4 SWS VL pro Woche, Mo 09-11 Uhr, RUD 26, 0'115; Mi 09-11 Uhr, RUD 25, 1.013

Inhalt:
Grundlagen aus Mengenlehre und Logik; Gruppen, Ringe und Körper, lineare Gleichungen und Matrizenrechnung, Polynome in einer Unbestimmten, erste Schritte des Studiums von Vektorräumen und linearen Abbildungen. Die Nutzung von Computeralgebrasystemen ist zu einem frühen Zeitpunkt vorgesehen.

Übungen: 2 SWS pro Woche
UE 1*: Mo 11-13 Uhr, RUD 25, 1.115; M. Grabitz
UE 3*: Di 11-13 Uhr, RUD 25, 3.006; L. Wotzlaw
UE 2*: Mi 11-13 Uhr, RUD 25, 3.006; M. Roczen
UE (fakultativ): Fr 13-15 Uhr, RUD 25, 1.011A. Klöhn ( kloehn@mathematik.hu-berlin.de )

Literatur:
Roczen, M., Wolter, H.: Lineare Algebra - individuell   ( Kursmaterial )

Fragen, Anregungen, Kritik:
Ihre Meinung ist uns wichtig, gern können Sie sich auch anonym äußern. Besuchen Sie die dafür eingerichtete Problemseite.

Nachfolgend finden Sie aktuelle Informationen zum Stoff der Vorlesung und zu Aufgaben, Klausuren, Prüfungen.

Bitte melden Sie sich wenigstens 14 Tage vorher bei der Studienabteilung an! Falls (entsprechend Ihrem Studiengang) ein Übungsschein zur Anmeldung erforderlich ist, wenden Sie sich bitte an mich, damit wir die Auswertung Ihrer Leistung während des Semesters rechtzeitig vornehmen können.

Auswertung der Klausur vom 13.12.2004
Lösungen der Pflichtaufgaben (nach Exemplar-Nr.):         Aufgabe 1         Aufgabe 2         Aufgabe 3         Aufgabe 4
Für jede Aufgabe können 10 Punkte erreicht werden.
Die Aufgabe 5* wird bewertet, sofern bei den Pflichtaufgaben mindestens die Hälfte der Punkte erreicht wurde.
Hier finden Sie die Auswertung.

Auswertung der Klausur vom 14.2.2005
Für jede Aufgabe können wieder 10 Punkte erreicht werden.
Hier finden Sie die Auswertung.

Sie sollten sich an den unten angegebenen Stichpunkten zum "Stoff der Vorlesung" orientieren.

20.10.2004:   Begriff der Menge, Mengenoperationen, natürliche Zahlen
25.10.2004:   klassische Aussagenverbindungen, Schlussregeln: Modus ponens (Abtrennungsregel), Kettenschluss, Kontraposition (indirekter Beweis); Quantoren ( "für alle", "es existiert ein" ) und deren Verneinung; Begriff der Relation auf einer Menge; Äquivalenzrelationen und zugehörige Klasseneinteilungen
27.10.2004:   Ordnungsrelationen (Beispiele, vergleichbare Elemente, Ketten), maximale und größte Elemente einer Ordnung (bzw. minimale und kleinste); Abbildungen (Definition, Begriffe: Quelle, Graph, Ziel, Bild, Urbild), injektive, surjektive und bijektive Abbildungen; Wertetafel einer Abbildung, bijektive Abbildungen einer Menge auf sich
1.11.2004:   Produkt von Abbildungen, erste Eigenschaften des Produkts; die natürliche Bijektion der Menge der Äquivalenzrelationen auf einer (nichtleeren) Menge zur Menge der Klasseneinteilungen, natürliche Abbildung auf die Faktormenge, Invarianten und Systeme von Normalformen einer Äquivalenzrelation; Beispiel: Kongruenz ganzer Zahlen modulo m
3.11.2004:   Mächtigkeit einer Menge, Vergleich von Mächtigkeiten, Satz von Cantor-Schröder-Bernstein, abzählbare Mengen, Cantorscher Potenzmengensatz; kartesisches Produkt einer Mengenfamilie, Auswahlaxiom
8.11.2004:   obere Grenze einer Teilmenge einer Ordnung, Beispiele; induktiv und streng induktiv geordnete Mengen, zornsches Lemma (erste Anwendung: Vergleich von Mächtigkeiten); Beweis des zornschen Lemmas (erster Teil)
10.11.2004:   Satz von Hausdorff, Beweis des zornschen Lemmas (zweiter Teil); Anwendung: A x A ≈ A für jede unendliche Menge A (der Spezialfall A=N aus der Übungsaufgabenserie 3 wurde verwendet, Sie dürfen den Satz daher noch nicht benutzen); Begriff der Kardinalzahl einer Menge (angedeutet)
15.11.2004:   Monoide (Beispiele, einige Konventionen), Gruppen (einfache Rechenregeln, Beispiele, Gruppentafeln), Untergruppen, Untergruppenkriterium, der Durchschnitt einer Familie von Untergruppen ist wieder eine Untergruppe
17.11.2004:   zyklische Gruppen, von einer Teilmenge erzeugte Untergruppe einer Gruppe, Gruppenhomomorphismen (erste Eigenschaften, Beispiele), Permutationen (Zyklen, Transpositionen, kanonische Zerlegung einer Permutation, Inversionen und Signum)
22.11.2004:   Vorzeichen (sign) einer Permutation als Homomorphismus; Konstruktion der Faktorgruppe einer Gruppe nach einem Normalteiler, kanonischer Homomorphismus; Homomorphiesatz und Anwendung auf die Klassifikation der zyklischen Gruppen; Ringe und Körper: Begriff, Beispiele (Ringe: ganze, rationale, reelle Zahlen Zahlen; quadratische Matrizen eines festen Typs über einem kommutativen Ring; Körper: rationale Zahlen, reelle Zahlen, komplexe Zahlen, die endlichen Körper Z/(p) (zunächst für p=2, 3)
24.11.2004:   Begriff der R-Algebra, Beispiele für Algebren, Charakteristik eines Körpers, Konstruktion der Primkörper
29.11.2004:   Polynomring einer Unbestimmten (Koeffizientenvergleich, Grad eines Polynoms, Grad der Summe und des Produkts); Universalität der Polynomalgebra, Eindeutigkeit der Paare (R,X) mit Universaleigenschaft; Polynome in mehreren Unbestimmten
1.12.2004:   Matrizen (allgemeiner Fall) und elementare Matrizenoperationen, Addition und Multiplikation, transponierte Matrix, symmetrische Matrizen, Diagonalmatrizen und Dreiecksmatrizen; Gleichungssystem: Begriff, Lösungsmenge
6.12.2004:   einfache Beispiele linearer Gleichungssysteme, Äquivalenz linearer Gleichungssysteme, Lösung eines linearen Gleichungssystems in Stufenform, gaußscher Algorithmus
8.12.2004:   sinnvolle Varianten des gaußschen Algorithmus (Wahl eines Pivotkoeffizienten), Matrizenschreibweise linearer Gleichungssysteme (Koeffizientenmatrix und erweiterte Koeffizientenmatrix), Zeilenäquivalenz von Matrizen (elementare Zeilentransformationen), zeilenreduzierte Matrix; reduzierte Form eines linearen Gleichungssystems (Beweis von Existenz und Eindeutigkeit)
13.12.2004:   Klausur
15.12.2004:   Klassifikation der Matrizen eines festen Typs bezüglich Zeilenäquivalenz; Rang einer Matrix (einfache Beispiele, Bestimmung mit dem gaußschen Algorithmus), Satz von Kronecker-Capelli und erste Anwendungen; Charakterisierung invertierbarer Matrizen und Bestimmung der inversen Matrix mit dem gaußschen Algorithmus
3.1.2005:   Multiplikation einer Matrix mit Elementarmatrizen von links (rechts) bewirkt elementare Zeilenoperationen (Spaltenoperationen); die lineare Gruppe GL(n;K) ist von Elementarmatrizen erzeugt; Hauptsatz der Matrizenrechnung (der Rang einer Matrix ist gleich dem ihrer transponierten), LR-Zerlegung und Bruhat-Zerlegung einer regulären Matrix
5.1.2005:   Grundbegriffe der Teilbarkeitslehre: Einheiten, assoziierte Elemente, reduzible und irreduzible Elemente, größter gemeinsamer Teiler; Eindeutigkeit des größten gemeinsamen Teilers (bis auf Assoziierte); euklidischer Algorithmus (Kettendivision) für ganze Zahlen
10.1.2005:   Existenz des ggT für ganze Zahlen, Lemma von Euklid, Existenz und Eindeutigkeit der Primfaktorzerlegung; Behandlung der analogen Sätze für K[X] (Division mit Rest für Polynome); Nullstellen und Faktorzerlegung (Multiplizität einer Nullstelle, irreduzible Polynome vom Grad 1,2,3; Faktorzerlegung über dem Körper der reellen, bzw. komplexen Zahlen)
12.1.2005:   Identitätssatz für Polynome in einer Unbestimmten;
der Faktorring K[X]/(p) ist Körper für jedes irreduzible Polynom p, Satz von Kronecker, Zerfällungskörper eines Polynoms: Existenz (später verwendet) und Eindeutigkeit (*); formales Differenzieren im Polynomring, Anwendung: ggT(f,f') und mehrfache Nullstellen des Polynoms f im Zerfällungskörper
17.1.2005:   (*) Lösung allgemeiner polynomialer Gleichungssysteme und Verwendung von Computeralgebrasystemen (ein Ausblick); die verwendeten Rechenbeispiele können Sie (in der Syntax des Computeralgebrasystems Singular) hier herunterladen:
Standardbasis für lineare Polynome (gaußscher Algorithmus)
Standardbasis für Polynome einer Unbestimmten (euklidischer Algorithmus)
Standardbasis im allgemeinen Fall - ein Experiment
Vektorräume: Definition und elementare Rechenregeln; Beispiele (insbesondere die Standardräume, und - allgemeiner - die Räume Abb(M,K) für beliebige Mengen M); Unterraum eines Vektorraumes
19.1.2005:   Unterraumkriterium, Beispiele für Unterräume; lineare Abbildungen (Homomorphismen) von Vektorräumen, Bild und Kern als Unterräume, Homomorphismen der Standardräume und deren Matrizen; Invarianz der Dimension
24.1.2005:   Linearkombinationen, einige Eigenschaften der linearen Hülle, Beispiel: Auffinden eines Erzeugendensystems des Lösungsraumes für ein homogenes lineares Gleichungssystem; (innere) direkte Summe von (Familien von) Unterräumen, Charakterisierung der direkten Summe zweier Unterräume, Existenz von Komplementärräumen; Projektionen auf Unterräume
26.1.2005:   äußere direkte Summe, Prinzip der linearen Fortsetzung, direkte Summe einer Familie von Homomorphismen; Homomorphieprinzip für Vektorräume: Faktorraum (Beispiele), Homomorphiesatz, Isomorphiesätze, Kokern eines Homomorphismus, exakte Folge eines Homomorphismus
31.1.2005:   Komplementärraum und Faktorraum sind isomorph; jede lineare Abbildung ist (äußere) direkte Summe einer identischen sowie der Nullabbildung ihres Kerns auf den Kokern;
linear unabhängige Familien von Vektoren, Beispiele, Charakterisierung linear unabhängiger Familien in den Standardräumen K^n, Koeffizientenvergleich, Basis, zu einer Basis gehörige direkte Zerlegung, Basen und lineare Fortsetzung
2.2.2005:   Standardräume zu gegebenen Kardinalzahlen, kanonische Basen, Existenz von Basen beliebiger Vektorräume, allgemeiner Basisergänzungssatz, Eindeutigkeit der Kardinalzahl einer Basis (Klassifikation der Vektorräume), Definition der Dimension (Beispiele, Dimension des Zeilen- und des Spaltenraumes einer Matrix)
7.2.2005:   Dimensionsformeln (Unterraum, direkte Summe, Faktorraum, Summe zweier Unterräume); Rang einer linearen Abbildung (Interpretation als Rang der entsprechenden Matrix im Fall der Standardräume); Basen in endlichdimensionalen Räumen, Rechenverfahren (insbesondere zum Austauschsatz, zur Basisergänzung); Beispiel: Entschlüsselung von Hill-Ciphern (Motivation für die Einführung der Matrix eines Homomorphismus bezüglich beliebiger Basen)
9.2.2005:   Matrix eines Homomorphismus bezüglich eines Basenpaares, Koordinatentransformation durch Multiplikation mit der Übergangsmatrix, funktorielle Eigenschaften der Matrix eines Homomorphismus, Matrix eines Homomorphismus nach Variation der Basen ("Basiswechsel") und Klassifikation von Matrizen bezüglich der entsprechenden Äquivalenzrelation; verfeinerte Aufgabenstellung: Untersuchung von Matrizen bezüglich der Ähnlichkeitsrelation
14.2.2005:   Klausur
16.2.2005:   dualer Vektorraum (Definition, Beispiele); kanonische Paarung zum dualen Vektorraum, der Fall endlicher Dimension, duale Basis (auch rechnerische Bestimmung), Annullator und Eigenschaften, Bestimmung eines Gleichungssystems für einen Unterraum des Standardraumes K^n, der durch Erzeugende gegeben ist; duale (transponierte) Abbildung, ihre Kofunktorialität und die zugehörige Matrix; kanonischer injektiver Homomorphismus eines Vektorraumes in seinen Bidualen und Identifikation im Fall endlicher Dimension.