Humboldt Universität zu Berlin
Mathematisch-Natuwissenschaftliche Fakultät II
Institut für Mathematik
Ausbildungskonzeption für das Hauptstudium der Spezialisierungsrichtung Algebra - Algebraische Geometrie - Zahlentheorie
Die genannten Gebiete rechnet man traditionell der sogenannten "Reinen Mathematik" zu. Diese Gebiete können auf eine lange Entwicklung zurückblicken, sie haben aber in diesem Jahrhundert einen beträchtlichen Wandel erfahren.
Neben den traditionellen Verbindungen von algebraischer Geometrie zur komplexen Analysis, Theorie der komplexen Mannigfaltigkeiten erfolgte eine rigorose Neubegründung ihrer Grundlagen, vorwiegend aus Anforderungen aus der Zahlentheorie, und auf dieser Grundlage die Herausbildung der Arithmetischen Algebraischen Geometrie, eine Synthese aus (algebraischer) Geometrie, Zahlentheorie und Analysis (Spektraltheorie elliptischer Operatoren).
Auf der anderen Seite spielen heute diese Gebiete für Anwendungen eine wichtige Rolle, z.B. in der Kodierungstheorie, Kryptographie oder bei kombinatorischen Problemen. Weiterhin kommen für die algebraische Geometrie ständig neue Anregungen und Herausforderungen aus der Mathematischen Physik (Stringtheorie, Mirror-Symmetrie, Quantenkohomologie, Evolutions-gleichungen), so daß sich ein sehr vielfältiges Bild darbietet.
Ziel der mathematischen Ausbildung in dieser Spezialisierungsrichtung ist es, die Studenten mit einem soliden und anwendungsbereiten Wissen auszustatten, das eine Grundlage für kreative Arbeit in der akademischen und industriellen Forschung sowie in der Lehre bildet. Die Erfahrungen belegen, daß die Ausbildung in der Richtung "Reine Mathematik" hervorragend geeignet ist, den schnell wechselnden Anforderungen der modernen Industrie- und Kommunikationsgesellschaft an Flexibilität und kreativem Denken Rechnung zu tragen.
Am Institut für Mathematik werden die Gebiete durch die Lehrstühle "Algebra" (Prof. Dr. E.-W. Zink), "Algebraische Geometrie" (Prof. H. Kurke, Prof. R.-P. Holzapfel, PD Dr. K. Altmann, PD Dr. W. Kleinert, PD. Dr. M. Roczen) und "Mathematik und ihre Didaktik" (Prof. J. Kramer) vertreten. Die vorliegende Konzeption gibt einen Überblick über die mathematische Ausbildung im Hauptstudium am Institut für Mathematik in Richtung Algebra-Algebraische Geometrie-Zahlentheorie. Es ist nicht möglich, das gesamte Gebiet aktiv zu vertreten. Gegenwärtig werden vorwiegend die Gebiete "Komplexe und arithmetische algebraische Geometrie", "Kommutative Algebra" und "Algebraische Zahlentheorie" aktiv an der Humboldt-Universität betrieben.
Der erste Abschnitt ist eine minimale Variante für Vorlesungen, die jeder Student hören soll, der auf den Gebieten algebraische Zahlentheorie oder algebraische Geometrie eine Diplomarbeit schreiben will. Sie kann auch als Grundlage für die Prüfung in Reiner Mathematik dienen. Die Reihenfolge der Vorlesungen ist als Empfehlung gedacht, Abweichungen sind möglich. Wir empfehlen nachdrücklich für Interessenten möglichst früh eine individuelle Studienberatung mit einem der Hochschullehrer dieser Gebiete vorzunehmen.
I. Grundlegende Vorlesungen
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Lehrveranstaltung |
SWS VL + UE |
Semester |
|---|
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1. |
Algebra II (Schwerpunkt: kommutative Algebra) |
4 + 2 |
5. |
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2. |
Riemannsche Flächen und algebraische Kurven |
2 |
5. |
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3. |
Algebraische Zahlentheorie |
4 + 1 |
5. |
|
4. |
Algebraische Geometrie |
4 + 1 |
6. |
|
5. |
Topologie |
4 |
6. |
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SWS |
Gesamt: 22 |
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|---|
1. Algebra II (aufbauend auf "Algebra I" , die zum Grundstudium gehört)
- Tensorprodukte, symmetrische und äußere Algebra für Moduln, Funktorialität.
- Endlich erzeugte kommutative Algebren über Körpern (Hilbertscher Nullstellensatz, Hilbertscher Basissatz, Transzendenzbasis, Noethersche Ringe und Moduln).
- Aspekte der konstruktiven Idealtheorie (Gröbner-Basen, Computer-Algebra).
- Primideale, Maximalideale, Lokalisierung von Ringen und Moduln.
- Ganze Ringerweiterungen, Normalisierung (ganze algebraische Zahlen als Beispiel), Dede-kindsche Ringe, Primärzerlegung.
- Derivationen und Differentiale, Lie-Algebren.
2. Riemannsche Flächen und algebraische Kurven
Grundbegriffe, Satz von Riemann-Roch und Anwendungen, Beispiele (z.B. elliptische Funktionen, Modulfunktionen).
3. Algebraische Zahlentheorie
Zahlkörper, Zahlringe und Geometrie der Zahlen, Bewertete Körper und ihre Vervollständigung, Parallelen und Besonderheiten für Funktionenkörper in einer Variablen, Primidealzerlegung in Galoischen Erweiterungen, Zeta- und L-Funktionen und darin enthaltene zahlentheoretische Infor-mationen, Anwendungen für quadratische und Kreisteilungskörper, Diophantische Gleichungen, Ausblick auf die Klassenkörpertheorie.
4. Algebraische Geometrie (Es emphiehlt sich, vorher oder parallel die Vorlesungen "Algebra II" und "Riemannsche Flächen und algebraische Kurven" zu hören.)
Algebraische Varietäten, projektive Varietäten, Schemata, Morphismen, lokale algebraische Geometrie, Garben und Kohomologie, glatte Varietäten, Singularitäten, komplex-algebraische Varietäten, Beispiele.
5. Topologie
- Allgemeine Topologie (Kompaktheit, Zusammenhang, Trennungseigenschaften).
- Beispiele: Sphären, Tori, projektive Räume, topologische und glatte Mannigfaltigkeiten, zusam-menhängende Summe, geschlossene Flächen.
- Überlagerungen und Fundamentalgruppen, Homotopie.
- Kettenkomplexe, Homologie und Kohomologie (Singuläre Homologie und Kohomologie, de Rham Kohomologie).
Hinweis: Es wird empfohlen, ein Proseminar in Richtung kommutative Algebra oder elementare algebraische Geometrie oder Zahlentheorie zu belegen.
Weiterhin wäre es günstig, wenn die Vorlesung "Algebra II" unmittelbar im Anschluß an "Algebra I" belegt werden könnte. Das sollte individuell geregelt werden.
II. Weitere regelmäßige Vorlesungen
Algebraische Geometrie II
Schnitttheorie algebraischer Zyklen, Hirzebruch-Riemann-Roch-Theorem, Grothendieck-Riemann-Roch-Theorem.
Arithmetische Algebraische Geometrie
Schnitttheorie auf regulären Schemata über Z (entweder K-theoretisch oder mit Fulton's Methode via de Jong's Alterationen). Theorie der Green'schen Ströme auf komplexen Mannigfaltigkeiten, Lemma von Poincaré-Lelong. Arithmetische Chowgruppen, arithmetische Schnitttheorie, arithmetische K-Theorie, arithmetische charakteristische Klassen, Bott-Chern sekundäre Klassen. Ausblick auf den arithmetischen Riemann-Roch'schen Satz.
Zahlentheorie II
Lokale und globale Klassenkörpertheorie; Ausblick auf das Langlandsprogramm.
Kommutative Algebra und Anwendungen von Computer-Algebra-Systemen
Eliminationstheorie, konstruktive Methoden und Gröbner-Basen (Syzygien, Standardbasen in Potenzreihenringen, universelle Gröbner-Basen); Differentiale und Glattheit, Homologische Methoden (lokale Kohomologie, abgeleitete Funktoren, Spektralsequenzen), Cohen Macaulay Ringe, freie Auflösungen und Castelnuovo-Mumford Regularität, Dualität und Gorenstein-Ringe; lokale analytische Algebren (analytische Banachalgebren über bewerteten Körpern und topologische Eigenschaften, endliche analytische Homomorphismen und Dimension, Vorbereitungs- und Approximationssätze).
Klassifikationstheorie algebraischer Varietäten
Familien algebraischer Varietäten, grobe und feine Modulräume, Hilbert-Schemata, Gruppen-wirkungen auf Varietäten, geometrische Invariantentheorie, Quotientenvarietäten, Konstruktion von globalen Modulräumen für spezielle Klassen von Varietäten und Vektorbündeln, Kompakti-fizierungen von globalen Modulräumen, kohomologische Invarianten von Modulräumen; lokale Deformationstheorie algebraischer Varietäten, lokale Modulräume, Lokal-Global-Prinzip in der Klassifikationstheorie.
Torische Varietäten und kombinatorische Geometrie
...
Transzendente und topologische Methoden
Komplex-analytische Varietäten, Algebraizität komplex-analytischer Varietäten und Serre's GAGA-Prinzip, komplexe algebraische Kurven und Riemannsche Flächen, komplexe algebraische Flächen und Kodaira-Klassifikation, komplexe abelsche Varietäten und Siegelsche Modulformen, automorphe Funktionen, Teichmüller-Theorie Riemannscher Flächen, Hodge-Theorie komplexer Mannigfaltigkeiten, Hermitesche Geometrie komplexer Mannigfaltigkeiten, Deformationstheorie komplexer Mannigfaltigkeiten nach Kodaira-Spencer, Variationen von Hodge-Strukturen, Periodenräume nach Griffiths und Modulräume komplex-algebraischer Varietäten, Kähler-Mannigfaltigkeiten, Calabi-Yau-Mannigfaltigkeiten, Fano-Mannigfaltigkeiten, Torelli-Sätze, Schottky-Novikov-Probleme, Jacobi-Varietäten, Albanese-Varietäten, Prym-Varietäten.
Anwendungsaspekte algebraisch geometrischer und zahlentheoretischer Methoden
Es werden in regelmäßigen Abständen Vorlesungen zu einem der folgenden Aspekte gehalten:
- Anwendungen in den Kommunikationswissenschaften:
a) Algebraisch-Geometrische Methoden in der Kodierungstheorie.
b) "Public Key" Kryptosysteme.
- Anwendungen in der mathematischen Physik
Modulräume und nicht-lineare Differentialgleichungen, Modulräume und Quantenfeldtheorie, Bündel und Eichfeldtheorie.
III. Themenkomplexe für Diplomarbeiten, Spezialvorlesungen Diplomandenseminare
Arithmetik und Geometrie (Prof. R.-P. Holzapfel)
Die Hilbertschen Probleme spiel(t)en eine wichtige Rolle in der Entwicklung der Mathematik in diesem Jahrhundert, wobei ihre integrierende Wirkung auf Zahlentheorie, Analysis, algebraische und Differential-Geometrie hervorgehoben werden muß. Insbesondere gibt es einen engen Zusammenhang zwischen Metriken mit negativer konstanter Krümmung auf Modulräumen spezieller abelscher Mannigfaltigkeiten, Modulformen arithmetischer Gruppen und Zahlkörpern, erzeugt durch spezielle Werte dieser Formen. Es konnte gezeigt werden, daß alle projektiven algebraischen Flächen solche Picard-Einstein-Metriken mit effektiver erfaßbarer Degeneration tragen. Die arithmetische Kurventheorie der zugrundeliegenden Modulräume findet auf konstruktive Weise in der zukunftsträchtigen Kodierungstheorie ihre Anwendung, die für sichere Datenübertragungen unumgänglich ist. Schon recht einfach zu beschreibende algebraische Kurven liefern interssante Aufgaben, die als Diplomthemen vergeben werden können
Modulräume algebraischer Kurven und abelscher Varietäten mit Anwendungen in der
mathematischen Physik (PD Dr. W. Kleinert)
In den letzten 25 Jahren haben die klassischen und neueren Methoden in der Theorie der algebraischen Kurven und der abelschen Varietäten zu den bahnbrechenden Fortschritten auf einigen Gebieten der theoretischen Physik entscheidend beigetragen. Umgekehrt haben die hier erkannten Wechselbeziehungen die Weiterentwicklung der Theorie der Kurven und abelschen Varietäten in forcierter, teils spektakulärer Weise vorangebracht. Aus dieser neueren, engen Verflechtung, die erkenntnistheoretisch bei weitem noch nicht ausgeschöpft ist, ergibt sich eine Reihe von wichtigen und aussichtsreichen Untersuchungsschwerpunkten, welche dieser relativ jungen Entwicklungsrichtung in aktueller Weise Rechnung tragen.
Dies sind vornehmlich die folgenden Schwerpunkte:
- Untersuchung der Untervarietäten von Modulräumen algebraischer Kurven mittels ihrer Beschreibung durch spezielle Differentialgleichungen, die durch Thetafunktionen gelöst werden können;
- Lösung gewisser nichtlinearer Differentialgleichungen der mathematischen Physik (Soliton-gleichungen), die integrable Hamilton-Systeme beschreiben, mittels Modulfunktionen auf speziellen Untervarietäten von Modulräumen algebraischer Kurven und abelscher Varietäten;
- Beschreibung von Integrationsmaßen (Polyakov-Maßen) auf Modulräumen algebraischer Kurven und abelscher Varietäten mittels Thetafunktionen mit dem Ziel der effektiven Berechnung von String-Amplituden in verschiedenen String-Modellen.
Bei der Untersuchung dieser Fragestellungen, die in ihren Teilen als Thematik für Diplom-arbeiten geeignet sind, steht der algebraisch-geometrische Kontext im Vordergrund, wobei eine solide Grundausbildung auf diesem Spezialisierungsgebiet eine unabdingbare Voraussetzung ist.
Arithmetische algebraische Geometrie und deren Anwendung auf Probleme der Zahlen-theorie (Prof. J. Kramer)
Die arithmetische algebraische Geometrie wurde zu Beginn der siebziger Jahre durch S. J. Arakelov begründet. Seither wurde diese Theorie vor allem durch H. Gillet und C. Soulé wesentlich verallgemeinert. Dies führte zu großen Fortschritten bei der Lösung zahlen-theoretischer Probleme wie z.B. der Bestätigung der Mordell-Vermutung durch G. Faltings. Das zentrale Ergebnis der Arakelov-Geometrie ist der arithmetische Riemann-Rochsche Satz, dessen Anwendungen auf die Zahlentheorie noch bei weitem nicht ausgeschöpft sind. In diesen Themenkomplex reiht sich auch der vor kurzem erbrachte Beweis der Fermat-Vermutung durch A. Wiles und R. Taylor ein.
- Anwendung arithmetisch-geometrischer Methoden auf abelsche Varietäten und Shimura-Varietäten, insbesondere auf Modulkurven und Sieglsche Modulvarietäten.
Komplexe algebraische Geometrie und Anwendungen (Prof. H. Kurke)
In der komplexen algebraischen Geometrie werden algebraische Varietäten über dem Körper der komplexen Zahlen untersucht, so daß einerseits die typischen algebraischen Methoden zum tragen kommen, anderseits Methoden der komplexen Analysis und Topologie. Ebenso spielt die Untersuchung kohärenter Garben und, als deren wichtigstes Beispiel, von holomorphen Vektorbündeln eine Rolle, wobei wichtig ist, daß auf projektiven Varietäten "analytisch kohärent" und "algebraisch kohärent" äquivalent sind (z.B. ist jede meromorphe Funktion rational).
Aufgaben für Diplomthemen sind:
- Beispiele und Klassifizierung von Varietäten mit speziellen Eigenschaften
- Klassifizierung von Vektorbündeln, Modulräume
- Studium von Modulräumen
Lokale Analytische Geometrie und kommutative Algebra (Dr. M. Roczen)
Singularitäten enthalten (grob gesagt) stark verdichtete Informationen über deren Umgebung. Deformationen und Auflösungen isolierter Singularietäten algebraischer Mannigfaltigkeiten haben zum Verständnis dieser Objekte beigetragen; ihr Studium über algebraisch abgeschlossenen Körpern beliebiger Charakteristik erlaubt Aussagen, die auch über die Reine Mathematik hinaus von Bedeutung sind.
Zu den infragekommenden Themen gehört die Untersuchung quasihomogener und semiquasihomogener Singularitäten kleiner Modalität sowie die Darstellungstheorie spezieller Klassen isolierter Singularitäten (Auslander-Reiten Theorie); die Nutzung von Methoden der Computer-Algebra ist Bestandteil konkreter Aufgaben.
Algebraische Zahlentheorie (Prof. E.-W. Zink)
Mögliche Aufgabenstellungen für Diplomarbeiten:
IV. Adressen
Postadresse: Humboldt-Universität zu Berlin
Mathematisch-Naturwissenschaftliche Fakultät II
Institut für Mathematik
Rudower Chaussee 25
D-10099 Berlin
Algebraische Geometrie Sitz: Rudower Chaussee 25
Prof. Herbert Kurke Raum 1.428
Tel.: (030) 2093 1808
Fax: (030) 2093 1866
e-mail: kurke@mathematik.hu-berlin.de
Prof. Rolf-Peter Holzapfel Raum 1.427
Tel.: (030) 2093 1439
Fax: (030) 2093 1866
e-mail: holzapfl@mathematik.hu-berlin.de
Algebra und Zahlentheorie Sitz: Rudower Chaussee 25
Prof. Ernst-Wilhelm Zink Raum 1.101
Tel.: (030) 2093 1813
Fax: (030) 2093 1434
e-mail: zink@mathematik.hu-berlin.de
Funktionalanalysis Sitz: Rudower Chaussee 25
Prof. Eberhard Kirchberg Raum 1.1
Tel.: (030) 2093 1811
Fax: (030) 2093 1434
e-mail: kirchb@mathematik.hu-berlin.de
Komplexe Analysis Sitz: Rudower Chaussee 25
Prof. Jürgen Leiterer Raum 1.1
Tel.: (030) 2093 1807
Fax: (030) 2093 1842
e-mail: leiterer@mathematik.hu-berlin.de
Globale Analysis Sitz: Rudower Chaussee 25
Prof. Thomas Friedrich Raum 1.301
Tel.: (030) 2093 1628
Fax: (030) 2093 1824
e-mail: friedric@mathematik.hu-berlin.de
Prof. Helga Baum Raum 1.3
Tel.: (030) 2093 1823
Fax: (030) 2093 1824
e-mail: baum@mathematik.hu-berlin.de
Mathematische Logik Sitz: Rudower Chaussee 25
Prof. Ronald Jensen Raum 1.404
Tel.: (030) 2093 5837
Fax: (030) 2093 5853
e-mail: jensen@mathematik.hu-berlin.de
Prof. Andreas Baudisch Raum 1.403
Tel.: (030) 2093 5824
Fax: (030) 2093 5853
e-mail: baudisch@mathematik.hu-berlin.de
Gometrische Analysis und Spektraltheorie Sitz Rudower Chaussee 25
Prof. Jochen Brüning Raum 1.3
Tel.: (030) 2093 2522
Fax: (030) 2093 2727
e-mail: bruening@mathematik.hu-berlin.de