4 SWS VL pro Woche, Mo 13-15 Uhr, RUD 25, 1.013; Mi 13-15 Uhr, RUD 26, 0'115

Inhalt:
Multilineare Abbildungen (u.a. Determinanten, Bilinearformen), Eigenwerte von Endomorphismen eines Vektorraumes, Jordansche Normalform, affine Räume, euklidische und unitäre Vektorräume, Spektralzerlegung, Quadriken, erste Schritte zur Untersuchung linearer dynamischer Systeme

Übungen: 2 SWS pro Woche
UE 1*: Mo 15-17 Uhr, RUD 25, 1.011; M. Roczen
UE 2*: Mo 15-17 Uhr, RUD 25, 3.006; K. Pankrashkin *)
UE 3*: Mi 15-17 Uhr, RUD 25, 3.006; K. Pankrashkin *)
UE 4*: Do 09-11 Uhr, RUD 25, 1.011; O. Teschke

*) Sprechstunde Mo 10.00-12.00, I.312

Literatur:
Roczen, M., Wolter, H.: Lineare Algebra - individuell  

Fragen, Anregungen, Kritik:
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Nachfolgend finden Sie aktuelle Informationen zum Stoff der Vorlesung und zu Aufgaben, Klausuren, Prüfungen.

Bitte melden Sie sich wenigstens 14 Tage vorher bei der Studienabteilung an! Falls (entsprechend Ihrem Studiengang) ein Übungsschein zur Anmeldung (Termine im Juli) erforderlich ist, wenden Sie sich bitte an mich, damit wir die Auswertung Ihrer Leistung während des Semesters rechtzeitig vornehmen können.

Sie sollten sich an den unten angegebenen Stichpunkten zum "Stoff der Vorlesung" orientieren.

11.4.2005:   Begriff der multilinearen Abbildung; symmetrische, schiefsymmetrische und alternierende multilineare Abbildungen,
13.4.2005:   Determinantenfunktionen, Determinante einer Matrix, Hauptsatz der Determinantentheorie (Definition nach Weierstraß), erste Eigenschaften
18.4.2005:   Determinantenfunktionen und Basiswechsel, Multiplikationssatz, spezielle lineare Gruppe als Kern der Determinante, Formel für die adjungierte Matrix, Determinantenformel für die inverse Matrix, laplacescher Entwicklungssatz, cramersche Regel
20.4.2005:   Rangbestimmung mit Unterdeterminanten; Determinante eines Endomorphismus: Definition (!) und Eigenschaften, spezielle lineare Gruppe eines Vektorraumes; Orientierung eines reellen Vektorraumes (gleichorientierte Basen, orientierungserhaltende Automorphismen); Determinanten über kommutativen Ringen
25.4.2005:   Identitätssatz für Polynome mehrerer Unbestimmter über einem unendlichen Körper; Bilinearformen und quadratische Formen: duale Paarungen; Matrix einer Bilinearform, Basiswechsel, quadratische Formen und symmetrische Bilinearformen (Polare einer quadratischen Form)
27.4.2005:   Bestimmung einer Basis, bezüglich der eine gegebene quadratische Form eine Diagonalmatrix besitzt (direkte Variante: quadratische Ergänzung, systematisches Vorgehen mit dem symmetrischen Gaußschen Algorithmus); der Fall des komplexen bzw. reellen Grundkörpers (Rang, bzw. Rang und Signatur einer quadratischen Form; sylvesterscher Trägheitssatz), Determinantenkriterium zur Überprüfung der positiven Definitheit einer reellen quadratischen Matrix
2.5.2005:   Alternierende Bilinearformen, Radikal, Existenz symplektischer Basen im nichtausgearteten Fall, Verfahren zur Bestimmung symplektischer Basen; Tensorprodukt: Definition durch Universaleigenschaft, Beweis der Eindeutigkeit (bis auf natürliche Isomorphie), erste Rechenregeln für Tensoren, Basen, Dimension
Skript: Tensorprodukt (Preview zur Online-Ver. 0.52)
4.5.2005:   Beweis der Existenz des Tensorprodukts, einige Eigenschaften, der Segre-Kegel zerfallender Tensoren (Beispiel), Skalarerweiterung
Endomorphismen von Vektorräumen (Einführung): charakteristische Gleichung und charakteristisches Polynom
Skript: Eigenwerte (Preview zur Online-Ver. 0.52)
9.5.2005:   Eigenwerte und Eigenräme; diagonalisierbare Endomorphismen, lineare Unabhängigkeit von Eigenvektoren zu verschiedenen Eigenwerten; Diagonalisierbarkeit von Endomorphismen, deren charakteristisches Polynom Produkt paarweise nichtassoziierter linearer Polynome ist; algebraische und geometrische Multiplizität von Eigenwerten, Diagonalisierbarkeitskriterium (erster Teil des Beweises)
11.5.2005:   Abschluss des Beweises; halbeinfache Endomorphismen / halbeinfache Matrizen, simultane Diagonalisierbarkeit von Endomorphismen; Fahnen in einem Vektorraum, invariante Fahnen und Trigonalisierung; Beispiele für nilpotente Matrizen: obere Dreiecksmatrizen mit Nullen auf der Hauptdiagonale
Skript: Diagonalisierbarkeit und Trigonalisierung
18.5.2005:   Klassifikationssatz für nilpotente Endomorphismen (Nilpotenzindex, Eigenwerte, spezielle Form der Trigonalisierung); Partitionen /Young-Diagramme
Skript: Jordansche Normalform für nilpotente Endomorphismen
23.5.2005:   verallgemeinerte Eigenräume eines Endomorphismus, Hauptraumzerlegung, Minimalpolynom, Satz von Cayley-Hamilton, jordansche Normalform einer Matrix
Skript: Jordansche Normalform, allgemeiner Fall
25.5.2005:   Tensorpotenzen und äußere Potenzen eines Vektorraumes, funktorielle Eigenschaften, Universaleigenschaft, Tensoralgebra und äußere Algebra
Informationen zur bevorstehenden Klausur: zwei Rechenaufgaben, zwei Beweise, eine "gemischte" Aufgabe (alles aus dem aktuellen Kapitel 5 der Vorlesung)
30.5.2005:   Determinante und dim(V)-fache äußere Potenz eines Endomorphismus, Basen der äußeren Potenzen eines Vektorraumes, äußere Potenz einer Matrix, Rechenregeln, Funktorialität;
ggT einer polynomialen Matrix, Präsentationsmatrix eines Endomorphismus und äquivalente Umformungen
1.6.2005:   Determinantenteiler und Elementarteiler einer Matrix / eines Endomorphismus, Bestimmung der Elementarteiler aus einer jordanschen Normalform, smithsche Normalform einer polynomialen Matrix - Algorithmus zur Bestimmung der Elementarteiler;
Jordanzerlegung einer Matrix / eines Endomorphismus im Fall des reellen Grundkörpers
Skript: Elementarteiler
6.6.2005:   Primärzerlegung eines Endomorphismus (beliebiger Grundkörper); Jordanzerlegung über den reellen Zahlen
Affine Räume: Definition, erste Eigenschaften, affine Unterräume, Gleichungen für affine Unterräume, Parallelität
Skript: Affine Räume
8.6.2005:   Klausur
13.6.2005:   affine Abbildungen; Durchschnitt affiner Unterräume, Verbindungsraum einer Teilmenge eines affinen Raumes, affine Erzeugendensysteme, affine Basen und affine Koordinatensysteme (Einführung)
15.6.2005:   Dimension des Verbindungsraumes zweier Unterräume; affine Basen und affine Fortsetzung, Koordinatentransformation, affine Klassifikation von Quadriken über den reellen und den komplexen Zahlen
Skript: affine Quadriken
20.6.2005:   Sesquilinearformen, hermitesche Formen (insbesondere positiv definite hermitesche Formen), unitäre (euklidische) Vektorräume, Norm (Eigenschaften), Orthogonalität, Orthonormalbasen
Skript: Unitäre Vektorräume
22.6.2005:   Orthogonalisierung nach E. Schmidt, orthogonale Summe, parsevalsche Gleichung, adjungierter Endomorphismus, Spektralsatz für selbstadjungierte Operatoren
Skript: Spektralsatz
27.6.2005:   unitäre Matrizen und unitäre Automorphismen, normale Operatoren, Cartan-Zerlegung, Spektralsatz für normale Operatoren eines komplexen unitären Raumes (Korollar zur Cartan-Zerlegung und zum Spektralsatz für selbstadjungierte Operatoren); Klassifikation normaler Operatoren eines euklidischen Vektorraumes
Skript: Spektralsatz für normale Operatoren
29.6.2005:   Charakterisierung normaler Operatoren, orthogonale Abbildungen (insbesondere in kleinen Dimensionen); euklidische affine Räume, Bewegungen; metrische Klassifikation der Quadriken
Skript: Metrische Klassifikation der Quadriken
4.7.2005:   Polare Zerlegung eines Automorphismus: zu einem selbstadjungierten Endomorphismus gehörige hermitesche Sesquilinearform, Wurzeln aus positiven Endomorphismen, Anwendung der Polarzerlegung zur Beschreibung beliebiger Automorphismen: Systeme von Hauptverzerrungsachsen
Abstand von Unterräumen affiner Räume
6.7.2005:   hessesche Normalform einer Hyperebenengleichung und Verallgemeinerung auf beliebige affine Unterräume, Ausgleichsrechnung (zu einem linearen Gleichungssystem gehöriges normales System, Pseudolösungen im Sinne der Methode der kleinsten Quadrate)
Skript: Abstand von Unterräumen
11.7.2005:   Volumen, gramsche Determinante, orientierter Winkel; Vektorprodukt: Definiton, elementare Eigenschaften, Koordinaten bez. einer Orthonormalbasis (die die gegebene Orientierung repräsentiert), Jacobi-Identität
13.7.2005:   lineare dynamische Systeme: Begriff, Exponential eines Endomorphismus /einer Matrix; Beschreibung der Orbits in einfachen Fällen mittels der jordanschen Normalform; lineare Differenzialgleichungen höherer Ordnung.
Diese letzte Vorlesung gibt einen Überblick, der z.B. ausreicht, nach Auffinden der Jordanzerlegung der Koeffizientenmatrix mittels der Exponentialfunktion die Lösungskurven (Orbits) eines homogenen linearen Systems zu bestimmen.