Pseudo-holomorphe Kurven und symplektische Topologie

Dienstag 13-15, Donnerstag 11-13, RUD 25, 3.007

Vorlesender:  Klaus Mohnke
                           Büro: Adlershof, Haus 1,  Zimmer 306
                           Phone: (030) 2093 1814
                           Fax: (030) 2093 2727
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Sprechstunden:  nach Vereinbarung
 

  Jürgen Moser (1928-1999)

In den 60er Jahren stellte V.I.Arnold eine Reihe interessanter Fragen über symplektische Strukturen.  Die Probleme und deren partielle Lösungen waren letztendlich der Anfang einer völlig neuen Forschungsrichtung der Mathematik - der symplektischen Topologie. Der Durchbruch kam, als Gromov zeigte, daß man sich pseudoholomorphe Kurven bei der Untersuchung dienstbar machen kann. Wir verdanken seinem "h-Prinzip" ebenfalls die Erkenntnis, daß es  notwendig ist,  über differerential-topologische (sogenannte "weiche" ) Techniken hinausgehende "harte" Techniken zu entwickeln. Die dabei zu beobachtende Flexibilität einerseits und Starrheit andererseits suggeriert, daß symplektische Strukturen auf der Grenze zwischen glatten und algebraischen Strukturen liegen. Zu den Fragen, die man mit Gromovs Techniken beantworten kann, gehören:

  • Gibt es eine Lagrange Einbettung der 3-Sphäre, S3, in den C3?
  • Gibt es exotische symplektische Strukturen auf  C2, welche standard außerhalb einer kompakten Menge sind?
  • Kann die Kugel, B2n(R), des R2n symplektisch in den Zylinder, B2(r)xR2n-2, eingebettet werden, falls r<R?

    • In der Vorlesung sollen diese und andere Probleme der symplektischen Topologie und Hamiltonschen Dynamik mittels  pseudo-holomorpher Kurven behandelt werden.

    Themen:
     

  • Symplektische Strukturen
    • -Beispiele symplektischer Mannigfaltigkeiten
    -Darboux-Theorem und Mosers Trick
    -Arnolds Probleme und Vermutungen
  • Pseudo-holomorphe Kurven
    • -fast-komplexe Strukturen
    -Lösungsräume der Cauchy-Riemann-Gleichungen
    -Gromov-Kompaktheit
  • Symplektische Topologie
    • -symplektische Structures auf R4
    -Lagrange Einbettungen und holomorphe Scheiben
    -symplektische Strukturen auf  CP1xCP1
    -Gromov-Weite
  • Hamiltonsche Dynamik
    • -Hofers Norm
    -Arnolds Fixpunktvermutung
    -Floer-Homologie
    -Reeb-Sehnen
  • Symplektische Feldtheorie
    • -holomorphe Kurven in symplektischen Mannigfaltigkeiten mit Enden
    -Weinsteins Vermutung über geschlossene Bahnen
    -Kontakthomologie
    -Lagrange Einbettungen: neue Resultate
    Vorkennntnisse: Funktionen mit einer komplexen Veränderlichen, Analysis I-III sind hilfreich. Die Vorlesung "Klassische Mechanik" im Herbst 2002 ist eine gute Motivation. Jedoch werde ich bemüht sein, alles Notwendige in der Vorlesung zur Verfügung zu stellen.
     

    Literatur:
    (1) V.I.Arnold, First steps in symplectic topology, Russian Math.Surv. 41(6), 1986
    (2) D.McDuff, Dietmar Salamon, Introduction to symplectic topology, Clarendon Press, Oxford
    (3) Holomorphic curves in symplectic geometry, Michéle Audin, Jacques Lafontaine (Editors), Birkhaeuser
    (4) H.Hofer and E.Zehnder, Symplectic invariants and Hamiltonian dynamics, Birkhaeuser
    (5) A. Floer,  The unregularized flow of the symplectic action, Comm.Pure Appl. Math 41, 1988
    (6) A. Floer,  Morse theory for Lagragian intersections, J. Diff. Geom. 18, 1988
    (7) K. Mohnke, Holomorphic disks and the chord conjecture, Annals of Math. 154 (2001),  electronic version
    (8) Y.Eliashberg, A.Givental, H.Hofer, Introduction to Symplectic Field Theory, GAFA 2000 (Tel Aviv, 1999),
           Geom. Funct. Anal. 2000, Special Volume, Part II,  electronic version
    (9)  Joshua Sabloff, Symplectic Field Theory webpage
    (10) K. Mohnke, How to (symplecticcally) thread a (Lagrangian) needle, electronic version
    (11) K. Mohnke, Holomorphe Scheiben, Hamiltonsche Dynamik und symplektische Topologie,  PostScript ,  PDF

    Klaus Mohnke
    Wed Jan 23  09:30 a.m. EST 2002