DFG-Projekt Ausdehnung von Hilbert-Problemen
Die Hilbertschen Probleme spiel(t)en eine wichtige Rolle in der Entwicklung der Mathematik in diesem Jahrhundert, wobei ihre integrierende Wirkung auf Zahlentheorie, Anaylysis (partielle Differentialgleichunen), algebraische und Differential-Geometrie hervorgehoben werden muß . Insbesondere gibt es einen engen Zusammenhang zwischen Metriken mit negativer konstanter Krümmung auf Modulrämen spezieller abelscher Mannigfaltigkeiten, Modulformen arithmetischer Gruppen und Zahlkörpern, erzeugt durch spezielle Werte der Modulfunktionen. Es konnte gezeigt werden, daß alle projektiven algebraischen Flächen solche Picard-Einstein-Metriken mit effektiv erfaßbarer Degeneration tragen, wobei man sich unendliche Degeneration (Spitzenpunkte) als "schwarze Löcher vorstellen kann.
In internationaler Projekt-Kooperation findet die arithmetische Kurventheorie der zugrunde liegenden Modulräme auf konstruktive Weise in der zukunftsträchtigen Kodierungstheorie ihre Anwendung, die für sichere Datenübertragungen unumgänglich ist. Des weiteren werden auf speziellen (komplex-)drei-dimensionalen (Fano-)Mannigfaltigkeiten Kähler-Einstein-Metriken mit positiver Krümmung untersucht. Die Theorie der Theta- Funktionen spezieller Kurvenfamilien wird in moderner Weise (über Lax-Paare, Prym-Varietäten) auf die explizite Beschreibung von kreiselförmiger Bewegungen angewandt. Mit Hilfe torischer Varietäten) und äquivarianter Kohomologie kann die Quantisierung des MIC-Kepler-Problems mit Erfolg behandelt werden.