0}\right)\right),f\left(\hat{x}\left(t,x_{0}\right)\right)\right\rangle \]

\medskip{}
\item $V$ ist erstes Integral $\Leftrightarrow$ $\left\langle \nabla V\left(\hat{x}\left(t,x_{0}\right)\right),f\left(\hat{x}\left(t,x_{0}\right)\right)\right\rangle =0$


\medskip{}
\noindent $\Leftrightarrow$ Niveaumenge $M_{c}:=\left\{ \xi\in U_{0}\left|V\left(\xi\right)=c\right.\right\} $
ist {}``invariant'' bzgl. dem Fluß von \prettyref{eq:5.1}, d.h.
$x_{0}\in M_{c}$ $\Rightarrow$ $\hat{x}\left(t,x_{0}\right)\in M_{c}$
$\forall t\in\left(t_{-}\left(x_{0}\right),t_{+}\left(x_{0}\right)\right)$
mit $\hat{x}\left(t,x_{0}\right)\in U_{0}$.

\end{itemize}
\end{rem*}
\begin{example*}
konservative Systeme mit Reibung: \[
m_{i}x_{i}''=-\frac{\partial U}{\partial x_{i}}\left(x_{1},\ldots,x_{n}\right)-\beta_{i}x_{i}'\]
$U\in C^{2}\left(U;\mathbb{R}\right)$, $m_{i}>0$, $\beta_{i}\geq0$\[
\left.\begin{array}{rcl}
q_{i} & := & x_{i}\\
p_{i} & := & m_{i}x_{i}'\end{array}\right\} \qquad\left.\begin{array}{rcl}
q_{i}' & = & \frac{p_{i}}{m_{i}}\\
p_{i}' & = & -\frac{\partial U}{\partial q_{i}}\left(q_{1},\ldots,q_{n}\right)-\frac{\beta_{i}}{m_{i}}p_{i}\end{array}\right\} \]
System von $2n$ nichtlinearen Differentialgleichungen in Normalform.\begin{eqnarray*}
\underbrace{V\left(q_{1},\ldots,q_{n},p_{1},\ldots,p_{n}\right)}_{\textrm{mech. Energie}} & := & \underbrace{\frac{1}{2}\sum_{i=1}^{n}\frac{p_{i}^{2}}{m_{i}}}_{\textrm{kinet. Energie}}+\underbrace{U\left(q_{1},\ldots,q_{n}\right)}_{\textrm{pot. Energie}}\\
\frac{d}{dt}V\left(q_{1},\ldots,p_{n}\right) & = & \frac{d}{dt}\left(\frac{1}{2}\sum_{i=1}^{n}\frac{p_{i}^{2}}{m_{i}}+U\left(q_{1},\ldots,q_{n}\right)\right)\\
 & = & \sum_{i=1}^{n}\frac{p_{i}p_{i}'}{m_{i}}+\sum_{i=1}^{n}\frac{\partial U}{\partial q_{i}}\left(q_{1},\ldots,q_{n}\right)q_{i}'\\
 & = & \sum_{i=1}^{n}\left[\frac{p_{i}}{m_{i}}\left(-\frac{\partial U}{\partial q_{i}}\left(q_{1},\ldots,q_{n}\right)-\frac{\beta_{i}}{m_{i}}p_{i}\right)+\frac{\partial U}{\partial q_{i}}\left(q_{1},\ldots,q_{n}\right)\frac{p_{i}}{m_{i}}\right]\\
 & = & -\sum_{i=1}^{n}\frac{\beta_{i}}{m_{i}^{2}}p_{i}^{2}\quad\begin{cases}
\leq0 & \textrm{Energieverlust durch Reibung}\\
=0,\textrm{ falls }\beta_{i}=0 & \textrm{keine Reibung }\leadsto\textrm{ Energie konstant}\end{cases}\end{eqnarray*}

\end{example*}
%~

\begin{example*}
Gradientensysteme:\begin{eqnarray*}
x_{i}' & = & -\frac{dV}{dx_{i}}\left(x_{1},\ldots,x_{n}\right)\qquad i=1,\ldots,n\end{eqnarray*}
d.h. $f\left(x\right)=-\nabla V\left(x\right)$\[
\frac{d}{dt}V\left(x\right)=V'\left(x\right)x'=\left\langle \nabla V\left(x\right),f\left(x\right)\right\rangle =\left\langle \nabla V\left(x\right),-\nabla V\left(x\right)\right\rangle =-\left\Vert V\left(x\right)\right\Vert \leq0\]

\end{example*}
%~

\begin{example*}
Elektrischer Schwingkreis\index{Schwingkreis, elektrisch} mit nichtlinearer
Kennlinie\[
I''=\frac{1}{L}\left[U'\left(t\right)-\frac{I}{C}-R\left(I\right)I'\right],\quad U\left(0\right)=0\]
\begin{eqnarray*}
I'' & = & \frac{1}{L}\left[U'\left(t\right)-\frac{I}{C}-R\left(I\right)I'\right],\quad U\left(0\right)=0\\
V\left(I,I'\right) & := & \frac{1}{2}I'^{2}+\frac{1}{2LC}I^{2}\\
\frac{d}{dt}V\left(I,I'\right) & = & I'I''+\frac{1}{LC}II'=I'\left(\frac{U'}{L}-\frac{I}{LC}-\frac{R\left(I\right)I'}{L}\right)+\frac{1}{LC}II'=\frac{U'I'}{L}-\frac{I'^{2}}{LC}R\left(I\right)\end{eqnarray*}

\end{example*}
\begin{thm}
[1. Liapunov'sches Stabilit\"atskriterium]\index{Liapunov-Kriterium}Sei
$x'=f\left(x\right)$, $x\left(0\right)=x_{0}$,%
\marginpar{1. Liapunov-Kriterium%
} $U\subseteq\mathbb{R}^{n}$ offen, $f:U\rightarrow\mathbb{R}^{n}$
lokal Lipschitz-stetig, $U_{0}\subseteq U$, $V:U_{0}\rightarrow\mathbb{R}$
stetig. Sei \begin{equation}
x_{*}\in U_{0}\textrm{ mit }f\left(x_{*}\right)=0\label{eq:5.4}\end{equation}
eine stationäre Lösung und \begin{equation}
x_{*}\textrm{ strenges lokales Minimum von }V\textrm{ auf }U_{0}\textrm{.}\label{eq:5.5}\end{equation}
Dann ist $x_{*}$ stabil.
\end{thm}
\begin{rem*}
$V\in C^{1}\left(U_{0};\mathbb{R}\right)$, $\nabla V\left(x_{*}\right)=0$,
$\nabla^{2}V\left(x_{*}\right)=\left[\partial_{i}\partial_{j}V\left(x_{*}\right)\right]_{i,j=1}^{n}$
positiv definit $\leadsto$ $x_{*}$ ist streng lokales Minimum von
$V$.
\end{rem*}
\begin{proof}
~
\begin{enumerate}
\item Beh.: $\exists\varepsilon_{0}>0$ $\forall\varepsilon\in\left(0,\varepsilon_{0}\right)$:
$\inf\left\{ V\left(x\right)\left|x\in U_{0},\left\Vert x-x_{0}\right\Vert =\varepsilon\right.\right\} >V\left(x_{*}\right)$


\medskip{}
\noindent Annahme: $\exists\varepsilon_{j}\searrow0$: $\inf\left\{ V\left(x\right)\left|x\in U_{0},\left\Vert x-x_{0}\right\Vert =\varepsilon_{j}\right.\right\} \leq V\left(x_{*}\right)$

\medskip{}
\noindent Dies liefert eine Folge $x_{j}\in U_{0}$ mit $\left\Vert x_{j}-x_{*}\right\Vert =\varepsilon_{j}$,
$V\left(x_{j}\right)\leq V\left(x_{*}\right)$

\medskip{}
\noindent $j\rightarrow\infty$: Widerspruch zur Voraussetzung, daß
$x_{*}$ streng lokales Minimum ist.

\medskip{}
\item Annahme: $x_{*}$ ist nicht stabil, d.h. es gilt nicht:


\medskip{}
\noindent $\forall\varepsilon>0$ $\exists\delta>0$ $\forall x_{0}\in U$,
$\left\Vert x_{0}-x_{*}\right\Vert <\delta$: $t_{+}\left(x_{0}\right)=\infty$,
$\left\Vert \hat{x}\left(t,x_{0}\right)-x_{*}\right\Vert <\varepsilon$
$\forall t\in\left(0,\infty\right)$

\medskip{}
\noindent D.h.: $\exists\varepsilon>0$ $\forall\delta>0$ $\exists x_{\delta}\in U$,
$\left\Vert x_{\delta}-x_{*}\right\Vert <\delta$: $t_{+}\left(x_{\delta}\right)<\infty$
oder $\left\Vert \hat{x}\left(t_{\delta},x_{\delta}\right)-x_{*}\right\Vert \geq\varepsilon$
für ein $t_{\delta}\geq0$.

\medskip{}
\noindent Ist $t_{+}\left(x_{\delta}\right)<\infty$, so folgt $\left\Vert \hat{x}\left(t_{\delta},x_{\delta}\right)-x_{*}\right\Vert \geq\varepsilon$
für ein $t_{\delta}$ nach dem Satz über das Verhalten nicht unbeschränkt
fortsetzbarer Lösungen. Und nach dem Mittelwertsatz existiert (für
$\delta\leq\varepsilon$) ein $t_{\delta}$ mit \[
\left\Vert \hat{x}\left(t_{\delta},x_{\delta}\right)-x_{*}\right\Vert =\varepsilon.\]
 O.B.d.A. sei $\varepsilon$ so klein, daß\[
m:=\inf\left\{ V\left(x\right)\left|\left\Vert x-x_{*}\right\Vert =\varepsilon\right.\right\} >V\left(x_{*}\right)\]
\[
\leadsto\, V\left(\hat{x}\left(t_{\delta},x_{\delta}\right)\right)\geq m>V\left(x_{*}\right)\]
 $\delta\searrow0$ liefert $x_{\delta}\rightarrow x_{*}$, also $V\left(x_{\delta}\right)\rightarrow V\left(x_{*}\right)$:
Mit \prettyref{eq:5.5} und da $V$ Liapunov-Funktion ist:\[
0\leq V\left(\hat{x}\left(t_{\delta},x_{\delta}\right)\right)-V\left(x_{*}\right)\leq V\left(x_{\delta}\right)-V\left(x_{*}\right)\rightarrow0\quad\textrm{bei }\delta\rightarrow0.\]
Widerspruch zu $V\left(\hat{x}\left(t_{\delta},x_{\delta}\right)\right)\geq m>V\left(x_{*}\right)$.

\end{enumerate}
\end{proof}
\begin{thm}
Seien \prettyref{eq:5.3}, \prettyref{eq:5.4} und \prettyref{eq:5.5}
erfüllt.%
\marginpar{07.07.03%
} Sei $V\left(\hat{x}\left(\cdot,x_{0}\right)\right)$ konstant, gdw.
$x_{0}=x_{*}$ $\forall x_{0}\in U_{0}$.

Dann ist $x_{*}$ asymptotisch stabil. Genauer gilt folgende Abschätzung
des Einzugsbereiches von $x_{*}$: \begin{equation}
\forall c\in\mathbb{R}\textrm{ mit }M_{c}:=\left\{ \left.x\in U_{0}\right|V\left(x\right)\leq c\right\} \textrm{ abgeschlossen und beschränkt}\label{eq:5.6}\end{equation}
\begin{equation}
\textrm{und }\forall x_{0}\in M_{c}\textrm{ mit }x_{0}\neq x_{*}\,\exists t_{0}\in\left(0,t_{+}\left(x_{0}\right)\right):\, V\left(x_{0}\right)>V\left(\hat{x}\left(t_{0},x_{0}\right)\right),\textrm{ so gilt}\label{eq:5.7}\end{equation}
\[
\boxed{\lim_{t\rightarrow\infty}\hat{x}\left(t,x_{0}\right)=x_{*}\quad\forall x_{0}\in M_{c}}\]


\end{thm}
\begin{rem*}
Für $c\approx V\left(x_{*}\right)$ mit $c>V\left(x_{*}\right)$ sind
\prettyref{eq:5.6} und \prettyref{eq:5.7} erfüllt.

$M_{c}$ ist abgeschlossen: Sei $x_{j}\in M_{c}$ Folge mit $x_{j}\xrightarrow{j\rightarrow\infty}x$.
$V\left(x_{j}\right)\leq c$ $\leadsto$ $V\left(x\right)\leq c$
$\leadsto$ $x\in M_{c}$.

\end{rem*}
\begin{proof}
~\begin{eqnarray}
\textrm{Annahme:} &  & \exists x_{0}\in M_{c}:\neg\left(\forall\varepsilon>0\exists a\in\mathbb{R}\forall t>a:\,\left\Vert \hat{x}\left(t,x_{0}\right)-x_{*}\right\Vert <\varepsilon\right)\nonumber \\
 & \leadsto & \exists x_{0}\in M_{c}\,\exists\varepsilon>0\,\forall a\in\mathbb{R}\,\exists t_{a}>a:\,\left\Vert \hat{x}\left(t_{a},x_{0}\right)-x_{*}\right\Vert \geq\varepsilon\nonumber \\
a=n\in\mathbb{N}:\, t_{n}\rightarrow\infty & \leadsto & \exists x_{0}\in M_{c}\,\exists\varepsilon>0\,\exists t_{1}<t_{2}<\ldots\rightarrow\infty:\,\left\Vert \hat{x}\left(t_{n},x_{0}\right)-x_{*}\right\Vert \geq\varepsilon\label{eq:5.8}\end{eqnarray}
$M_{c}$ ist nach \prettyref{eq:5.6} abgeschlossen und beschränkt
und $\hat{x}\left(t_{n},x_{0}\right)\in M_{c}$ nach \prettyref{eq:5.3}.
Dann existiert eine konvergente Teilfolge von $\hat{x}\left(t_{n},x_{0}\right)$:
Sei o.B.d.A. $\hat{x}\left(t_{n},x_{0}\right)\rightarrow\tilde{x}\in M_{c}$,
\[
V\left(\tilde{x}\right)=\lim_{n\rightarrow\infty}V\left(\hat{x}\left(t_{n},x_{0}\right)\right)=\inf_{t\geq0}V\left(\hat{x}\left(t,x_{0}\right)\right)\]
\begin{eqnarray*}
V\left(\hat{x}\left(s,\hat{x}\left(t_{j},x_{0}\right)\right)\right) & = & V\left(\hat{x}\left(s+t_{j},x_{0}\right)\right)\\
\downarrow j\rightarrow\infty &  & \downarrow j\rightarrow\infty\\
V\left(\hat{x}\left(s,\tilde{x}\right)\right) & = & \inf_{t\geq s}V\left(\hat{x}\left(t,x_{0}\right)\right)=V\left(\tilde{x}\right)\qquad\forall s\end{eqnarray*}
Mit \prettyref{eq:5.7} folgt $\tilde{x}=x_{*}$ $\leadsto$ Widerspruch
zu \prettyref{eq:5.8}.
\end{proof}
\begin{conclusion*}
[2. Liapunov'sches Kriterium]\index{Liapunov-Kriterium}Sei $V:U_{0}\rightarrow\mathbb{R}$
Liapunov-Funktion%
\marginpar{2. Liapunov-Kriterium%
} zu \prettyref{eq:5.1}, $U_{0}\subseteq U$, $V$ stetig. Sei $x_{*}\in U_{0}$,
$f\left(x_{*}\right)=0$, $x_{*}$ streng lokales Minimum von $V$.

Gelte $\forall x_{0}\in U_{0}$: $t\in\left[0,t_{+}\left(x_{0}\right)\right)\mapsto V\left(\hat{x}\left(t,x_{0}\right)\right)\in\mathbb{R}$
konstant $\Rightarrow$ $x_{0}=x_{*}$.

Dann ist $x_{*}$ asymptotisch stabil.

Genauer gesagt gilt:

Ist $M_{c}:=\left\{ x\in U_{0}\left|V\left(x\right)\leq c\right.\right\} $
abgeschlosssen, beschränkt, und gilt

$\forall x_{0}\in M_{c}$ mit $x_{0}\neq x_{*}$ $\exists t_{0}\in\left(0,t_{+}\left(x_{0}\right)\right)$:
$\hat{x}\left(t_{0},x_{0}\right)\in U_{0}$ und $V\left(\hat{x}\left(t_{0},x_{0}\right)\right)<V\left(x_{0}\right)$,
so gilt \[
\boxed{\hat{x}\left(t,x_{0}\right)\xrightarrow{t\rightarrow\infty}x_{*}\quad\forall x_{0}\in M_{c}}\]


\end{conclusion*}
\begin{example*}
math. Pendel\index{Pendel} mit Reibung: $U=\mathbb{R}^{2}$, $\beta\geq0$\begin{eqnarray*}
x''\left(t\right) & = & -\frac{g}{l}\sin x\left(t\right)-\beta x'\left(t\right)\quad\leadsto\left\{ \begin{array}{rcl}
x_{1}'\left(t\right) & = & x_{2}\left(t\right)\smallskip\\
x_{2}'\left(t\right) & = & -\frac{g}{l}\sin x_{1}\left(t\right)-\beta x_{2}\left(t\right)\end{array}\right.\\
V\left(x_{1}\left(t\right),x_{2}\left(t\right)\right) & = & V\left(x\left(t\right),x'\left(t\right)\right):=\frac{1}{2}\left|x'\left(t\right)\right|^{2}-\frac{g}{l}\cos x\left(t\right)\end{eqnarray*}
 $\beta=0$: $V$ ist erstes Integral (Energieerhaltungssatz), stationäre
Lösung: $x_{1}=x_{2}=0$, d.h. $x=x'=0$ ist stabil, aber nicht asymptotisch
stabil\begin{eqnarray*}
\beta>0:\quad\frac{d}{dt}\left[\frac{1}{2}x'\left(t\right)^{2}-\frac{g}{l}\cos x\left(t\right)\right] & = & x'\left(t\right)x''\left(t\right)+\frac{g}{l}\sin x\left(t\right)x'\left(t\right)\\
 & = & x'\left(t\right)\left[-\frac{g}{l}\sin x\left(t\right)-\beta x'\left(t\right)\right]+\frac{g}{l}\sin x\left(t\right)x'\left(t\right)\\
 & = & -\beta x'\left(t\right)^{2}\stackrel{!}{=}0\quad\leadsto\, x'\left(t\right)=0\\
V\left(0,0\right) & = & -\frac{g}{l}<c\quad\leadsto\quad M_{c}=\left\{ \left(x,x'\right)\in\mathbb{R}^{2}\left|\frac{1}{2}x'^{2}-\frac{g}{l}\cos x\leq c\right.\right\} \end{eqnarray*}

\end{example*}

\newpage
\section{Der Wiederkehrsatz von Poincare}

konservative Systeme:\begin{eqnarray*}
m_{i}x_{i}''\left(t\right) & = & -\frac{\partial U}{\partial x_{i}}\left(x_{1}\left(t\right),\ldots,x_{n}\left(t\right)\right)\quad i=1,\ldots,n\end{eqnarray*}


Hamilton-Systeme\index{Hamilton-Systeme}:\begin{eqnarray*}
p_{i}'\left(t\right) & = & -\frac{\partial\mathcal{H}}{\partial q_{i}}\left(p_{1}\left(t\right),\ldots,p_{n}\left(t\right),q_{1}\left(t\right),\ldots,q_{n}\left(t\right)\right)\quad i=1,\ldots,n\\
q_{i}'\left(t\right) & = & -\frac{\partial\mathcal{H}}{\partial p_{i}}\left(p_{1}\left(t\right),\ldots,p_{n}\left(t\right),q_{1}\left(t\right),\ldots,q_{n}\left(t\right)\right)\quad i=1,\ldots,n\end{eqnarray*}
 $\leadsto$ $\mathcal{H}$ ist erstes Integral

$\int_{a}^{b}f'\left(x\right)dx=f\left(b\right)-f\left(a\right)$,
$f:\left[a,b\right]\rightarrow\mathbb{R}$

$n$-dimensionales Analogon: Gauß-Integralsatz

$f:\Omega\subseteq\mathbb{R}^{n}\rightarrow\mathbb{R}^{n}$, $f\left(x\right)=\left(f_{1}\left(x_{1},x_{2},x_{3}\right),f_{2}\left(x_{1},x_{2},x_{3}\right),f_{3}\left(x_{1},x_{2},x_{3}\right)\right)$\[
\underbrace{\int_{\Omega}\underbrace{\left[\frac{\partial f_{1}}{\partial x_{1}}\left(x_{1},x_{2},x_{3}\right)+\frac{\partial f_{2}}{\partial x_{2}}\left(x_{1},x_{2},x_{3}\right)+\frac{\partial f_{3}}{\partial x_{3}}\left(x_{1},x_{2},x_{3}\right)\right]}_{\textrm{div}f\left(x\right)}dx}_{\textrm{Menge pro Zeiteinheit, die in }\Omega\textrm{ erzeugt wird}}=\underbrace{\int_{\partial\Omega}\left\langle f\left(x\right),\nu\left(x\right)\right\rangle dx}_{{{\textrm{Menge pro Zeiteinheit,}\atop \textrm{die aus }\Omega\textrm{ fließt}}}}\]
 $\textrm{div}f:\Omega\rightarrow\mathbb{R}$\index{Divergenz} Quellen
(bzw. Senken-) Dichte

divergenz-freie Vektorfelder: $f:\mathbb{R}^{n}\rightarrow\mathbb{R}^{n}$
mit $\textrm{div}f\left(x\right)=0$ $\forall x\in\mathbb{R}^{n}$

\begin{lem}
Die rechte Seite eines Hamilton-Systems ist divergenzfrei.
\end{lem}
\begin{proof}
$f:\mathbb{R}^{2n}\rightarrow\mathbb{R}^{2n}$:\begin{eqnarray*}
f\left(p_{1},\ldots,q_{n}\right) & = & \left(-\frac{\partial\mathcal{H}}{\partial q_{1}}\left(p_{1},\ldots,q_{n}\right),\ldots,-\frac{\partial\mathcal{H}}{\partial q_{n}}\left(p_{1},\ldots,q_{n}\right),\frac{\partial\mathcal{H}}{\partial p_{1}}\left(p_{1},\ldots,q_{n}\right),\ldots,\frac{\partial\mathcal{H}}{\partial p_{n}}\left(p_{1},\ldots,q_{n}\right)\right)\\
\textrm{div}f & = & \frac{\partial}{\partial p_{1}}\left(-\frac{\partial\mathcal{H}}{\partial q_{1}}\right)+\ldots+\frac{\partial}{\partial p_{n}}\left(-\frac{\partial\mathcal{H}}{\partial q_{n}}\right)+\frac{\partial}{\partial q_{1}}\left(\frac{\partial\mathcal{H}}{\partial p_{1}}\right)+\ldots+\frac{\partial}{\partial q_{n}}\left(\frac{\partial\mathcal{H}}{\partial p_{n}}\right)=0\end{eqnarray*}

\end{proof}
\begin{lem}
Sei $A\in C^{1}\left(\mathbb{R},\mathbb{M}\left(n\times n,\mathbb{R}\right)\right)$,
$A\left(0\right)=I$. Dann ist\[
\boxed{\left.\frac{d}{dt}\det A\left(t\right)\right|_{t=0}=\mathrm{sp}A'\left(0\right)}\]

\end{lem}
\begin{proof}
~\begin{eqnarray*}
\frac{d}{dt}\det\left[a_{1}\left(t\right),\ldots,a_{n}\left(t\right)\right] & = & \sum_{j=1}^{n}\det\left[a_{1}\left(t\right),\ldots,a_{j-1}\left(t\right),a_{j}'\left(t\right),a_{j+1}\left(t\right),\ldots,a_{n}\left(t\right)\right]_{t=0}\\
 & = & \sum_{j=1}^{n}\underbrace{\det\left[\begin{array}{cccccc}
1 & 0 & \cdots & a_{1j}'\left(0\right) & \cdots & 0\\
0 & 1 &  & a_{2j}'\left(0\right) &  & 0\\
\vdots & \vdots &  & \vdots &  & \vdots\\
0 & 0 & \cdots & a_{nj}'\left(0\right) & \cdots & 1\end{array}\right]}_{a_{jj}'\left(0\right)}\\
 & = & \textrm{sp}A'\left(0\right)\end{eqnarray*}

\end{proof}
\begin{eqnarray}
x'\left(t\right) & = & f\left(x\left(t\right)\right)\label{eq:6.1}\\
x\left(0\right) & = & x_{0}\label{eq:6.2}\end{eqnarray}
 $x\left(t\right)=\hat{x}\left(t,x_{0}\right)$, $t\in\left(t_{-}\left(x_{0}\right),t_{+}\left(x_{0}\right)\right)$

\begin{lem}
Sei $f\in C^{1}\left(\mathbb{R}^{n},\mathbb{R}^{n}\right)$. Dann
ist\[
\left.\frac{d}{dt}\det\underbrace{\frac{\partial\hat{x}}{\partial x_{0}}\left(t,x_{0}\right)}_{\in\mathbb{M}\left(n\times n;\mathbb{R}\right)}\right|_{t=0}=\mathrm{sp}f'\left(x_{0}\right)=\mathrm{sp}\left[\frac{\partial f_{i}}{\partial x_{j}}\left(x_{0}\right)\right]_{i,j=1}^{n}=\sum_{j=1}^{n}\frac{\partial f_{j}}{\partial x_{j}}\left(x_{0}\right)=\mathrm{div}f\left(x_{0}\right)\]

\end{lem}
\begin{proof}
~\[
\left.\frac{d}{dt}\det\frac{\partial\hat{x}}{\partial x_{0}}\left(t,x_{0}\right)\right|_{t=0}=\left.\mathrm{sp}\frac{\partial^{2}\hat{x}}{\partial t\partial x_{0}}\left(t,x_{0}\right)\right|_{t=0}=\left.\mathrm{sp}\frac{\partial}{\partial x_{0}}f\left(\hat{x}\left(t,x_{0}\right)\right)\right|_{t=0}=\mathrm{sp}f'\left(x_{0}\right)\]

\end{proof}
\begin{thm}
[Liouville]\index{Liouville}Sei%
\marginpar{Liouville%
} $\Omega\subseteq\mathbb{R}^{n}$ meßbar.\[
\Omega_{t}:=\left\{ \hat{x}\left(t,x_{0}\right)\left|x_{0}\in\Omega\right.\right\} \textrm{ für }t\in\left(\sup\left\{ t_{-}\left(x_{0}\right)\left|x_{0}\in\Omega\right.\right\} ,\inf\left\{ t_{+}\left(x_{0}\right)\left|x_{0}\in\Omega\right.\right\} \right)\]
Dann gilt\[
\boxed{\frac{\partial}{\partial t}\mathrm{vol}\Omega_{t}=\int_{\Omega_{t}}\mathrm{div}f\left(x\right)dx}\]
Insbesondere, wenn $f$ divergenzfrei ist, dann ist $\mathrm{vol}\Omega_{t}=\mathrm{const}$.
\end{thm}
\begin{proof}
~\[
\Omega_{s+t}=\left\{ \left.\underbrace{\hat{x}\left(s+t,x_{0}\right)}_{\hat{x}\left(s,\hat{x}\left(t,x_{0}\right)\right)}\right|x_{0}\in\Omega\right\} =\left\{ \left.\hat{x}\left(s,y\right)\right|y\in\Omega_{t}\right\} =\hat{x}\left(s,\Omega_{t}\right)\]
\begin{eqnarray*}
\textrm{vol}\Omega_{t} & = & \int_{\Omega_{t}}dx\\
\frac{d}{ds}\textrm{vol}\Omega_{s+t}\left|_{s=0}\right. & = & \frac{d}{ds}\int_{\Omega_{s+t}}dx\left|_{s=0}\right.\\
 & = & \frac{d}{ds}\int_{\Omega_{t}}\left|\det\frac{\partial\hat{x}}{\partial x_{0}}\left(s,y\right)\right|dy\left|_{s=0}\right.\\
 & = & \int_{\Omega_{t}}\frac{d}{ds}\det\frac{\partial\hat{x}}{\partial x_{0}}\left(s,y\right)\left|_{s=0}\right.dy\\
 & = & \int_{\Omega_{t}}\textrm{sp}f'\left(y\right)dy\\
 & = & \int_{\Omega_{t}}\textrm{div}f\left(y\right)dy\end{eqnarray*}

\end{proof}
Spezialfall: $f\left(x\right)=Ax$, $A\in\mathbb{M}\left(n\times n,\mathbb{R}\right)$\begin{eqnarray*}
\frac{\partial}{\partial t}\Omega_{t} & = & \int_{\Omega_{t}}\textrm{sp}Adx=\textrm{sp}A\textrm{vol}\Omega_{t}\\
\leadsto\,\textrm{vol}\Omega_{t} & = & e^{\textrm{sp}At}\textrm{vol}\Omega_{t=0}\end{eqnarray*}


\begin{thm}
[Poincare]\index{Poincare}Sei%
\marginpar{Poincare%
} $f\in C^{1}\left(\mathbb{R}^{n};\mathbb{R}^{n}\right)$, $\mathrm{div}f\left(x\right)\equiv0$,
$t_{+}\left(x_{0}\right)=\infty$ $\forall x_{0}\in\mathbb{R}^{n}$.
Dann gilt:

$\forall U_{0}\subseteq\mathbb{R}^{n}$ meßbar, $\forall T>0$ $\exists M\subset U_{0}$,
$\mathrm{vol}M=0$ $\forall x_{0}\in U_{0}\setminus M$: $\exists\left(n_{j}\right)_{j=1}^{\infty}\subset\mathbb{N}$,
${\displaystyle \lim_{j\rightarrow\infty}}n_{j}=\infty$ und \[
\boxed{\hat{x}\left(n_{j}T,x_{0}\right)\in U_{0}\qquad\forall j}\]


\end{thm}
$M\subseteq\mathbb{R}^{n}$ heißt \underbar{Nullmenge} ($\textrm{vol}M=0$),
wenn gilt: $\forall\varepsilon>0$ $\exists$Quader $Q_{1},\ldots,Q_{m}\subseteq\mathbb{R}^{n}$
mit $M\supseteq\bigcup_{j=1}^{m}Q_{j}$ und $\sum_{j=1}^{m}\textrm{vol}Q_{j}<\varepsilon$.
D.h. $x\not\in M$ mit Wahrscheinlichkeit 1.

\begin{proof}
Sei $U_{0}\subseteq\mathbb{R}^{n}$, $T>0$ fixiert, zu zeigen ist\[
\textrm{vol}\underbrace{\left\{ x_{0}\in U_{0}\left|\hat{x}\left(nT,x_{0}\right)\not\in U_{0}\textrm{ für unendl. viele }n\in\mathbb{N}\right.\right\} }_{M}=0\]
\[
M=\bigcup_{j=1}^{\infty}\underbrace{\left\{ x_{0}\in U_{0}\left|\hat{x}\left(nT,x_{0}\right)\not\in U_{0}\textrm{ für }n>j\right.\right\} }_{M_{j}}\]
$\Phi:\mathbb{R}^{n}\rightarrow\mathbb{R}^{n}$: $\Phi\left(x_{0}\right):=\hat{x}\left(T,x_{0}\right)$
Diffeomorphismus

$x_{0}\in M_{j}$ $\leadsto$ $\Phi^{jk}\left(x_{0}\right)\not\in M_{j}$
$\forall j,k\in\mathbb{N}$ $\leadsto$ $\Phi^{jk}\left(M_{j}\right)\cap M_{j}=\emptyset$

$\Phi^{jk}\left(M_{j}\right)\cap\Phi^{jl}\left(M_{j}\right)=\Phi^{jl}\left(\Phi^{j\left(k-l\right)}\left(M_{j}\right)\cap M_{j}\right)=\emptyset$
falls $k>l$.

zu zeigen ist: $\textrm{vol}M_{j}=0$.

$\textrm{vol}M_{j}=\textrm{vol}\Phi\left(M_{j}\right)$ nach Satz
von Liouville ($\hat{x}\left(T,\cdot\right)=\Phi$ ist volumenerhaltend),
da $\textrm{div}f=0$.

Angenommen, es ex. ein $j_{0}$ mit $\Phi^{j_{0}}\left(M_{j_{0}}\right)>0$.
Dann ist\[
\infty>\textrm{vol}U_{0}\geq\textrm{vol}\bigcup_{k=1}^{\infty}\Phi^{j_{0}k}\left(M_{j_{0}}\right)=\sum_{k=1}^{\infty}\underbrace{\textrm{vol}\Phi^{j_{0}k}\left(M_{j_{0}}\right)}_{\textrm{vol}M_{j_{0}}}=\sum_{k=1}^{\infty}\underbrace{\textrm{vol}M_{j_{0}}}_{>0}=\infty\]
Widerspruch.

\end{proof}
\appendix

\newpage
\section{Übersicht}


\subsubsection*{Begriffe}

\begin{itemize}
\item DGL, DGL-System, Ordnung, Normalform
\medskip{}
\item lin. und nichtlin. DGL und DGLsystem, autonom und nichtautonom
\medskip{}
\item homogene und nichthomogene lineare DGLen und DGLsysteme
\medskip{}
\item Vektorfeld, Richtungsfeld, Phasenraum, erweiterter Phasenraum, Fluß,
Trajektorie, Phasenkurve
\end{itemize}

\subsubsection*{Lösungsmethoden}

\begin{itemize}
\item Gleichung mit getrennten Variablen, Koordinatentransformation
\medskip{}
\item maximaler Definitionsbereich, Langzeitverhalten
\end{itemize}

\subsubsection*{Die Anfangswertaufgabe}

\begin{itemize}
\item Satz von Picard-Lindelöf (Banachscher Fixpunktsatz auf Volterra'sche
Integralgleichung)
\medskip{}
\item vollständiger metrischer Raum, vollständiger normierter Raum (Banachraum),
kontraktive Abbildung, $C\left(\left[t_{0}-\varepsilon,t_{0}+\varepsilon\right];\mathbb{R}^{n}\right)$
\medskip{}
\item maximale Lösung, unbeschränkte Fortsetzbarkeit, Satz über das Verhalten
nicht unbeschränkt fortsetzbarer Lösungen
\medskip{}
\item Gronwall'sches Lemma, unbeschränkte Fortsetzbarkeit von Lösungen von
linearen DGLen und DGLsystemen
\end{itemize}

\subsubsection*{Lineare DGL und DGLsysteme}

\begin{itemize}
\item homogene DGL und DGLsystem: Fundamentalsystem, allgemeine Lösung
\medskip{}
\item inhomogene DGL und DGLsystem: allgemeine Lösung des inhomogenes Systems
= partikuläre Lösung des inhomogenen Systems + allgemeine Lösung des
homogenen Systems


\medskip{}
\noindent Variation der Konstanten

\medskip{}
\item autonome homogene DGL und DGLsystem: Exponentialfunktion für Matrizen,
Eigenwerte und ihre Vielfachheiten, Eigenvektoren und beigeordnete
Eigenvektoren, Jordan-Ketten


\medskip{}
\noindent $n=2$: Phasenportraits

\end{itemize}

\subsubsection*{Stabilität stationärer Lösungen}

\begin{itemize}
\item stabil, asymptotisch stabil (Unterschied zur stetigen Abhängigkeit
von Anfangswerten)
\medskip{}
\item Prinzip der linearisierten Stabilität, zwei Liapunov-Kriterien (Liapunov-Funktion,
erstes Integral)\vfill{}

\end{itemize}
\begin{thebibliography}{Amann}
\bibitem[Arnold]{Arnold}V. Arnold, Gewöhnliche Differentialgleichungen
\bibitem[Amann]{Amann}H. Amann, Gewöhnliche Differentialgleichungen\newpage

\end{thebibliography}
\printindex{}
\end{document}