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\begin{document}

\title{Regelflächen}

\maketitle
{\centering Daniel Seifert, Stefan Vigerske\\
3. Juni 2002\par}


\section{Voraussetzungen}

Wir erinnern an die folgenden Definitionen:

\begin{defn}
(Vektorfeld)\\
Sei \( f:U\rightarrow \R ^{3} \) ein Flächenstück. Dann heißt die
stetige Abbildung \( X:U\rightarrow \R ^{3} \) ein \underbar{Vektorfeld
längs f}.
\end{defn}
~

\begin{defn}
Sei \( f:U\rightarrow \R ^{3} \) ein Flächenstück.\[
N:U\rightarrow S^{2},\, N\left( u,v\right) :=\frac{\frac{\partial f}{\partial u_{1}}\times \frac{\partial f}{\partial u_{2}}}{\left\Vert \frac{\partial f}{\partial u_{1}}\times \frac{\partial f}{\partial u_{2}}\right\Vert }\]
 heißt \underbar{Gauß-Abbildung}. \[
L:=-DN\circ \left( Df\right) ^{-1}:Tf\rightarrow Tf\]
 heißt \underbar{Weingartenabbildung}.

Die \underbar{erste Fundamentalform} \( I \) von \( f \) ist definiert
als\[
I:Tf\times Tf\rightarrow \R ,\, I\left( X,Y\right) :=\left\langle X,Y\right\rangle \]
Für die Matrix der ersten Fundamentalform schreibt man auch\[
I=\left( \begin{array}{cc}
E & F\\
F & G
\end{array}\right) \]


Die \underbar{zweite Fundamentalform} \( II \) von \( f \) ist definiert
als\[
II\left( X,Y\right) :=I\left( LX,Y\right) =\left\langle LX,Y\right\rangle \]
Für die Matrix der zweiten Fundamentalform schreibt man auch\[
II=\left( \begin{array}{cc}
e & f\\
f & g
\end{array}\right) \]


Die Determinante \( K \) der Weingarten-Abbildung heißt \underbar{Gauß-Krümmung}
von \( f \). In den Koeffizienten der ersten und zweiten Fundamentalform
hat \( K \) dann folgendes Aussehen:\[
K=\frac{eg-f^{2}}{EG-F^{2}}\]

\end{defn}

\section{Definition und Eindeutigkeit}

\begin{defn}
(Regelfläche)\label{definition_regelflaeche}\\
Eine Fläche heißt \underbar{Regelfläche} (oder geradlinige Fläche),
wenn sie eine \( \left( C^{2}-\right)  \)Parametrisierung der folgenden
Art zuläßt:\[
f\left( u,v\right) =c\left( u\right) +v\cdot X\left( u\right) \]
 Dabei ist \( c \) eine Kurve (nicht notwendigerweise regulär, aber
differenzierbar) und \( X \) ein nirgends verschwindendes Vektorfeld
längs \( c \).
\end{defn}
\begin{rem}
Mit obigen Bezeichnungen nennen wir \( c \) die \underbar{Leitkurve}
der Regelfläche. Die von \( X \) aufgespannten Geraden bezeichnen
wir als die \underbar{Erzeugenden} der Regelfläche.
\end{rem}
Anschaulich können wir uns eine Regelfläche so vorstellen, daß eine
Gerade im Raum entlang einer Kurve bewegt wird. Die damit beschrittene
Fläche ist dann die Regelfläche. 


\begin{figure}[h!!bp]
{\centering \resizebox*{0.3\textwidth}{!}{\includegraphics{regelflaeche1.eps}} \par}


\caption{Beispiel Regelfläche}
\end{figure}


Um Regelflächen miteinander \emph{vergleichen} zu können, muß man
eine generische Form finden. Das dies möglich ist, zeigt das folgende
Lemma.

\begin{lem}
\label{lemma_standardparameter}(Standardparameter)\\
Sei \( f\left( t,s\right) =c(t)+s\cdot X(t) \) eine Regelfläche für
die gilt, daß \( \frac{dX}{dt}\neq 0 \) in einem Intervall \( t_{1}<t<t_{2} \).
Dann kann man \( f \) eindeutig zu \( f_{*}\left( u,v\right) =c_{*}(u)+v\cdot X_{*}(u) \)
umparametrisieren, so daß gilt:\begin{eqnarray*}
X_{*} & = & \frac{X}{\left| \left| X\right| \right| }\\
\left| \left| X_{*}'\right| \right|  & = & 1\\
\left\langle c_{*}',X_{*}'\right\rangle  & = & 0
\end{eqnarray*}
 

Dabei bezeichnen wir \( c_{*} \) als \underbar{Striktionslinie} (oder
auch als Kehllinie).
\end{lem}
\begin{proof}
Da \( X \) eine reguläre Kurve ist, können wir \( u \) so wählen,
daß \( X_{*}:=\frac{X}{||X||} \) auf Bogenlänge parametrisiert ist,
d.h. \( \left| \left| X_{*}'\right| \right| =1 \)

Wir betrachten nun das \( v \) als von \( u \) abhängige Funktion:
\( c_{*}(u)=c(u)+v(u)\cdot X_{*}(u) \). Dann gilt:\begin{eqnarray*}
\left\langle c_{*}',X_{*}'\right\rangle  & = & \left\langle c'+v(u)\cdot X_{*}'+v'(u)X_{*},X_{*}'\right\rangle \\
 & = & \left\langle c',X_{*}'\right\rangle +v(u)\\
 & = & 0
\end{eqnarray*}
genau dann, wenn \( v(u)=-\left\langle c',X_{*}'\right\rangle  \)
ist. Damit ist \( c_{*} \) eindeutig bestimmt.
\end{proof}
\begin{rem}
Die Striktionslinie ist bei windschiefen Geraden geometrisch als die
Menge der Punkte auf den Geraden mit dem kürzesten Abstand zur Nachbargerade
zu interpretieren. Bei einer Schraubregelfläche ist die Striktionslinie
also entweder die Achse, eine Schraubenlinie oder ein Kreis.


\begin{figure}[h!!bp]
{\centering \resizebox*{0.3\textwidth}{!}{\includegraphics{helicoid.eps}} \par}


\caption{Schraubregelfläche}
\end{figure}

\end{rem}
\begin{thm}
\label{satz_eindeutigkeit}(Eindeutigkeit einer Regelfläche)\\
In den Standardparametern (vgl. Lemma \ref{lemma_standardparameter})
ist eine Regelfläche bis auf euklidische Bewegungen eindeutig bestimmt
durch die folgenden Größen\begin{eqnarray*}
F & = & \left\langle c',X\right\rangle \\
\lambda :=\left\langle c'\times X,X'\right\rangle  & = & \det \left( c',X,X'\right) \\
J:=\left\langle X'',X\times X'\right\rangle  & = & \det \left( X,X',X''\right) 
\end{eqnarray*}
 jeweils als Funktion von \( u \).

Umgekehrt gilt, daß die Wahl dieser drei Größen eine eindeutige Regelfläche
bestimmt. Für diese gilt dann, daß die erste Fundamentalform wie folgt
aussieht:\begin{eqnarray*}
I & = & \left( \begin{array}{cc}
\left\langle c',c'\right\rangle +v^{2} & \left\langle c',X\right\rangle \\
\left\langle c',X\right\rangle  & 1
\end{array}\right) \\
 & = & \left( \begin{array}{cc}
F^{2}+\lambda ^{2}+v^{2} & F\\
F & 1
\end{array}\right) 
\end{eqnarray*}

\end{thm}
\begin{proof}
\( X \) ist eindeutig durch die Vorgabe von \( J \) bestimmt (\cite{key-2}
2.8, 2.11). Um die eindeutige Leitkurve zu erhalten, benutzen wir
das orthonormale Bein \( X \), \( X' \), \( X\times X' \):\begin{eqnarray}
c' & = & \left\langle c',X\right\rangle X+\left\langle c',X'\right\rangle X'+\left\langle c',X\times X'\right\rangle X\times X'\\
 & = & FX+\lambda X\times X'\label{dgl} 
\end{eqnarray}
 \( F \), \( \lambda  \) und \( X \) sind vorgegeben durch die
Gleichungen, damit ist \ref{dgl} ein System linearer Differentialgleichungen
mit der Lösung\[
c(u)=c\left( u_{0}\right) +\int _{u_{0}}^{u}\left( FX+\lambda X\times X'\right) dt\]
 Durch Wahl eines Startpunktes \( c\left( u_{0}\right)  \) erhalten
wir eine Anfangsbedingung und eine eindeutig bestimmte Kurve \( c \).

Daß im Gegenzug eine Regelfläche die obigen drei Werte eindeutig festlegt,
ist klar.
\end{proof}
\begin{rem}
Mit den Definitionen des Satzes gilt:
\begin{itemize}
\item \( F=\left| \left| c'\right| \right| \cdot cos\varphi  \) bestimmt
den Winkel \( \varphi  \) zwischen der Striktionslinie und \( X \) 
\item \( J \) bestimmt die Krümmung der (sphärischen) Kurve \( X \) 
\item \( \lambda  \) heißt Drall der Fläche (engl.: ,,parameter of distribution'')
\end{itemize}
\end{rem}

\section{Torsen}

\begin{defn}
(Torse)\\
Eine Regelfläche, deren Gauß-Abbildung konstant längs jeder der Geraden
ist, d.h. \( \frac{\partial N}{\partial v}\equiv 0 \), heißt \underbar{Torse}.
\begin{figure}[h!!bp]
{\centering \resizebox*{0.35\textwidth}{!}{\includegraphics{schmiegtorse.eps}} \par}


\caption{Eine Torse}
\end{figure}

\end{defn}
\begin{thm}
\label{charakterisierung_torse}Eine offene und dichte Teilmenge einer
jeder Torse \( f\left( u,v\right) =c\left( u\right) +v\cdot X\left( u\right)  \)
besteht aus Stücken von Ebenen, Kegeln\footnote{%
Eine Regelfläche heißt \underbar{Kegel}, wenn eine Parametrisierung
der Form \( f\left( u,v\right) =x+v\cdot X\left( u\right)  \) mit
einem konstanten Vektor \( x \) existiert.
}, Zylindern\footnote{%
Eine Regelfläche heißt \underbar{Zylinder}, wenn eine Parametrisierung
der Form \( f\left( u,v\right) =c\left( u\right) +v\cdot X_{0} \)
mit einem konstanten Vektor \( X_{0} \) existiert.
} sowie Tangentenflächen\footnote{%
Eine Regelfläche heißt \underbar{Tangentenfläche}, wenn eine Parametrisierung
als Regelfläche existiert, bei der der Vektor \( X \) tangential
an der Kurve \( c \) liegt.
}.
\end{thm}
\begin{proof}
Falls \( X'=0 \) auf einem Intervall ist, so ist \( X\left( u\right) =X_{0} \)
konstant. Dann ist die Fläche ein Zylinderstück. Ein Spezialfall ist
die Ebene, z.B. wenn \( c \) eine Gerade ist.

Falls nun \( X'\neq 0 \) auf einem Intervall gilt, so können wir
nach Lemma \ref{lemma_standardparameter} o.B.d.A. annehmen, daß \( f \)
in Standardparametern vorliegt (d.h. \( \left\Vert X'\right\Vert =1,\, \left\langle c',X'\right\rangle =0 \))

Für die Gauß-Abbildung \( N \) gelten die Gleichungen\begin{eqnarray*}
\left\langle N,\frac{\partial f}{\partial v}\right\rangle =\left\langle N,X\right\rangle  & = & 0\\
\left\langle N,\frac{\partial f}{\partial u}\right\rangle =\left\langle N,c'+vX'\right\rangle  & = & 0
\end{eqnarray*}
 Die Ableitung der zweiten Gleichung nach \( v \) liefert dann mit
\( \frac{\partial N}{\partial v}=0 \):\begin{eqnarray*}
0=\left\langle \frac{\partial N}{\partial v},c'+vX'\right\rangle +\left\langle N,X'\right\rangle  & = & \left\langle N,X'\right\rangle 
\end{eqnarray*}
 Also steht der normierte Vektor \( N \) auf \( X \) und \( X' \)
senkrecht, d.h. \( N=X\times X' \). In der Darstellung von \( c' \)
im Dreibein \( X,X',X\times X' \) ist dann wegen Lemma \ref{lemma_standardparameter},
Satz \ref{satz_eindeutigkeit} und \( c'\in T_{p}f \): \[
c'=F\cdot X+\underbrace{\left\langle c',X'\right\rangle }_{=0}\cdot X'+\underbrace{\left\langle c',N\right\rangle }_{=0}\cdot N=F\cdot X\]


Falls nun \( c'=0 \) auf einem Intervall gilt, dann ist \( c \)
konstant und die Fläche ein Stück eines Kegels.

Falls \( c'\neq 0 \), so liegt wegen \( c'=FX \) der Vektor \( X \)
tangential an \( c \), d.h. es liegt eine Tangentenfläche vor.

\end{proof}
\begin{defn}
(abwickelbar)\\
Eine Regelfläche heißt \underbar{abwickelbar}, wenn sie lokal in eine
Ebene abgebildet werden kann unter Erhaltung der ersten Fundamentalform
und der erzeugenden Geraden.
\end{defn}
Anschaulich kann man sich dies so vorstellen, daß man eine der Geraden
der Regelfläche in die Ebene legt und dann die Regelfläche von beiden
Seiten der Gerade \emph{abwickelt} und Längen und Winkel bewahrt.

\begin{thm}
\label{satz_aequivalenz_abwickelbar}(äquivalente Aussagen für Abwickelbarkeit)\\
Für eine Regelfläche \( f\left( u,v\right) =c\left( u\right) +v\cdot X\left( u\right)  \)
sind folgende Aussagen äquivalent:
\begin{enumerate}
\item Die Fläche ist abwickelbar.
\item \( K\equiv 0 \) 
\item Entlang jeder der Geraden sind alle Flächennormalen zueinander parallel,
d.h. die Gauß-Abbildung ist konstant längs jeder der Geraden, d.h.
die Fläche ist eine Torse.
\end{enumerate}
\end{thm}
\begin{proof}
~

Wie im Beweis von Satz \ref{charakterisierung_torse} erhält man \begin{eqnarray*}
\left\langle N,\frac{\partial f}{\partial v}\right\rangle =\left\langle N,X\right\rangle  & = & 0\\
\left\langle N,\frac{\partial f}{\partial u}\right\rangle =\left\langle N,c'+vX'\right\rangle  & = & 0
\end{eqnarray*}
 Ableiten der ersten Gleichung nach \( v \) ergibt dann:\begin{eqnarray*}
g=\left\langle \frac{\partial N}{\partial v},X\right\rangle  & = & 0
\end{eqnarray*}
Damit hat dann die Gaußsche Krümmung \( K \) die Form\[
K=\frac{-f^{2}}{EG-F^{2}}\]
Ableiten der zweiten Gleichung nach \( v \) liefert\begin{eqnarray*}
\left\langle \frac{\partial N}{\partial v},c'+vX'\right\rangle +\left\langle N,X'\right\rangle  & = & 0
\end{eqnarray*}
Da \( \frac{\partial N}{\partial v} \) tangential an der Fläche anliegt,
ist im allgemeinen \( \left\langle \frac{\partial N}{\partial v},c'+vX'\right\rangle \neq 0 \).

\( \left( 2\right) \Leftrightarrow \left( 3\right)  \): Die Gauß-Abbildung
\( N \) ist konstant längs jeder der Geraden, d.h. \begin{eqnarray*}
0 & = & \frac{\partial N}{\partial v}\\
\Leftrightarrow \, 0 & = & \left\langle \frac{\partial N}{\partial v},c'+vX'\right\rangle +\left\langle N,X'\right\rangle =\left\langle N,X'\right\rangle =\left\langle N,\frac{\partial ^{2}f}{\partial u\partial v}\right\rangle =f\\
\Leftrightarrow \, 0 & = & K
\end{eqnarray*}


\( \left( 2\right) \Rightarrow \left( 1\right)  \): Wegen \( \left( 2\right) \Leftrightarrow \left( 3\right)  \)
und Satz \ref{charakterisierung_torse} müssen wir nur noch zeigen,
daß die vier Flächentypen abwickelbar sind. Für eine zusammengesetzte
Fläche kann man dann auch diese Abwicklungen zusammensetzen, da sie
die erzeugenden Geraden stets in Geraden überführen:

\begin{itemize}
\item Die \underbar{Ebene} ist trivialerweise abwickelbar.
\item Für einen \underbar{Zylinder} können wir \( c \) so wählen, daß \( c' \)
ein Einheitsvektor ist und orthogonal auf dem konstanten Vektor \( X_{0} \)
steht, d.h. wir wählen die Leitkurve \( c \) so, daß sie immer auf
der gleichen ,,Höhe'' des Zylinders verläuft. Außerdem können wir
\( X_{0} \) als einen normierten Vektor betrachten. In diesen Parametern
wird die erste Fundamentalform dann die euklidische Metrik in kartesischen
Koordinaten:\begin{eqnarray*}
\left( \begin{array}{cc}
E & F\\
F & G
\end{array}\right)  & = & \left( \begin{array}{cc}
\left\langle \frac{\partial f}{\partial u},\frac{\partial f}{\partial u}\right\rangle  & \left\langle \frac{\partial f}{\partial u},\frac{\partial f}{\partial v}\right\rangle \\
\left\langle \frac{\partial f}{\partial v},\frac{\partial f}{\partial u}\right\rangle  & \left\langle \frac{\partial f}{\partial v},\frac{\partial f}{\partial v}\right\rangle 
\end{array}\right) \\
 & = & \left( \begin{array}{cc}
\left\Vert c'\right\Vert ^{2} & \left\langle c',X_{0}\right\rangle \\
\left\langle c',X_{0}\right\rangle  & \left\Vert X_{0}\right\Vert 
\end{array}\right) \\
 & = & \left( \begin{array}{cc}
1 & 0\\
0 & 1
\end{array}\right) 
\end{eqnarray*}

\item Für einen \underbar{Kegel} ist die Leitkurve \( c \) konstant, d.h.
\( c'=0 \), so daß bei einer Parametrisierung in Standardparametern
mit Satz \ref{satz_eindeutigkeit} gilt\begin{eqnarray*}
F & = & \left\langle c',X\right\rangle =0\\
\lambda  & = & \left\langle c'\times X,X'\right\rangle =0\\
\Rightarrow \, I & = & \left( \begin{array}{cc}
v^{2} & 0\\
0 & 1
\end{array}\right) 
\end{eqnarray*}
 Dasselbe liefern die Polarkoordinaten für die euklidische Ebene,
so daß auch hier die erste Fundamentalform erhalten bleibt.
\item Für eine \underbar{Tangentenfläche} in Standardparametern gilt \( c'\times X=0 \),
so daß mit Satz \ref{satz_eindeutigkeit} gilt:\begin{eqnarray*}
I & = & \left( \begin{array}{cc}
F^{2}+\left\langle c'\times X,X'\right\rangle ^{2}+v^{2} & F\\
F & 1
\end{array}\right) \\
 & = & \left( \begin{array}{cc}
F^{2}+v^{2} & F\\
F & 1
\end{array}\right) 
\end{eqnarray*}
 Die gleiche erste Fundamentalform erhalten wir (lokal) auch für eine
gewöhnliche (ebene) Kreislinie \( \tilde{c}\left( u\right) =F\cdot \left( \cos \left( u\right) ,\sin \left( u\right) ,0\right)  \)
vom Radius \( \left| F\right|  \) und die Einheitstangente \( \tilde{X}=\left( -\sin \left( u\right) ,\cos \left( u\right) ,0\right)  \)
an \( \tilde{c} \), denn es ist \begin{eqnarray*}
\tilde{F}=\left\langle \tilde{c}',\tilde{X}\right\rangle  & = & F\cdot \left\langle \left( -\sin \left( u\right) ,\cos \left( u\right) \right) ,\left( -\sin \left( u\right) ,\cos \left( u\right) \right) \right\rangle =F\\
\tilde{\lambda }=\left\langle \tilde{c}'\times \tilde{X},\tilde{X}'\right\rangle  & = & \left\langle 0,\tilde{X}'\right\rangle =0=\lambda \\
\tilde{G}=\left\langle \tilde{X},\tilde{X}\right\rangle  & = & 1=G
\end{eqnarray*}
 Also läßt sich die Tangentenfläche lokal in eine solche ebene Kreislinie
überführen, bei der die erste Fundamentalform erhalten bleibt.
\end{itemize}
\( \left( 1\right) \Rightarrow \left( 3\right)  \): Wir können annehmen,
daß die Leitkurve \( c \) nach Bogenlänge parametrisiert ist und
senkrecht auf dem Vektorfeld \( X \) mit \( \left\Vert X\right\Vert =1 \)
steht.

Mit Satz \ref{satz_eindeutigkeit} wird dann die erste Fundamentalform
zu\begin{eqnarray*}
E & = & \left\langle \frac{\partial f}{\partial u},\frac{\partial f}{\partial u}\right\rangle =\left\langle c'+vX',c'+vX'\right\rangle =1+2v\left\langle c',X'\right\rangle +v^{2}\left\Vert X'\right\Vert ^{2}\\
F & = & \left\langle c',X\right\rangle =0\\
G & = & \left\Vert X\right\Vert ^{2}=1
\end{eqnarray*}
 Nach Annahme gibt es eine Abwicklung in die Ebene. Diese bildet \( c \)
auf eine Kurve \( \gamma  \) ab, die ebenfalls nach Bogenlänge parametrisiert
ist, sowie \( X \) auf ein dazu senkrechtes Einheitsvektorfeld \( \xi  \).
Das zugehörige Frenet-2-Bein ist \begin{eqnarray*}
e_{1} & = & \gamma '\\
e_{2} & = & \pm \xi \textrm{ }(\textrm{da Kurve in Ebene liegt},\textrm{ }e_{2}\bot e_{1}\textrm{ und }\left\Vert e_{2}\right\Vert =1)
\end{eqnarray*}
 Wegen\[
\gamma '+v\xi '=e_{1}\mp ve_{2}'=e_{1}\mp v\kappa e_{1}=\left( 1\mp v\kappa \right) e_{1}=\left( 1\mp v\kappa \right) \gamma '\]
 ist die entsprechende erste Fundamentalform dann:\begin{eqnarray*}
E^{*} & = & \left\Vert \gamma '+v\xi '\right\Vert ^{2}=\left( 1\mp v\kappa \right) ^{2}\\
F^{*} & = & \left\langle \gamma '+v\xi ',\xi \right\rangle =v\left\langle \xi ',\xi \right\rangle =0\\
G^{*} & = & \left\Vert \xi \right\Vert =1
\end{eqnarray*}
 Nach Voraussetzung erhält die Abwickelbarkeit die erste Fundamentalform,
so daß gilt\begin{eqnarray*}
1+2v\left\langle c',X'\right\rangle +v^{2}\left\Vert X'\right\Vert ^{2}=E & = & E^{*}=\left( 1\mp v\kappa \right) ^{2}=1\mp 2v\kappa +v^{2}\kappa ^{2}
\end{eqnarray*}
Durch Koeffizientenvergleich für \( v \) ergibt sich dann\begin{eqnarray*}
\left\langle c',X'\right\rangle  & = & \mp \kappa \\
\left\Vert X^{'}\right\Vert ^{2} & = & \kappa ^{2}\\
\Rightarrow \, \left\langle c',\frac{X'}{\left\Vert X'\right\Vert }\right\rangle  & = & \mp 1
\end{eqnarray*}
 Weil \( c' \) ein Einheitsvektor ist, ist dies nur möglich, wenn
\( c' \) und \( X' \) linear abhängig sind (\( \cos \alpha =\pm 1\leftrightarrow \alpha \in \left\{ 0,\pi \right\}  \)),
d.h. \( \exists \alpha :X'=\alpha c' \). Dann wird die Einheitsnormale
der Fläche aber einfach zu\begin{eqnarray*}
N & = & \frac{\frac{\partial f}{\partial u}\times \frac{\partial f}{\partial v}}{\left\Vert \frac{\partial f}{\partial u}\times \frac{\partial f}{\partial v}\right\Vert }\\
 & = & \frac{\left( c'+vX'\right) \times X}{\left\Vert \left( c'+vX'\right) \times X\right\Vert }\\
 & = & \frac{\left( c'+v\alpha c'\right) \times X}{\left\Vert \left( c'+v\alpha c'\right) \times X\right\Vert }\\
 & = & \frac{\left( 1+v\alpha \right) \left( c'\times X\right) }{\left\Vert \left( 1+v\alpha \right) \left( c'\times X\right) \right\Vert }\\
 & = & c'\times X
\end{eqnarray*}
 und hängt folglich nicht mehr von \( v \) ab. Also ist \( N \)
konstant längs jeder der Geraden.

\end{proof}
~

\begin{thm}
Ein jedes flachpunktfreies Flächenstück mit \( K\equiv 0 \) ist eine
Regelfläche.
\end{thm}
\begin{proof}
Zunächst eine kurze Wiederholung:
\begin{defn*}
Die Eigenwerte der Weingartenabbildung \( L \) heißen \underbar{Hauptkrümmungen}
von \( f \). Die zugehörigen Eigenvektoren heißen \underbar{Hauptkrümmungsrichtungen}
von \( f \).

Ein Punkt \( p \) von \( f \) heißt \underbar{Flachpunkt}, wenn
beide Hauptkrümmungen von \( f \) in \( p \) Null sind.

Ein Punkt \( p \) von \( f \) heißt \underbar{Nabelpunkt}, wenn
die Hauptkrümmungen von \( f \) in \( p \) gleich sind.
\end{defn*}
Seien nun \( \kappa _{1},\kappa _{2} \) die Hauptkrümmungen der Fläche
\( f \), also die Eigenwerte von \( L \). Nach Voraussetzung ist
\( L\not \equiv 0 \). Wegen \( 0\equiv K=\det \left( L\right) =\kappa _{1}\cdot \kappa _{2} \)
gilt dann \( \kappa _{1}\neq \kappa _{2} \) und eines der \( \kappa _{i} \)
ist Null. 

Dann besitzt die Fläche keine Nabelpunkte, und man kann sie lokal
so umparametrisieren, daß die neuen Parameter Krümmungslinienparameter\footnote{%
Eine reguläre Kurve \( c=f\circ \gamma ,\, \gamma :I\subseteq \R \rightarrow U\subseteq \R ^{2},f:U\rightarrow \R ^{3} \)
heißt \underbar{Krümmungslinie}, falls die Einheits-Tangente \( \frac{c'\left( t\right) }{\left\Vert c'\left( t\right) \right\Vert } \)
in jedem Punkt eine Hauptkrümmungsrichtung ist.

Man sagt, ein Flächenstück ist nach \underbar{Krümmungslinienparametern}
parametrisiert, falls \( v\mapsto f\left( u_{0},v\right)  \) und
\( u\mapsto f\left( u,v_{0}\right)  \) für feste \( u_{0} \) und
\( v_{0} \) Krümmungslinien sind.
} sind (folgt aus der Theorie partieller Differentialgleichungen),
so daß \( u\mapsto f\left( u,v_{0}\right)  \) die Krümmungslinie
zur Hauptkrümmung \( \kappa _{1}\neq 0 \) und \( v\mapsto f\left( u_{0},v\right)  \)
die Krümmungslinie zur Hauptkrümmung \( \kappa _{2}=0 \) ist.

Sei also \( c\left( v\right) :=f\left( u_{0},v\right)  \) die Krümmungslinie
zur zweiten Hauptkrümmung. Dann ist \( c'=\frac{\partial f}{\partial v} \),
\( c''=\frac{\partial ^{2}f}{\partial v^{2}} \), \begin{equation}
\label{Df_HKR}
L\left( \frac{\partial f}{\partial v}\right) =\kappa _{2}\cdot \frac{\partial f}{\partial v}=0\textrm{ und }L\left( \frac{\partial f}{\partial u}\right) =\kappa _{1}\cdot \frac{\partial f}{\partial u}
\end{equation}
 und damit \begin{equation}
\label{N_v_is_0}
0=L\left( \frac{\partial f}{\partial v}\right) =-DN\circ \left( Df\right) ^{-1}\left( \frac{\partial f}{\partial v}\right) =-DN\left( \begin{array}{c}
0\\
1
\end{array}\right) =-\frac{\partial N}{\partial v}
\end{equation}
\begin{equation}
\label{N_u_is_-kf_u}
-\kappa _{1}\cdot \frac{\partial f}{\partial u}=-L\left( \frac{\partial f}{\partial u}\right) =DN\left( \begin{array}{c}
1\\
0
\end{array}\right) =\frac{\partial N}{\partial u}
\end{equation}
Wir behaupten nun, daß die Kurve \( c \) eine euklidische Gerade
ist für jedes feste \( u_{0} \), d.h. das deren Krümmung Null ist,
also \( c''=0 \):

Differentiation von \( \left\langle c',N\right\rangle =0 \) nach
\( v \) ergibt: \begin{eqnarray*}
\left\langle c'',N\right\rangle +\left\langle c',\frac{\partial N}{\partial v}\right\rangle  & = & 0\\
\Rightarrow \, \left\langle c'',N\right\rangle  & = & -\left\langle \frac{\partial N}{\partial v},\frac{\partial f}{\partial v}\right\rangle \\
 & = & \left\langle L\left( \frac{\partial f}{\partial v}\right) ,\frac{\partial f}{\partial v}\right\rangle 
\end{eqnarray*}
 Mit \ref{Df_HKR} folgt dann \[
\left\langle c'',N\right\rangle =0.\]


Da die Hauptkrümmungsrichtungen orthogonal zueinander sind\footnote{%
\begin{eqnarray*}
\kappa _{1}\cdot \left\langle \frac{\partial f}{\partial u},\frac{\partial f}{\partial v}\right\rangle  & = & \left\langle L\left( \frac{\partial f}{\partial u}\right) ,\frac{\partial f}{\partial v}\right\rangle \\
 & = & \left\langle -\frac{\partial N}{\partial u},\frac{\partial f}{\partial v}\right\rangle \\
 & = & -\left( \frac{\partial }{\partial u}\underbrace{\left\langle N,\frac{\partial f}{\partial v}\right\rangle }_{=0}-\left\langle N,\frac{\partial ^{2}f}{\partial u\partial v}\right\rangle \right) \\
 & = & \frac{\partial }{\partial v}\left\langle N,\frac{\partial f}{\partial v}\right\rangle -\left\langle \frac{\partial N}{\partial v},\frac{\partial f}{\partial u}\right\rangle \\
 & = & \left\langle L\left( \frac{\partial f}{\partial v}\right) ,\frac{\partial f}{\partial u}\right\rangle \\
 & = & \kappa _{2}\cdot \left\langle \frac{\partial f}{\partial u},\frac{\partial f}{\partial v}\right\rangle \\
\kappa _{1}\neq \kappa _{2}\, \Rightarrow \, \left\langle \frac{\partial f}{\partial u},\frac{\partial f}{\partial v}\right\rangle  & = & 0
\end{eqnarray*}

}, erhält man durch Differentiation von \( \left\langle \frac{\partial f}{\partial u},\frac{\partial f}{\partial v}\right\rangle =0 \)
nach \( v \) und mit \ref{N_u_is_-kf_u}:\begin{eqnarray*}
\left\langle \frac{\partial ^{2}f}{\partial u\partial v},\frac{\partial f}{\partial v}\right\rangle +\left\langle \frac{\partial f}{\partial u},\frac{\partial ^{2}f}{\partial v^{2}}\right\rangle  & = & 0\\
\Rightarrow \, \left\langle c'',\frac{\partial f}{\partial u}\right\rangle =\left\langle \frac{\partial ^{2}f}{\partial v^{2}},\frac{\partial f}{\partial u}\right\rangle  & = & -\left\langle \frac{\partial ^{2}f}{\partial u\partial v},\frac{\partial f}{\partial v}\right\rangle \\
 & = & \left\langle \frac{\partial }{\partial v}\left( -\frac{\partial f}{\partial u}\right) ,\frac{\partial f}{\partial v}\right\rangle \\
 & = & \left\langle \frac{\partial }{\partial v}\left( \frac{1}{\kappa _{1}}\frac{\partial N}{\partial u}\right) ,\frac{\partial f}{\partial v}\right\rangle \\
 & = & \frac{1}{\kappa _{1}}\cdot \left\langle \frac{\partial }{\partial u}\left( \frac{\partial N}{\partial v}\right) ,\frac{\partial f}{\partial v}\right\rangle 
\end{eqnarray*}
Mit \ref{N_v_is_0} folgt dann \[
\left\langle c'',\frac{\partial f}{\partial u}\right\rangle =0\]
 Damit haben wir erhalten\[
c''\bot N,\, c''\bot \frac{\partial f}{\partial u},\, N\bot \frac{\partial f}{\partial u},\, N\bot \frac{\partial f}{\partial v}=c'\textrm{ und }\frac{\partial f}{\partial u}\bot \frac{\partial f}{\partial v}=c'\]
 Also müssen \( c' \) und \( c'' \) linear abhängig sein. Wenn wir
\( c \) aber nun auf Bogenlänge umparametrisieren, erhalten wir mittels
Frenetschen Dreibein zusätzlich \( c'\bot c'' \).

Nun kann aber \( c'' \) nur dann zugleich orthogonal zu und linear
abhängig von \( c' \) sein, wenn \( c''=0 \) gilt. Dann ist \( c \)
eine Gerade (da \( c'= \)const), also \( v\rightarrow f\left( u_{0},v\right)  \)
eine Gerade für jedes \( u_{0} \), also \( f \) eine Regelfläche.

\end{proof}
\begin{thebibliography}{WMT}
\bibitem[K99]{key-2}Kühnel, Wolfgang: ,,Differentialgeometrie'', Vieweg Verlag, Braunschweig/Wiesbaden,
1999
\bibitem[K73]{key-3}Klingenberg, Wilhelm: ,,Eine Vorlesung über Differentialgeometrie'',
Heidelberger Taschenbücher Band 107, Springer Verlag, Berlin Heidelberg
New York 1973
\bibitem[G93]{key-4}Gray, Alfred: ,,Modern differential geometry of curves and surfaces'',
CRC Press, 1993
\bibitem[WMT]{key-5}http://io.math.uni-bonn.de/people/weber/teaching/diffgeo/standard/Links/standard\_lnk\_2.html\end{thebibliography}

\end{document}