Analysis IV: Komplexe Analysis und Dynamische Systeme


Vorlesender:  Klaus Mohnke
                         Büro: Adlershof, Haus 1,  Zimmer 306
                         Phone: (030) 2093 1814
                         Fax: (030) 2093 2727
                         Email:   mohnke@math.hu-berlin.de
                         Sprechstunde: mittwochs 14-16 Uhr 

Vorlesungen: Di 11-13, RUD 26, 1.013
                        Do 11-13, RUD 26, 1.013

Übung: Do 13-15, RUD 26, 2.006
             




Aktuelles:   Ausschreibung SHK

Übungsblätter


Blatt 1
Blatt 2
Blatt 3
Blatt 4
Blatt 5
Blatt 6  Aufgabe 3: http://matheplanet.com/default3.html?call=article.php?sid=1458&ref=https%3A%2F%2Fwww.google.de%2F
            Aufgabe 2: http://www.math.uconn.edu/~kconrad/blurbs/analysis/gaussianintegral.pdf
 Blatt 7
Blatt 8
Blatt 9
Blatt 10
Blatt 11
Blatt 12
            



Prüfungszulassung: Um zur Prüfung zugelassen zu werden, müssen Sie aktiv und regelmäßig an den Vorlesungen und Übungen teilnehmen.

Übungsblätter  werden jede Woche  gestellt und in den Übungen besprochen.

Literatur:

  1. Skript von Dietmar Salamon: https://people.math.ethz.ch/~salamon/PREPRINTS/cxana.pdf  (wir folgen im Wesentlichen diesem Skript im Teil ''Komplexe Analysis")
  2. Wolfgang Walter: Gewöhnliche Differentialgleichungen. Springer-Lehrbuch (für den Satz von Peano)
  3. Eduard Zehnder: Lectures on Dynamical Systems. EMS Textbooks in Mathematics (für Hartman-Grobman und das Theorem über stabile und unstabile Mannigfaltigkeiten)
  4. Morris W. Hirsch, Stephen Smale, Robert L. Devaney: Differential Equations, Dynamical Sysstems, and an Introduction to Chaos. Elsevier (Beispiele für Phasenporträts)
  5. Lawrence Perko: Differential Equations and Dynamical Systems. Springer Text in Applied Mathematics (Hartman-Grobman speziell für Flüsse, Beispiele für Phasenporträts)
  6. Vladimir I. Arnold: Mathematical Methods of Classical Mechanics. Springer (Newton- und Hamiltongleichung, Keplergesetze)

 Themen der Vorlesung:

1. Komplexe Analysis (Funktionentheorie)

 
Cauchy-Riemann-Gleichungen und Cauchyscher Integralsatz

  - Wiederholung von Fakten aus der Vorlesung "Algebra und Funktionentheorie"): Komplexe Differenzierbatrkeit, Integralsatz, Analytizität
  - Cauchy-Ungleichung, Satz von Liouville, Fundamentalsatz der Algebra, Beispiele: Exponentialfunktion und der (Hauptzweig des) Logarithmus
  - Satz von Weierstraß (gleichmäßiger Grenzwert holomorpher Funktionen ist holomorph)
  - Identitätssatz
  - Nullstellenmenge nichtkonstanter holomorpher Funktionen besitzt keine Häufungspunkte
  - Satz über die lokale Abbildung, Satz über die  Offenheit des Bildes holomorpher Abbildungen, Satz über die Biholomorphie
  - Maximumprinzip
  - Schwarz-Lemma
  - Hebbarkeitssatz, Pole und wesentliche Singularitäten

Residuensatz

   - Windungszahl,
   - 1-Ketten, Integral über und Windungszahl von 1-Ketten,
   - einfach zusammenhängende Gebiete, Charakterisierung über Windungszahlen
   - Jordanscher Kurvensatz,
   - Verallgemeinerung des Cauchyschen Integralsatzes für 1-Ketten (Satz 25 und Folgerung,
   - Charakterisierung holomorpher Funktionen auf offenen Gebieten (Satz 26), Logarithmus und Wurzel einer holomorphen Funktion
   - holomorphe Funktionen auf Annuli, Laurentreihe, Residuum (Beispiele)
   - Residuensatz mit Anwedungen

Meromorphe Funktionen

   - Körperaxiome für Menge der meromorphen Funktionen
   - Beispiele
   - Prinzip vom Argument

Der Riemannsche Abbildungssatz

   - Beispiele biholomorpher Abbildungen zwischen einfach zusammenhängenden Gebieten
   - Normale Familien, Satz von Hurwitz
   - Beweis des Riemannschen Abbildungssatzes
   - Folgerung
   - Satz von Arzelà-Ascoli
 

2. Dynamische Systeme

Satz von Peano

  
   - Satz von Peano (Beispiele für nicht-eindeutige Lösungen)
   - Maximale Lösungen

Klassische Mechanik

   - Newtongleichung, Hamiltongleichung, Beispiele
   - Potentialkräfte
   - Energie, Energieerhatungssatz
   - Bewegungsgleichung im Zentralfeld,Drehimpuls, Reduktion auf eindimensionales System (Radialsystem)
   - Lösunge des Keplerproblems, Formen der Bahnkurven
   - N-Körperproblem, Diskussion der Dimensionsreduktion

Dynamische Systeme

   - lineare  Systeme
   - diskrete und kontinuierliche dynamische Systeme und deren Zusammenhang
   - Verhalten (diskreter) dynamischer Systeme nahe hyperbolischer Fixpunkte (Hartman-Grobman-Theorem, (lokale) invariante Mannigfaltigkeiten)
   - Phasendiagramme


 








Klaus Mohnke
Fr, 21. Juli 2017,  14:31