Analysis I*
Vorlesender: Alexander Fauck, Sprechstunde: freitags 13-14 Uhr und nach Vereinbarung
Vorlesungen: Di 13-15, RUD 26,0'115
Do 13-15, RUD 26, 0'115
Fr 9-11, RUD 26, 0'115 (14-tägig)
Übungen: Di 15-17, RUD 25, 1'011, Irene Schwarz (entfällt)
Do 11-13, RUD 25, 3'007, Daniele Agostini
Do 15-17, RUD 25, 3'007, Daniele Agostini
Fr 11-13, RUD 25, 3'007, Irene Schwarz (früher: Alexander Fauck)
Korrektoren (Sprechstunde): Johannes Hauber (Mi 11-12, 1.310) E-Mail: hauberjq@hu-berlin.de
Mateusz Majchrzak (Mi 14-15, 2.307) E-Mail: mateusz.majchrzak@math.hu-berlin.de
Laurenz Upmeier zu Belzen, E-Mail: upmeibel@math.hu-berlin.de
Tutorium: Mi 11-13, RUD 25, 1'012, Mateusz Majchrzak, 14-15 Sprechstunde in 2'307
Prüfung: - 3-stündige Klausur
- Die Zulassung zur Prüfung erfolgt nur wenn mindestens 50% der Punkte in den Hausaufgaben erreicht wurden
- Termine: 19.02.2019 und 26.3.2019
- melden Sie sich bitte rechtzeitig, bis spätestens 14 Tage vor der Prüfung, unter Agnes oder im Prüfungsbüro an
Vorlesungsinhalte: - Mengenlehre, Grundlagen der Aussagenlogik, Relationen, Abbildungen
- Vollständige Induktion, reelle und komplexe Zahlen/Vektorräume
- Metrische Räume, Konvergenz, reelle und komplexe Zahlenfolgen, Banach- und Hilberträume
- Reihen in Banachräumen, elementare Funktionen
- Stetige Abbildungen
- Differentialrechnung von Funktionen einer Variablen
Vorlesungsthemen: - Mathematische Grundlagen:
- 0.1: Mengenlehre (Darstellung von Mengen, Mengenoperationen und -beziehungen)
- 0.2: Aussagenlogik (logische Verknüpfungen, Wahrheitswertetabellen)
- 0.3: Beweisstrategien (direkter/indirekter Beweis, Fallunterscheidung)
- 0.4: Parametrisierte Aussagen, Quantoren
- 0.5: Relationen und Abbildungen (Ordnungen, injektive, surjekive, bijektive Abbildungen)
- 1. Zahlen:
- 1.1: Natürliche Zahlen, Rekursion, vollständige Induktion (Fakultäten, Biomialkoeffizienten, Binomischer Satz)
- 1.2: Reelle Zahlen (Körperaxiome, Anordnung, Vollständigkeit, Infimum, Supremum, Wurzeln, Archimedisches Axiom, Intervallschachtelung, endliche/unendliche Mengen, (Über-)Abzählbarkeit)
- 1.3: Komplexe Zahlen (Darstellungen, Konjugation, Betrag, geometrische Deutungen, Wurzeln)
- 1.4: Vektorräume reller und komplexer Zahlentupel (Standardskalarprodukt, Norm)
- 2. Metrische Räume:
- 2.1: Grundbegriffe und Beispiele (Metrik, Produkt- & Teilräume, Inneres/Abschluss/Rand einer Menge, offene/abgeschlossene Mengen, Häufungspunkte, dichte Teilmengen)
- 2.2: Folgen und Konvergenz in metrischen Räumen
- 2.2.1: Allgemeine Eigenschaften konvergenter Folgen (epsilon-Definition, Eindeutigkeit des GW, Beschränktheit, Konvergenz und Abschluss, Konvergenz in Produkträumen, Teilfolgen & Häufungspunkte)
- 2.2.2: Eigenschaften konvergenter Folgen in den Vektorräumen R^k & C^k (Rechenregeln für GW, Monotonie, Sandwhich-Lemma, monoton + beschränkt, Nullfolgen)
- 2.2.3: Konvergente Folgen in R (Beispiele, Eulerzahl, uneigentliche Konvergenz, Bolzano-Weierstraß, limsup/liminf)
- 2.3: Vollständige metrische Räume (Cauchy-Folgen, Cauchy-Kriterium, Vollständigkeit von R^k & C^k, abgeschlossene Teilräume, Vervollständigung, Banachscher Fixpunktsatz)
- 2.4: Kompakte metrische Räume (folgen- & überdeckungskompakt, total beschränkt, beschränkt + abgeschlossen <=> kompakt in R^k/C^k (Heine-Borel))
- 2.5: Banach- und Hilberträume (Norm, Skalarprodukt, Banach- & Hilberträume, äquivalente Normen => Übereinstimmung topologischer Begriffe, Äquivalenz aller Normen auf R^k)
- 3. Reihen in Banachräumen:
- 3.1: Definition und Konvergenzkriterien (Konvergenz, absolute Konvergenz, Konvergenzkriterien: notwendiges K., Cauchy-K., Majorantenk., Minorantenk., Wurzelk., Quotientenk., Abel-Dirichlet-K., Leibniz-K., Verdichtungsk.)
- 3.2: Cauchy-Produkt und Umordnung von Reihen
- 3.3: Komplexe Potenzreihen und die Exponentialfuntion (Konvergenzkreis/-radius, exp in C und R, log, allgemeine Potenzen & Logarithmen)
- 4. Stetige Abbildungen zwischen metrischen Räumen:
- 4.1: Der Grenzwert einer Abbildung in einem Punkt (Definition: über Folgen/ über epsilon-delta; Beispiele, Grenzwertsätze, uneigentliche GW, einseitige GW, monotone Funktionen)
- 4.2: Stetige Abbildungen (Defn:folgenstetig, epsilon-delta, GW von Abbildungen; Unstetigkeitsstellen, monotone Funktionen, Rechenregeln, Beispiele, gleichmäßige/Lipschitz-Stetigkeit)
- 4.3: Eigenschaften stetiger Abbildungen (U offen => f^-1(U) offen, Zwischenwertsatz, (weg-)zusammenhängende Mengen, Extremalprinzip auf Kompakta, gleichmäßige Stetigkeit auf Kompakta, Homöomorphismus, stetige Umkehrabbildung)
- 4.4: Folgen und Reihen stetiger Abbildungen (punktweise/gleichmäßige Konvergenz, Vertauschbarkeit von Grenzwerten, Weierstraß-Majorantenkriterium, gleichmäßige Konvergenz und Stetigkeit von Potenzreihen, Identitätssatz für Potenzreihen)
- 4.5: Die trigonometrischen und die Hyperbel-Funktionen (Definition, Eigenschaften: Periodizität, Additionstheoreme, Monotonieverhalten im Reellen, Umkehrfunktionen)
- 4.6: Der Fundamentalsatz der Algebra (Zerlegungssatz für Polynome, Nullstellensatz für komplexe Polynome)
- 4.7: Approximationssätze für stetige Abbildungen (Eigenschaften von Räumen stetiger Abbildungen, Approximationssätze von Weierstraß und Stone-Weierstraß, Approximation periodischer Funktionen durch trigonometrische Polynome)
Literatur:
- H. Baum: Grundkurs Analysis, (Vorlesungsskript, nahe an dieser Vorlesung)
- H. Amann, J. Escher: Analysis I, 2. Auflage 2002, Birkhäuser, (nahe an dieser Vorlesung)
- J. Dieudonne: Grundzüge der modernen Analysis, 2. Auflage 1972, Deutscher Verlag der Wissenschaften, (sehr abstrakt und tiefgreifend)
- W. Walter: Analysis 1, 7. Auflage 2004, Springer, (mit vielen historischen Bemerkungen, viele Anwendungen)
- O. Forster: Analysis 1, 11. Auflage 2013, Springer, (beliebtes Lehrbuch, klassischer Aufbau)
- K. Königsberger: Analysis 1, 6. Auflage 2003, Springer, (ähnlich wie Forster, Aufgaben mit Lösung)
- G. M. Fichtenholz: Differential- und Integralrechnung 1, 7. Auflage 1972, Deutscher Verlag der Wissenschaften (sehr ausführlich, Vorgehen häufig physikalisch motiviert)
- D. Grieser: Mathematisches Problemlösen und Beweisen, 2. Auflage 2017, Springer, (allgemeies Buch zu mathematischen Denkweisen und Beweisen, über die Universitätsbibliothek online frei verfügbar)
- F. Modler, M. Kreh: Tutorium Analysis 1 und Lineare Algebra 1, 4. Auflage 2018, Springer, (Buch über Ana1 & Lina1 von Studenten für Studenten, über die Universitätsbibliothek online frei verfügbar)
Übungsblätter
Die Abgabe der Übungsblätter erfolgt immer dienstags vor der Vorlesung (bis spätestens 13:15). Es sind nur Einzelabgaben zugelassen. Schreiben Sie jede Aufgabe bitte auf ein gesondertes Blatt (Korrektur erfolgt aufgabenweise). Schreiben Sie auf jedes Blatt bitte ihren Namen, ihre Matrikelnummer und ihre Übungsgruppe (Wochentag + Übungsleiter + ev. Zeit). Für die Zulassung zur Prüfung sind mindestens 50 % der Punkte aus allen Serien zusammen nötig.
Blatt1,
Blatt2,
Blatt3,
Blatt4,
Blatt5,
Blatt6,
Blatt7,
Blatt8,
Blatt9,
Blatt10,
Weihnachtsblatt,
Blatt11,
Blatt12,
Blatt13,
Blatt14,
Blatt15
Musterloesung Probeklausur
Alexander Fauck
20. Februar 2019